Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
Глава 2. Преобразование Фурье
SV
ed
ed
SV
ed
edt
x
ft
2jVt
.
t
41
Таким образом, мы пришли к непрерывному «аналогу» коэффициента ряда Фурье, причём полученный результат обобщён
для случая непериодической функции:
S(V ) ↔ ck.
Соответственно, мы теперь можем «разложить» в «непрерывный» ряд непериодическую функцию f(t) [13]:
ft SV
– интеграл Фурье,
V
2jVt
а
ft
– прямое преобразование Фурье.
t
2jVt
В дальнейшем переменная V будет заменена на w – круговую частоту, т.е. будем писать: S(w).
В принципе (и это будет рассмотрено далее) выражение
«f (t) = интеграл Фурье»
есть не что иное, как обратное преобразование Фурье.
Полученное выражение для S(V ) представляет собой частотный спектр, или спектральную плотность, или спектральную
характеристику.
Для более правильного оформления записи прямого преобразования Фурье можно записать:
f tV ft
,
2jVt
где знак « » – обозначение прямого преобразования Фурье.
Переходя к более привычным x и y и учитывая наличие 2π
в показателе экспоненты, получим:
fx yfxe d
1
2
jxy
.
42
u
Su
St
ut
xd
и нет! В разных источниках с ним обходятся по-разному, но это
вовсе не меняет сути [13].
наследует все те хорошие свойства, которые присущи разложению в ряд Фурье.
у которых
Случайные процессы
Обратите внимание: множитель 1/√–2–π может быть, а может
Полученное выражение для прямого преобразования Фурье
Преобразование Фурье справедливо для таких функций f,
fxdx
т.е. этот интеграл сходится.
В целях упрощения рассматривается следующий класс функ-
ций («быстроубывающие» функции):
• f (x) – бесконечно гладкая, т.е. дифференцируемая беско-
нечное число раз;
sup
•
x
Примером таких функций являются:
• функции с компактным носителем, т.е. те, которые равны
0 вне некоторого отрезка и бесконечное число раз дифференцируемы;
2
–x
• e
(т.е. функции, необязательно имеющие компактный
носитель).
Главное в этом классе то, что все функции должны сходиться
быстрее любой степенной функции на бесконечности и то же –
для производных.
m
xfx
1
Свойства преобразования Фурье [13]
k
для любых m, k ≥ 0.
,
• пусть
• для a ≠ 0
t
,
, тогда
tSxS
u
,
x
Глава 2. Преобразование Фурье
2
xf
Sf
0
Sf
t
Sf
SS
ey
2
Iy
xydx
, т.е.
1
2
tb
faxb yfax be dx
делаем
замену:
ax bt
aa
jby
11
ef
aa
y
a
jxy
11
2
jt b
a
te dt
y
знак «модуля» использован, т.к. нет конечных пределов;
jt
• пусть
, тогда
t
ft teS
0
для ∀t0, t0 –
«задержка сигнала»;
43
• пусть
, тогда
t
j
для ∀a, a –
te
«сдвиг спектра»;
ft ut xtdt
• пусть
ft
•
ut t
22
xx
22
1
exydxIy
2
;
1
2
2
x
2
cos
eedx exyj xy
jxyjxy
(свёртка), тогда
cos sin
(ввели обозначение для упрощения записи).
Т.к. sin – нечётная функция => интеграл от синуса = 0. Зна-
чит, остается только интеграл от косинуса.
Продифференцируем I(y) (т.к. видим, что интеграл отлично
сходится):
x
1
2
2
xe
sin
(т.к. (cos(x))' = –sin(x)).
Заметим, что
44
22
'
22
xx
22
'
22
xx
Iy
2
eV
2
11
21
22
Ie
2
Iy
Случайные процессы
xe e
Интегрируем I(y ) по частям (
exydx
sin| cos
где
1
2
1
exye xy ydx
2
2
x
2
exy
sin| 0
xy yxy
cos sin
x
2
, sin xy = U.
UV 'dx = UV – ∫VU 'dx
∫
2
x
2
'
sin
yI y ,
.
Получим дифференциальное уравнение на интеграл с параметром
I '(y) = –yI (y ).
Определим значение I (0):
x
01
2
dx
.
