Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
νν ν
νν ν
ξξ ξ
μ
ξξ ξ
12
12
12
11 22
,, ,
n
n
n
nn
nn
tt t
Etmt tmttmt
νν
ξξ
νν
12
12
22
·,
22
x;
tdx
1
mt
Глава 1. Законы распределения и моментные функции
Wxxxtt tdxdxdx
xmtxmt xmt
11 2 2
,,,;,, ,
12 12 12
nn n
νν ν
12
ξξ ξ
11
n
Соответственно, имеют место несколько частных случаев:
• двумерная центральная моментная функция второго по-
рядка:
μξξ
,
tt Etmt tmt
νν
12 11
12
ν
1
1
ν
1
2
WxxttdxdxKtt ,
1212 12 12
xmtxmt
;, ,
ξξ
1122
ξ
·
где Kξ(t1,t2) – ковариационная функция случайного процес-
са ξ(t).
В том случае, если t1 = t2 = tx:
,
tt t
1,1121,1
Etmt mt Wx
.
Возвращаемся к выражению для корреляционной функции:
12
,
tE tt
12 12
12
22
Et xW xt dt Rttmtt
, , ,
Соответственно, выражение для m
m
, t2) = Rξ(t, t) – m
1,1(t1
Далее устанавливаем важную связь между Rξ(t) и Kξ(t):
Rξ(t,t) – m
2
(t) = Kξ(t, t), для случая t1 = t2 = t
ξ
12
ttt
12
, t2) примет вид:
1,1(t1
2
(t).
ξ
2
.
n
0nn
spns
nn
ud
12
Случайные процессы
Kξ(t, t) = Dξ(t),
где Dξ(t) – дисперсия случайного процесса ξ(t).
Соответственно, среднее квадратичное отклонение
tDt
2tmtE
.
Наряду с понятием функции плотности распределения вероятности есть инструмент характеристических функций (и в некоторых случаях он более удобен).
Характеристическая функция случайной величины Χ:
ju ju
ju Ee eWxdxpne
n
0
jux
,
где p(n) – распределение вероятностей.
Производящая функция случайной величины Χ:
,
где s – оператор Лапласа.
Соответственно, ΘΧ(ju) используется для непрерывных случайных величин, а jΧ(s) – для дискретных случайных величин.
По известной ΘΧ(ju) с помощью прямого преобразования
Фурье можно определить функцию плотности распределения
вероятности:
,, ,
Wxxx
12
1
2
n
n
ju x
ju xjux
,, ,
ju ju ju ee edud
12 12
11 22
nn
.
u
Также для случайной величины (а не случайного процесса!)
может быть рассмотрена моментная функция:
в том числе
sEeeWxdx
ss
,
0
n
n
ss
n
11
22
,
.
nn
tx
tx
tx
.
nn
tt
Глава 1. Законы распределения и моментные функции
• вторая характеристическая функция:
YX(ju) = ln(ΘX(ju)),
• вторая моментная функция:
YX(ju) = ln(ΦX(s)).
Соответственно, n-я производная от моментной функции
(n)
Φ
(s) = E {XnesX},
X
(n)
Φ
(0) = E {Xn} = mn – начальный момент n-го порядка.
X
Частные случаи:
13
ления вероятности, связь с характеристической функцией
(для многомерного случайного процесса) имеет вид
при том что
стической функцией и n-мерной начальной функцией:
Ф'X(0) = m1,
Ф''X(0) = m2 = m
2
+ s2.
1
Разложение моментной функции в ряд Маклорена:
m
n
.
!
n
Если вернуться к вопросу о функции плотности распреде-
n
ju t
,, ,; ,, ,
ju ju ju tt tE e
12 12
nn
ju xjux ju x
11 22
eWxx xtttdx dx dx
nn
,
ii
1
i
,, ,; ,, ,
12 12 12
nn
,
Соответственно, можно установить связь между характери-
mttt
12 n
j
, , ,
12
vv v
12
n
vv v
12
djujujut
n
n
du
,, ,; ,, ,
12 12
v
v
2
... du
v
n
n
1
1 du2
11
11 1
1,
klm
,,,.
.
e
,,
nn
ll
Wx
14
Случайные процессы
Кроме того, есть связь между Kξ и Rξ через начальные мо-
ментные функции:
Kξ(t1, t2) = E{(ξ(t1) – mξ(t1))(ξ(t2) – mξ(t2))} =
=Rξ(t1, t2) – m1(t1)m1(t2),
где mξ(t1) – математическое ожидание случайной величины ξ(t1),
Kξ(t1, t2, t3) = m
, t2, t3) – m1(t1)Kξ(t2, t3) – m1(t2)Kξ(t1, t3)–
1,1,1(t1
– m1(t3)Kξ(t1, t2) + 3m1(t1)m1(t2)m1(t3).
Связь характеристической и моментной функции:
,, ,; ,, ,
ju ju ju tt t
12 12
jmtu jmttuu
1
jmtttuuu
3!
nn
nnn
kkl
3
kk kl kl
111
nnn
1
2
2!
