Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
Решение
11
21
, если
XXX
Y
XXX,
12
,,
D
Fy
1
21
gXXy
2
22
gXXy
11
12
12
yy
XX
xx
Fy
Y = min(X1, X2) означает, что
Задачи к главе 4
111
, если
2
2
Т.е. имеем g1 (X1, X2) = X1 и g2 (X1, X2) = X2.
Обратимся к теоретической части:
yWyy dy dy
12 12
YY YY
12 12
,
где D – область интегрирования, определяемая неравен-
,
ствами
11
Далее переходим от W
Тогда можем записать:
Fy PY y
Y
PXyxX
и
x
Y1Y
,
21
x
к W
X1X
2
, т. к. Y1 и Y2 связаны с X1 и X2.
2
.
ля лучая
|
этоэквивалент записи
XX
:определяетпредел
интегрирования - случайная
Х
величина большеили равна
x
1
остд
2
пределы составляют
о
x
1
Y
y
(т.е. д
)
X
X
11
22
2
|
PXyxX
Первый предел интегрирования одинаков для обоих инте-
221
Yy
т.е. для случаяэто эквивалент записи
XX XX
12 12
: аналогично
пределы составляют
x
от до
2
.
гралов: от –∞ до y.
YX
WxxdxdxWxx dx dx
, ,
12 12 12
12 12
X
.
112
c
c
yx
XX
yx
Fy
x
XX
Fx
2
1122
yyx
XX
Fy
12
2121
yx yx
,,
yx
Fy
Случайные процессы
Известно свойство несобственного интеграла:
fxdx fxdx fxdx.
Соответственно, получим:
YX
dx WxxdxWxx dx
dx WxxdxWxx dx
1122 12 2
2121 12 1
XX XX
, ,
12 12
, ,
12 12
2
1
X
.
Известна связь одномерных и двумерных функций плотности распределения вероятности:
Wxy dxdy
,
Y
.
Теперь распишем FY(y):
YX
yyx
dx WxxdxdxW xx dx ,
2121 2121
где F
X
оказывающей влияние на Y.
1122
Fy
(y) – функция распределения случайной величины X1,
1
Fy
X
, ,
XX XX
12 12
()
X
dx WxxdxdxW xx dx
, ,
12 12
()
1
2
1
X
Теперь разберёмся с оставшимися двумя слагаемыми:
dx WxxdxdxW xx dx
1122
XX XX
, ,
12 12
есть не что
иное, как приведённое выше выражение для FX(x), только лишь
для случая с двумя компонентами X1 и X2:
XX XX
12 12
yx
dx Wxxdx.
2
2121
XX
12
ydxW xx dx
1
,
Тогда получим:
FY(y) = F
(y) + F
X
1
(y) – F
X
2
X1X
(y, y).
2
Задачи к главе 4
12
12
yy
XX
xx
12
xx
Wy
12
XX
yy
XX
Fy
12
Fx
X
X
21
112
212
, если
XXX
Y
XX
Если случайные величины X1 и X2 независимы, то
113
FY(y) = F
(y) + F
X
1
(y) – F
X
2
X
(y)F
1
X
(y).
2
Теперь найдём функцию плотности распределения вероят-
ности – обратимся к начальному выражению:
F yWxx dx dx Wxxdxdx
YX
, ,
12 12 12
12 12
X
.
Тогда
dF y
Y
Y
d
dy
yy
WyxdxWxydx .
Для независимых случайных величин X1 и X
dy
yy
WxxdxdxWxx dx dx
XX XX
XX XX
12 12
, ,
12 12 12 12
12 12
, ,
22 11
2
W
(x1, x2) = W
X1X
2
(x1)W
X
1
X
2
(x2).
Тогда (из выражения, полученного ранее)
YX
y
dx WxxdxdxW xx dx
FyFy Wxdx Wxdx
XX XX
12 12
y
Wx
X
F yF x
Учитывая, что
1122 2121
xyx
12
1122 2121
Fy Fy
XX XX
12 12
x
2
dx Wxdx FyFyFy
22 11 1
2
Fy Fx
2
X X
dx WxxdxdxW xx dx
, ,
12 12
() ()
X
, ,
yx
11 22
XXXXX
11212
1
, если
1
1
Fy Fx
1
X X
, получаем, что
X
2
114
1221
11
Fy
Fy
21
11
Wy
Wy
dy
12
11
22
aa
YX
для 1, т.е с вероятностью
aX p,
Y
q.