):
Решаем систему:
Iy yI y
01
I
Решение:
Таким образом, e
ния Фурье. Т. е. преобразование Фурье – это интеграл от произведения двух функций, перемноженных друг на друга, – линейное
отображение. И собственной функцией этого линейного отображения является e
у преобразования Фурье четыре собственных значения, то най-
–x2/2
– собственная функция преобразова-
–x2/2
(или собственный вектор). Учитывая, что
y
2
.
e
Глава 2. Преобразование Фурье
xy
''
dx
k
k
f yjyfy
ти хотя бы один собственный вектор – большое достижение.
Т. е. мы имеем дело с функцией, преобразование которой – она
сама.
''
fy fxedxjyf y
•
вать по частям.
Т. е. получаем, что сложная операция дифференцирования
перешла в простую операцию – умножение на аргумент:
1
2
jxy
– будем интегриро-
45
k
f yjyfy
• Дифференцирование самого преобразования Фурье:
fy jx fx edxjxf
Это будет справедливо в том случае, если интеграл равномерно сходится по y. С другой стороны, f (x) сходится быстрее
любой степенной функции.
fy jx fx y
•
Выводы:
• f – гладкая функция (если f ∈ S). По сути, это означает,
что f должна убывать быстрее любой степенной функции.
Т. е. f должна быстро сходиться к нулю. Это прямая наследственность с рядом Фурье: если сумма гладкая, то коэффициенты быстро стремятся к нулю.
• | jy f (y) | ≤ ∫|f '|dx, т.е. выражение
ограничено интегралом от f '(x).
Значит, преобразование Фурье, умноженное на y, ограниченно.
Соответственно, преобразование Фурье k-й производной огра-
1
'
kk
2
k
.
.
jxy
f yfxe
1
2
.
jxy
ничено интегралом от k-й производной
.
46
ydx
g
)
2
dx
22 2
22
xt
tydt
Случайные процессы
С другой стороны, это преобразование Фурье, умноженное
на y в степени k.
Значит,
k
sup
y
yfy
если f ∈ S.
Т. е. если f ∈ S, то преобразование Фурье – гладкая функция,
которая стремится к нулю быстрее любой степенной функции.
И то же верно для всех её производных.
Таким образом, преобразование Фурье отображает S в S –
это инвариантное пространство для преобразования Фурье.
Также с помощью преобразования Фурье можно определять
дробные производные – просто вместо x нужно взять дробное
значение x. Ведь дифференцирование с помощью преобразования Фурье превратилось в умножение [13]!
• Лемма [13]:
для f, g ∈ S
gxfxedxgxfxydx
Следствие 1:
при y = 0
gxfxdx gxfx
Следствие 2:
при g = e
ность
–[e2x2/2]
y
, (где e > 0) – дельта-образная последователь-
–(x2/2
1
e
Тогда
22
x
eefxdx efxy
jxy
2
Сделаем замену: x/e = t, тогда
eefxdx ef
jxy
jxy
2
.
x
1
2
2
.
.
.
.
Глава 2. Преобразование Фурье
22
dx
2
ty
22
2
tf
xf
ed
ed
47
Теперь устремим e к нулю:
e → 0.
Это можно сделать по причине того, что интеграл
x
2
efxe
jxy
сходится по e равномерно, т. к.
f(x) для функ-
ции S лежит в S. Т. е. в этом интеграле можно переходить к пределу потому, что есть сходимость. То же самое относится к интег-
t
ралу
2
ef
dt
[13].
Переходя к пределу при e → 0, получим:
jxy
fxedxefydt ed
fxed
tt
22
jxy
2
y
– формула обращения
2
,
y
fy fx
1
2
jxy
.
x
Т. е. функцию f (y) можно восстановить по её преобразованию Фурье. Это неудивительно. Ведь преобразование Фурье и
коэффициенты Фурье – аналоги (сумма ряда Фурье позволяет
получить функцию, которую разложили в ряд). Поэтому последняя формула и есть ряд Фурье (умножили f (x) – преобразование Фурье (аналог коэффициента Фурье) на базисную функцию
jxy
e
и сложили). Т. е. имеем дело с непрерывным аналогом ряда
Фурье [13].
Таким образом, обратное преобразование Фурье –
fy fx
1
2
jxy
.
x
То есть
f yfy
,
48
fy
''
y yf
2
fx
1
fx
yx
x
*
2
f gfg
Случайные процессы
fy
Пример: хотим в S решить дифференциальное уравнение [13]
Выбираем для этого уравнения правильную систему коорди-
нат, делая преобразование Фурье:
вспоминаем, что
Потом
jx yx yx
2
xyxyxfx
уравнение [13]!
