Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
ГЛАВА 3
12
12 12
Kt
12
12 12
,,
Rt
2
,,
Kt
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ
ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ
ПЛОТНОСТИ (ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ) СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Ковариационная функция случайного процесса ξ(t) [1, 2]:
,
tEtmttmt
12 1122
,;,
Rttmtmt
где Rξ(t1, t2) – корреляционная функция, x1 = ξ(t1), x2 = ξ(t2);
xmtxmt Wxxttdxdx
,
1122 1212
tEtt xxWxxttdxdx
12 12 12 1212
,
Kttmtmt.
Если ξ(t) – случайный процесс, стационарный в широком
смысле, то значение мат. ожидания является неизменным (константой), следовательно,
,
tEtm tm
12 12
,;
Кроме того, для стационарных в широком смысле случайных
процессов характерен тот факт, что ковариационная и корреляционная функции зависят только от разности t2 – t1 = τ, поэтому
xmxmWxxttdxdxRtt m
12 1212 12 12
Rξ(t1, t2) = Kξ(t1, t2) + m
Kξ(τ) = Rξ(τ) – m
2
.
ξ
; ,
2
.
ξ
;
62
limRm
12
12
Случайные процессы
Свойства корреляционной функции:
1) чётность: Rξ(τ) = Rξ(–τ);
2) абсолютные значения корреляционной функции при
любом τ не могут превышать её значение при τ = 0:
|Rξ(τ)| ≤ Rξ(0);
3) при неограниченном увеличении τ значение функции
Rξ(τ) стремится к mξ:
.
Перечисленные выше свойства относятся только к стацио-
нарным (в широком смысле) случайным процессам.
Для того чтобы охарактеризовать статистическую зависимость двух случайных процессов в два совпадающие или различные моменты времени, используют взаимные корреляционные
(ковариационные) функции:
Kξh(t1, t2) = E {(ξ(t1) – mξ)(h(t2) – mh)},
Khξ(t1, t2) = E {(h(t1) – mh)(ξ(t2) – mξ)}.
Если взаимные ковариационные функции зависят только от
разности t2 – t1 = τ, то случайные процессы ξ(t) и h(t ) называются
стационарно связанными и для них справедливо соотношение
Kξh(t1, t2) = Kξh(τ) = Khξ(–τ).
Для количественной характеристики степени линейной зависимости случайных процессов используют нормированную
корреляционную или нормированную ковариационную функцию – коэффициент корреляции (точнее, аналог коэффициента
корреляции для случайных величин, но применительно к случайным процессам)
Коэффициент ковариации:
Коэффициент корреляции:
,
tt
12
,
tt
12
DtDt
DtDt
Ktt
12
,
Rtt
12
,
.
.
Глава 3. Корреляционные функции и спектральные
12
12
1
||
2
td
SR
1
2
RS
плотности (энергетические спектры) случайных процессов
63
Коэффициент взаимной ковариации:
,
Ktt
12
,
tt
12
DtDt
.
Коэффициент взаимной корреляции:
,
Rtt
12
,
tt
12
DtDt
.
Если случайные процессы являются стационарными в широком смысле и стационарно связанными, то дисперсия определяется соотношением
Dξ(t) = Kξ(0) = s
2
.
ξ
Степень коррелированности случайного процесса можно
охарактеризовать с помощью интервала корреляции:
.
c
0
d
Геометрически интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой rξ(0) = 1, площадь которого равна площади, заключённой между кривой |rξ(τ)| при τ > 0 и осью абсцисс. Величина интервала корреляции даёт ориентировочное
представление о том, на каком интервале времени в среднем
имеет место коррелированность между значениями случайного
процесса.
Для стационарного (в широком смысле) случайного процесса спектральная плотность (энергетический спектр) связана
с корреляционной функцией через преобразование Фурье:
В том случае, если случайный процесс является центрированным (т.е. с нулевым мат. ожиданием)
Red
Sed
j
,
j
.
64
0
SR
1
RS
0
2c
SK
1
KS
Случайные процессы
ξ0(t) = ξ(t) – mξ(t).
Тогда с учётом свойства чётности ковариационной и корре-
ляционной функций
2 cos
0
0
0
cos
os
cos
0
,
d
,
d
,
d
.
d
Т.к. корреляционная функция и спектральная плотность являются вещественными чётными функциями, то можно отказаться от комплексной формы записи и перейти к другой форме.