12
12
12
а1
--
xy
xy
Wy
|
)
YX
Wx
Wx
Wy
12
12
ес
случайна
XX
Wx
Случайные процессы
Fy Fy Fy
YX XX X
.
Тогда получим:
dF y
Y
YXXX X
Wy WyWy
12
Задача 12
Найти функцию плотности распределения вероятности случайной величины [1, 2]:
.
,
X
где X1 и X2 – случайные величины с совместной функцией распределения вероятности W
фициенты, l – дискретная случайная величина, принимающая
(x1, x2); a и b – постоянные коэф-
X1X
2
значения +1 и –1 с вероятностями p и q = 1 – p.
Решение
Подставив значения l в выражение для Y, получим:
1
для 1 , т.е св ероятностью
bX
2
Соответственно, условная функция распределения вероятности может быть представлена в виде
|,
|, 12
YX X
12
xx pyax qybx
функцияравна 0везде,функция равна0везде,
кроме. кроме.
ya
- -
ya
Прифункция равна1 Прифункция равн
bx
bx
Известно выражение для условной функции распределения
вероятности:
,
y
XY
X
(|
.
x
Соответственно, переходя к нашей задаче, можем записать:
Wyxx Wyxx
,,
YXX
ть не что иное,как просто(), т.к.
явеличина равналибо,либо
,, ,, ,
12
12 |, 12
Wy
Y aX bX
Y
YX
12 12
X
x
,
Задачи к главе 4
12
12
YX
Wy
Wx
12
YX
Wy
YX
Wy
a
11
1
dx
1
YX
Wy
2
2121
11
ab
115
pyax qybx
,
12
X
.
x
Учитывая, что случайная величина Y связана с X1 и X2 через линейное преобразование, которое к тому же распадается
на две ветви, обращаемся к теоретической части для разных случаев (сумма, разность и т.д.) и видим, что в них присутствует интегрирование, т.е. наше выражение примет вид
pyax qybx Wxxdxdx
pyax dx Wxxdx
qybx dx Wxxdx.
22 12 1
,
1212
11 12 2
XX
12
X
12
,
X
12
,
.
Интеграл от δ-функции решается «логически»: ведь δ-функ-
ция равна 0 везде, кроме точки y – ax1 = 0, т.е. при
1
yx
. С дру-
гой стороны,
d(y – ax1) = –ad x1.
В целях достижения универсальности берём по модулю:
dy ax
.
a
Тогда получим:
, ,
интеграл п о
dy-axр авен 1
qybx dy bx Wxxdx
интеграл по
dybx
pW xx dx qW xx dx
2212 1
р авен 1
XX XX
12 12
pyax dy ax Wxxdx
1
1112 2
1
b
12
a
XX
12
X
12
,
,
116
21
уходим от впервомслагаемом
x
xy
b
11
11
yy
bb
12
22
XX
yy
WxWW
aa
12
11
XX
yy
Wx
bb
12
11
11
XX
yy
Wy
bb
21
равно 1, т.к. это
11
11
yy
Wy
Случайные процессы
1
иотвовтором: ведь 0,
значит, для первого слагаемого ;
длявторого
y
x
2
ax
x
1
y
a
pW xdxqWxdx
aa
XX XX
, ,
22
12 12
.
Если случайные величины X1 и X2 независимы, то
XX
,
12
,
x
XX
,
12
WxW
В этом случае получим:
YX
YXXXX
11
.
aabb
aa
pW Wxdx qW Wxdx
aa bb
yy
pW qW
XX
12
pW Wxdx qW xW dx
условие
22
22
12
нормировки
12
X
равно 1, т.к.это
условие
нормировки
Задача 13
Производится n опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А. Вероятность наступления
события А в i-м опыте равна Pi. Рассматриваем случайную величину N – число появлений события A. Найти мат. ожидание случайной величины N [1, 2].
.
Решение
тия А, то
Если рассматривать M как индикатор наступления собы-
117
1, если событие наступило,
пило.
А
M
zk
ij
mg
nn n
ii i
mg
YX
Wy
Wy
0 , если событие не насту
А
Задачи к главе 4
Соответственно, среднее число (мат. ожидание) N равно
среднему числу от М. Имеем следующую аналогию: М – случайная величина, связанная линейно с другой случайной величиной, например Х, причём Х – дискретная величина, принимающая значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью
1 – p.
Тогда прямая функция g (M) = X.