,, ...
1,1,1
klmklm
,1
Связь характеристической и корреляционной функции:
,, ,; ,, ,
ju ju ju tt t
jRtu jRttuu jRtttuuu
kklklm
12 12
nnnnnn
kk kl kl klmklm
111111
nn
11
23
2! 3!
..
Для гауссова случайного процесса
1
,,,;,,
xxtt te
12 12
nn
1
n
2
2
xmtxmt
kl kk
11
kl
где
mξ(tk), mξ(tl) – математическое ожидание случайной величи-
ны ξ(tk) и ξ(tl),
D = | Kξ | – определитель n-ого порядка, составленный из зна-
чений Kξ(tk, tl),
Dkl – алгебраическое дополнение элемента Kξ(tk, tl) опреде-
лителя D.
Случайный процесс ξ(t) является стационарным в узком
смысле, если все его W(x1, x2, ..., xn; t1, t2, ..., tn) произвольного
.
ll
Wx
11
11
22
,
nn
kk
lk
ee
1
ll
22
22
Wx
1122
1
1212
uuuu
Глава 1. Законы распределения и моментные функции
15
порядка n не меняются при одновременном сдвиге всех точек
t1, t2, ..., tn вдоль оси времени на любое τ.
Случайный процесс ξ(t) является стационарным в широком
смысле, если E{ξ(t )} (математическое ожидание) не зависит от
времени, а корреляционная функция Rξ(t1, t2) зависит лишь от
разности τ = | t1 – t2 |.
Для гауссова случайного процесса эти понятия совпадают и
можно записать:
,,,;,, ,
xxtt t
12 12
n
,, ,; ,, ,
ju ju ju tt t
12 12
nn
jmtu Rttuujmu uu
kk kl kl
11
kk
nn
nn
1
1
n
2
2
2
D
kl
e
D
nn
,
Dxmt xmt
11
kl kk
nn
2
11
kl
,
lkl
где
mξ – математическое ожидание случайного процесса ξ(t),
2
s
= Kξ(0) = Dξ(t) – дисперсия случайного процесса,
ξ
Dkl = | r
| – определитель n-ого порядка, составленный из коэф-
kl
фициентов корреляции rkl:
Etmt tmt
kl kk
2
Для двумерного случайного процесса получим:
,;,
xtt
1212
22
21
1
ju ju tt e
e
,; ,
1
22
21
jm uu
2
xm xm xm xm
11
12
2
22 2
2
где τ = | t1 – t2 |.
Рассмотрим дважды дифференцируемый стационарный
случайный процесс ξ(t) с нулевым математическим ожидани-
.
,
dd
d
dt
d
dt
16
Случайные процессы
ем. Пусть Td – интервал дискретизации и значение ξ(t) на следующем шаге может быть рассчитано на основе предыдущего по
общему выражению
tT tT
.
Понятно, что ξ(t) является случайным процессом, а значит,
никакие расчёты не могут дать возможности заранее предсказать
значение ξ(t). В противном случае мы будем иметь дело с ошибкой такого предсказания:
e(t + Td).
Очевидно, что
tT tT tT
dd d
.
Интересно будет определить дисперсию такой ошибки:
De = E{(e(t + Td) – me)2} = E{e2 (t + Td)},
так как мы заранее сказали, что математическое ожидание случайного процесса ξ(t) равно нулю.
Подставим в полученное выражение для De выражение,
которое мы получили шагом ранее для e(t + Td):
De = E{(ξ(t + Td) – ξ(t) – Tdξ'(t))2} =
= E{ξ2(t + Td)} + E{ξ2(t)} + T
2
E{(ξ'(t))2} – 2E{ξ(t + Td)ξ(t)} –
d
– 2TdE{ξ(t + Td)ξ'(t)} + 2TdE{ξ(t)ξ'(t)}.
Существуют выражения
R
(τ) = E{ξ(t1)ξ'(t2)} = –E{ξ(t2)ξ'(t1)} = R 'ξ(τ),
ξξ'
где τ = | t1 – t2 |.
По сути, R
(τ) – корреляционная функция для случайного
ξξ'
процесса ξ(t) и его первой производной ξ'(t).
Также известно, что
Rξ'(τ) = –R
ξ''
(τ),
Dξ' = Rξ'(0) = –Rξ''(0).
ξξ
24
24!
dd
TT
RR RR
d
R
d
R
44
''
!3
d
RR
'
00
4
01
4
T
''
20
Глава 1. Законы распределения и моментные функции
17
Dξ' – дисперсия для первой производной случайного про-
цесса.
Возвращаясь к выражению для De, обращаем внимание
на то, что τ = Td = | t1 – t2 |.
Используя приведённые выше выражения, получим:
De = 2(Rξ(0) – Rξ(τ)) + 2TdR 'ξ(τ) – T
2
dRξ
''(0).
Также известно, что для дважды дифференцируемого стаци-
онарного случайного процесса при малых Td справедливо равенство (опять же помним, что сейчас τ = Td)
4
τ
ξξ
''00 0
.