Все приведённые выше формулы называются формулами
(теоремой) Винера – Хинчина. Соответственно, спектральная
плотность случайного процесса ξ(t), стационарного в широком
смысле, с мат. ожиданием mξ(t) и ковариационной функцией
Kξ(τ) отличается от спектральной плотности случайного процесса ξ0(t), стационарного в широком смысле, с нулевым мат.
ожиданием (т.е. центрированный случайный процесс) и корреляционной функцией R
S
(τ):
ξ
0
(w) = Sξ(w) – 2πm
ξ
0
2
(t)δ(w).
ξ
Основные свойства спектральной плотности:
1) спектральная плотность не может иметь отрицательных
значений:
2) для вещественных случайных процессов спектральная
плотность является чётной функцией:
S(w) ≥ 0 при любых w;
S(w) = S(–w).
0
SR
1
2
RS
0
SK
1
2
KS
1
Sd
1
mS
2
mS
2
Глава 3. Корреляционные функции и спектральные
плотности (энергетические спектры) случайных процессов
65
Приведённые выше формулы (теорема) Винера – Хинчина
справедливы для двустороннего спектра, т.е. круговая частота
имеет как положительные, так и отрицательные значения.
Для физической спектральной плоскости (отлична от нуля
при f ≥ 0)
4 cos
0
0
4 cos
0
cos
cos
0
,
d
,
d
,
d
.
d
Соответственно, приведённые соотношения справедливы и
для взаимных корреляционных, ковариационных и спектральных функций.
Другие параметры:
- эффективная ширина спектра:
э
0
S
0
;
- средняя частота спектральной плотности:
2
0
d
;
- средний квадрат частоты спектральной плотности:
- средняя квадратическая ширина спектральной плотности:
Отдельно остановимся на вопросе непрерывности и дифференцируемости.
2
2
2
2
d
2
0
0
2
mS d
;
.
66
2
m0
T
Et
mE
dt
12
12
Kt
12
12
Rt
22
22
0m ,
KR
KR ,
12
2
Kt
Случайные процессы
Необходимым и достаточным условием непрерывности слу-
чайного процесса ξ(t) в точке t является непрерывность его ковариационной функции Kξ(t1, t2) при t1 = t2 = t. Соответственно,
для случайного процесса, стационарного в широком смысле,
всё то же самое, только для τ = 0.
Случайный процесс ξ(t) является дифференцируемым в мо-
мент времени t в среднеквадратическом, если существует такая
случайная функция
·
ξ(t) = dξ/dt, для которой
tT t
0
T
li
.
Соответственно, основные статистические функции для
производной случайного процесса:
- мат. ожидание:
dm t
t
;
- ковариационная функция:
2
,
Ktt
,
tE tt
12 01 02
tt
;
- корреляционная функция:
2
Rtt
tEtt
,
12 12
tt
Для случайного процесса, стационарного в широком смысле,
SS.
2
Для обычного случайного процесса (нестационарного,
но дифференцируемого в среднеквадратичном)
Ktt
,
tE tt
12 01 02
,
.
,
,
t
12
2
Rt
KR
KR
0
12
12
Kt
12
12
Rt
22
22
1
11
nn
nn
nn
KR
KR
SS
12
12
Kt
Глава 3. Корреляционные функции и спектральные
плотности (энергетические спектры) случайных процессов
,
Rtt
,
tE tt
12 01 02
.
t
Для случайного процесса, стационарного в широком смысле
67
KR
.
А взаимная спектральная плотность
SjS
.
Соответственно, при τ = 0, т.е. в совпадающие моменты времени, взаимная корреляционная (или ковариационная) функция случайного процесса, стационарного в широком смысле, и
его производной равны 0 (т.е. в совпадающие моменты времени случайный процесс ξ(t) и его производная некоррелированы), а взаимная спектральная плотность является чисто мнимой
функцией.
Для производных n-го порядка
2
n
,
Ktt
2
n
nn
tt
Rtt
nn
tt
,
,
.
,
t
n
12
t
,
n
12
Для случайного процесса, стационарного в широком
смысле,
nn
,
Для обычного случайного процесса ξ(t) (нестационарного, но дифференцируемого в среднеквадратичном)
t
2nn
km
tt
.