Обращаемся к теоретической части: для дискретных случайных величин
,
xy p
k
ijij
.
В нашем случае выражение упростится:
Если p1 = p2 = ... = pn = p, то
Задача 14
Случайная величина Х распределена по нормальному закону
с параметрами mx = 0, DX. Найти функцию плотности распределения вероятности для случайной величины Y = 1/X [1, 2].
Решение
Обратная функция однозначна: j(Y ) = 1/Y.
Обратимся к теоретической части:
В нашем случае
xp pp p
Miii ii i
10
mM = np.
W
(y1, y2) = W
Y1Y
2
YX
(j1(y1, y2), j2(y1, y2)) · | J |.
X1X
2
WYJ
1/
WY
,
Y
,
Y
.
118
22
11
22
22
XX
XX
Wy ee
Dy
21
Wx
2
11
X
Wx
2
X
Wx
Случайные процессы
111
Y
yD yD
2
y
2
D
.
Поскольку случайная величина Y представляет собой функцию 1/X, при х = 0 имеет место разрыв второго рода (примечание:
функция имеет точку разрыва первого рода, если существуют
конечные пределы – правосторонний и левосторонний; функция имеет точку разрыва второго рода, если по крайней мере
один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности), то функция WY(y) имеет разрыв второго рода.
Также случайная величина не имеет мат. ожидания, т. к. соответствующий интеграл расходится.
Задача 15
Натуральный логарифм случайной величины X распределён по нормальному закону с параметрами mx и DX. Найти функцию плотности распределения случайной величины Х [1, 2].
Решение
Согласно условию задачи первой случайной величиной яв-
X
ляется X1 = ln X, второй случайной величиной является X2 = e
1
.
Обратная функция однозначна:
j(X1) = ln X.
Соответственно,
X
WX
XX
21
2
X
2
X
2
e
2
D
1
xD
e
2
ln
xm
2
D
X
ln
xm
2
D
1
,
X
1
X
x
X
X
.
Тогда распределение называется логнормальным.
,
Задачи к главе 4
1
!
k
Pk
k
2
!
k
Pk
k
!
k
Pk
k
12
22
YY
WW
11
WW
119
Задача 16
Независимые случайные величины X1 и X2 подчинены зако-
ну распределения Пуассона с параметрами l1 и l2 соответственно [1, 2]:
X
1
1
,
e
X
2
2
,
e
где k = 0, 1, … , n, n – число событий.
Определить распределение вероятности для случайной ве-
личины Y = X1 + X2.
Решение
Распределение Пуассона – распределение дискретной величины, которая представляет собой число событий, произошедших за фиксированное время при условии, что события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и
при этом независимо друг от друга.
Ещё раз напоминаем о том, что для дискретной случайной
величины не существует понятия функции плотности распределения вероятности – можно говорить лишь о распределении
вероятностей.
Распределение вероятности для закона Пуассона –
,
e
X
где k – количество событий, l – интенсивность появления
нужного события.
Обратимся к теоретической части для случая суммирования
Y1 + Y2 для независимых случайных величин:
YY
12
YY YY
12 12
(выберем этот вариант).
xyWydy
12
yW xydy
11
,
120
00
22
2
00
()
!!
n
nn
kk
kk
nn
nn
kk
PP
ee
0
n
nk
k
2
1.x
12
!!
n
n
Pe
nn
00
вероятности
!!
k
nn
kk
kk
Случайные процессы
В нашем случае в качестве случайной величины Y1 выступает
X1, в качестве Y2 выступает X2. Таким образом, происходит пере-
ход от системы обозначений в теоретической части к обозначениям, использованным в задаче.
Кроме того, мы имеем дело с дискретной случайной величи-
ной ⇒ интегрирование заменяется суммированием, а функция
плотности распределения вероятности – на распределение вероятности:
YXX
k
knkknk
12 12
kP nk
12
0
kn
12 12
1212
eee
!! !!
!
nknk n
!!
n
kk k k
12
nk
C
1
n
.
Обратимся к [4], раздел «Элементарные функции: степени
биномов: степенные ряды», и находим формулу разложения:
n
ax Cxa
kk
n
.
Проводя аналогию с нашим последним выражением, ви-
1
,
дим, что
a
Тогда получим:
n
Y
21
12 12
1
2
e
.
Теперь определим характеристические функции для случай-
ных величин X1 и X2:
k
juХ
ju Ee eee
Х
1
111
juk
1
распределение
ju
e
1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]