Причём
''00
2
dR
dT
4
0
,
dR
4
dT
0
.
Тогда
24 3
TT T
dd d
''00 000
RR TR R
24
'
T
'
d
,
!
так как
2
TT
dd
00
RRTR
'' '' ''
22
2
T
d
d
.
Данное выражение будет справедливым (как было отмечено
выше) при малых значениях Td, что – более конкретно – означает выполнение условия
4
d
R
.
Таким образом, подставляем в исходное выражение для De:
20
DR RTRTR
20 00 0
RR RR
24
TT
dd
24!
dd
''
2
'
4
2
'''
''
24
4
22
44
44
20 20
20 00 0
24!
dd
dd
dd
dd
DR RTRTR
TT
RR RR
TT
RR
ξ
4
01
nn
ki
Ee
22
18
Случайные процессы
2
TTRRTR
dd d
2020 0020
RRTR RTR
222
TT
3! 3! 4! 4
''
44
44
dd
00 000
RTRR
3
T
4
000
3!
d
'' ''
2
''
4
2
T
d
4!
2
''
d
4
.
Подобное линейное приближение возможно в том случае,
если применим критерий относительной ошибки:
DT
ε
D
4
d
R
ξ
4
.
• Следующей особенностью является то, что для лю-
бой конечной последовательности моментов времени
(t1, t2, ..., tn) ∈ T для случайного гауссова процесса ξ(t) выполняется соотношение
n
jtu
kk
k
1
jmtu Kt tuu
kik
1,1
e
1
kk ki
2
,
,
это выражение появляется из стандартного определения характеристической функции для случайной величины
ΘX(ju) = E {e
juX
}
с той лишь разницей, что вместо случайной величины X мы име-
ем дело с суммой случайных величин
t
.
• Для одномерного случайного процесса ξ(t), подчиняюще-
гося нормальному закону распределения,
где
mξ– математическое ожидание случайного процесса ξ(t),
2
s
ξ
– дисперсия гауссова случайного процесса.
• Если случайный процесс может быть описан в виде
ju e
jm u
u
2
,
ξ(t) = A(t) sin(w0t + j(t )), где A(t) > 0 является самостоя-
22
Wx da
2
0
Wa ea
2
Wx
1
aA
Wa
a
22
00
22
00
0
Wx
0
A
Wa ea
0
Wx Kx
ed
a
aA
00
1
Wx
Глава 1. Законы распределения и моментные функции
19
тельным случайным процессом (по сути, это огибающая)
с плотностью распределения вероятностей WA(a), а j(t ) –
случайная фаза, равномерно распределённая на интервале (–π, π), то плотность распределения вероятностей
ξ(t) записывается в виде
1
ax
x
A
.
Wa
Может возникнуть задача: по известной Wξ(x) «вытащить»
WA(a) (или наоборот). Такая задача решается с помощью
преобразования Абеля (которое подробно разобрано в прак-
тической части).
Но есть несколько интересных частных случаев, которые
«в готовом» виде могут оказаться очень полезными: задача состоит в том, что по известной WA(a) для огибающей можно определить Wξ(x):
x
1
2
2
2
e
x
1)
A
a
a
2
2
, д ля
2
⇔
для
2)
3)
4)
Wa
A
A
0
0, остальные
a
AA a
00
A
0, остальные
, 0
, для
22
0
ln
A
0
AAx
AAx
zchx
x
0
⇔
⇔
для
2
xA
0
Kz
0
1
(функция Макдональда
нулевого порядка)
,
,
AxA
⇔
0
2
A
0
0, другие
x
a
1
,
xA
Wx
ada
mt
20
Случайные процессы
• Если случайный процесс может быть описан в виде
ξ(t) = Am cos(w0t + j(t)), где Am – постоянная амплитуда,
w0 – постоянная угловая частота, j(t) – случайная фаза,
равномерно распределённая на интервале (–π, π), то одномерная функция распределения вероятности
Ax
m
0, при .
, п ри
22
xA
m
m
А двумерная функция плотности распределения вероятно-
сти –
2
Wxx
,,
12
xA
1
Ax
m
при ,,
0, при , .
22
1
xA
cosarccos
xAxA tt
12 12
mm
xAxA
12
mm
cosarccos
m
20
20
m
x
A
• Если случайный процесс может быть описан в виде:
ξ(t) = A cos(w0t + j(t)), где A – случайная величина
с функцией плотности распределения вероятности WA(a),
w0 – постоянная угловая частота, j(t) – случайная фаза,
равномерно распределённая на интервале (–π, π), то одномерная характеристическая функция имеет вид
ju JauW
0 A
,
1
m
x
A
,
1
m
где J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Кроме того, ξ(t) в данном случае называют «квазидетерми-
нированным случайным процессом», а одномерная начальная
моментная функция чётного порядка имеет вид
tt EA
,, ,
212
nn
2!
n
2!
2
2
n
n
2
n
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]