Т. е. в новой системе координат сложное дифференциальное
уравнение превратилось в простое алгебраическое:
(знак черты означает комплексное сопряжение).
y'' – y = f.
k
fx
1
.
,
2
.
2
x
k
f yjyfy
,
,
– получим простое алгебраическое
y x
Т. е. во многих случаях дифференциальные уравнения, которые сложно решить, просто записаны в неудачной системе координат [13].
∗
∗ Взаимодействие преобразования Фурье со свёрткой [13]
Для f, g ∈ S
Т. е. преобразование Фурье сводит процедуру свёртки
к обычному умножению, что намного проще.
Собственно это и называется методом характеристических
функций, придуманным А.М. Ляпуновым.
.
Глава 2. Преобразование Фурье
Sf
10N
jn
n
Sf
1
0
N
jn
fS
49
Т. е. оказывается, что суммарное воздействие нескольких
случайных процессов (шумов) можно представить с помощью
многократной свёртки, которая через преобразование Фурье
становится обычным произведением! Это было открыто в начале XX века А.М. Ляпуновым [13].
Таким образом [13]
1) преобразование Фурье – аналог разложения в ряд Фурье,
это коэффициенты, которые часто называют спектром;
2) обратное преобразование Фурье – это просто суммирование ряда Фурье;
3) преобразование Фурье – очень хорошее преобразование
пространства быстроубывающих функций, это ортогональ ная система координат;
4) преобразование Фурье сильно упрощает дифференцирование, превращая его в обычное умножение.
С помощью прямого преобразования Фурье могут быть
определены [12]:
чётной функцией, а фазовый спектр – нечётной.
искусственного ограничения полосы пропускания сигнала, неизбежно возникают искажения [12].
ному преобразование Фурье также становится дискретным:
n
сигнала. То же и с Sw [12].
1)
t
– амплитудный спектр сигнала f(t),
2) arg S(w) – фазовый спектр сигнала f(t).
Для вещественных сигналов амплитудный спектр является
Учитывая, что на практике всегда возникает необходимость
При переходе от непрерывного сигнала к сигналу дискрет-
e
n
– обратное дискретное преобразование Фурье.
e
1
N
– прямое дискретное преобразование Фурье,
Заметим:
вместо f(t ) используется fn, чтобы подчеркнуть дискретность
50
Sp
Случайные процессы
Верхним (максимальным) частотам дискретного сигнала соответствуют компоненты спектра, находящиеся в середине вектора преобразования Фурье (т. е. номера индексов близки к N/2).
При чётном значении N компоненты ДПФ (дискретного преобразования Фурье) для максимальной частоты спектра соответствуют частоте Найквиста (половине частоты дискретизации) [12].
Пусть размерность ДПФ равна N = 2n. Тогда вычисление каждого коэффициента Фурье потребует около 2n комплексных сложений с умножениями. Реализация всего преобразования Фурье
потребует 2n · 2n = 22n комплексных сложений с умножением. Это
потребует слишком больших вычислительных мощностей [12].
Для решения этой проблемы исходный вектор сигнала fn делят на два вектора: в первом хранят чётные значения отсчётов fn,
во втором – нечётные. Размерность каждого из сформированных
таким образом векторов составит 2
n-1
. Важным является тот факт,
что коэффициенты Фурье размерности 2n могут быть вычислены
через коэффициенты размерности 2
n–1
, т. е. количество операций
комплексного умножения станет меньше примерно в два раза!
Такую процедуру можно применять рекуррентно и далее – для
вычисления ДПФ меньших размерностей. Такой подход лежит
в основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) [12].
Примечание: использование частоты дискретизации ниже,
чем требует теорема Котельникова, приводит к т. н. эффекту наложения частот – перекрытия участков спектра, что приводит
к появлению искажений. В том случае, если происходит умышленное уменьшение частоты дискретизации (для смягчения
требований к аппаратуре), необходима предварительная НЧфильтрация исходного сигнала с полным подавлением частот
выше половины новой частоты дискретизации [12].
Описанное выше прямое преобразование Фурье справедливо только для стационарных сигналов – в случае, например,
речи двух человек сигнал становится уже нестационарным.
Для анализа нестационарных сигналов применяется оконное (или взвешенное) преобразование Фурье [12]:
tfte dt
jt
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]