0
Ktt
km
,
,
km
12
,
68
12
12
Rt
11
kk
KR
KR
jn
n
SR
Rn
12
,()()
tt
22
12
1
,(()
2
tt
12
)()
tt
1
n)
n
ii
i
ttjt
Случайные процессы
,
km
12
km
t
Rtt
km
tt
,
.
Для случайного процесса, стационарного в широком смыс-
ле,
km km
km km
km km
Наконец, теорема Винера – Хинчина для дискретных слу-
чайных процессов имеет вид
jn
,
.
Sed
ne
1
2
Для ковариационных и взаимных ковариационных функций
случайных процессов справедливы соотношения
Kt
12
12
)Kt
,
t
,
t
.
Для случайного процесса S(t ) = ξ(t) h(t), где ξ(t) и h(t) – неза-
висимые случайные процессы с корреляционными функциями
Rξ(τ) и Rh(τ) (соответственно), корреляционная функция RS(τ)
Для комплексного случайного процесса
где ai и bi – независимые случайные величины с нулевым мат.
ожиданием и дисперсией Di
Корреляционная функция имеет вид
,(
Kt
12
t
.
RS(τ) = Rξ(τ)Rh(τ).
( cos si
ii
,
1
RD
n
i
2/
tT
n
KM
1,
и0
M
1
n
mi
i
St At
Глава 3. Корреляционные функции и спектральные
плотности (энергетические спектры) случайных процессов
69
cos
i
.
i
Пусть h(t) – случайный процесс вида
h(t) = F(t)ξ(t),
где ξ(t ) – случайный процесс, стационарный в широком
смысле с мат. ожиданием mξ и ковариационной функцией
Kξ(τ); а F(t) – непериодическая детерминированная функция.
Тогда мат. ожидание и ковариационная функция h(t)
mh = mξF(t),
Kh(τ) = F(t)F(t + τ)Kξ(τ).
Такой случайный процесс называется периодически нестационарным.
Пусть из стационарного в широком смысле случайного процесса ξ(t) с мат. ожиданием mξ и ковариационной функцией Kξ(τ)
выделен отрезок продолжительностью T, который затем периодически повторяется.
Мат. ожидание такого случайного процесса h(t)
mh = mξ.
Ковариационная функция h(t)
где
n
Физическая спектральная плотность (отлична от нуля только при f ≥ 0) сигнала
jn
KKTn
TT
n
11 , пр
1
jnT
jn
eK KT n
e
n
sin
i
,
п ри 0
,
i
.
70
1
n
mi
i
Sf
при 0
NfF
Sf
1
Cf
Sf
12
11
11
22
tt
Случайные процессы
у которого Ami и wi – неслучайные амплитуда и частота, а ji – независимые друг от друга случайные фазы, равномерно распределённые на интервале (–π, π), равна
1
2
2
Aff
i
.
Пусть ξ(t) – гауссов стационарный шум (т.е. шум, подчи-
няющийся нормальному закону распределения) с равномерной
спектральной плотностью
0 при f < 0, f > F
Тогда значения шума в моменты времени, отстаящие друг
от друга на величину Dt = n/(2F), n = 1, 2, 3, ..., является статистически независимыми.
Пусть ξ(t) – гауссов стационарный шум с ограниче нным,
но неравномерным спектром вида
cos 2 при 0
Cf
0 при f < 0, f >F
F
4
C
Тогда значение шума в моменты времени, отстаящие друг от
друга на величину Dt = 2nC, n = 1, 2, 3, ..., являются зависимыми.
Пусть случайный процесс h(t) представляет собой после-
довательность случайно чередующихся отрезков элементарных
сигналов ξ1(t) и ξ2(t):
tt
,
t
где ξ1(t) и ξ2(t) – стационарные в широком смысле и зависимые друг от друга случайные процессы, при этом независимые от ξ(t), а ξ(t) – случайный двоичный сигнал, который
в любой момент времени может принимать одно из двух значений (1 или –1) с одинаковой вероятностью, равной 0,5.
При этом моменты скачков (перемена знака) распределены
по закону Пуассона, т.е. вероятность появления n скачков
на интервале длительностью τ определяется выражением
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]