Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
11
2
ψ
22
1
2
λ
λ
m
λ
λ
m
ψλ
11
,
x
ed
222
x
ed
1c
m
ψ
Задачи к главе I
31
Таким образом, i – порядок функции Бесселя.
С другой стороны, помним, что j = √–––1– ⇒ мы можем представить (–1)i как (j )i · (j)i и сумма «распадается» на два множителя. В этом случае мы можем «вытащить» интеграл и записать
его в виде отдельной функции:
i
i
im
im
ju x
11
,
ju x
22
.
i
11
i
22
1
xjJAue du
xjJAue du
Выполняем замену переменных:
Au u
111m
1
,
Au u
222m
A
2
.
A
Получим:
1
λ
j
x
i
1
AA
x
i
AA
2
mm
2
2
mm
1
1
i
jJ
i
jJ
1
A
m
i
i
λ
1
2
j
2
A
m
.
Тогда получим:
i
Wxxj i
0
i
,, cos
12 12 0
i
m
2
0
i
1
2
A
2
Вычисление интегралов
1
m
A
2
m
xx
ii
12
12 0
AA
mm
i
1
xx
ii
12
2
AA
mm
i
os .
x
1
A
m
и
i
2
x
2
является не-
A
m
простой задачей, поэтому проще выразить их с помощью полиномов Чебышева, которые появляются при решении дифференциального уравнения Чебышева [11].
Дифференциальное уравнение
(1 – x2)y '' – xy' + n2y = 0,
где |x | < 1, n – действительное число,
32
0
dt
Случайные процессы
называется уравнением Чебышева в честь знаменитого русского
математика Пафнутия Львовича Чебышева.
При решении данного уравнения выполняется подстановка
x = cos (t). В результате уравнение принимает более компактный
вид:
2
dy
2
ny
2
.
Общее решение полученного уравнения:
y(t) = C1 cos(nt) + C2 sin(nt).
Или в другой форме:
y (t) = C cos (nt + a),
где C1, C2, C и a – произвольные действительные числа (да-
лее для простоты примем a = 0).
Тогда общее решение примет вид
y (t) = C cos (nt).
Возвращаясь к исходным переменным,
собой полином Чебышева первого рода:
имеет другой вид:
мы получаем полиномы Чебышева второго рода:
y(x) = C cos(n · arccos x).
Если n – целое число, то последнее выражение представляет
Tn(x) = cos(n · arccos x),
где | x | ≤ 1, n = 0, 1, 2, 3, …
В результате
T
(x) = 2Tn(x)x – T
n+1
n – 1
.
В том случае, если исходное дифференциальное уравнение
(1 – x2)y'' – 3xy ' + n(n + 2)y = 0,
2,
2
Ux
xn
22
0
k
k
Tx xx
22
0
11
k
Ux
22
11
2
nn
jx
Tx
ψ
ψ
1
x
ψ
11
22
ii
mm
xx
TT
AA
Ax
Задачи к главе I
33
n
1, если 0
2x, если n
xU xU
n
nn
12
если
.
Для действительных (вещественных) чисел
n
22
xx xx
n
n/2 означает взятие целой части от n/2, то есть мы вычис-
1( 1)
2
n
n
2
n
2
k
k
n
1
.
ляем неполное частное от деления n пополам – делим n пополам и округляем результат до ближайшего целого в меньшую
сторону:
1
n
xx xx
n
n
2
1
n
21
k
22
1
xx.
2
21
x
k
nk
1n
Для комплексных чисел
xj xx
n
Возвращаемся к нашей задаче.
Связь интегралов
шева первого рода:
i
1
x
A
i
1
и
m
x
i
2
Tx
i
x
2
с полиномом Чебы-
A
m
.
2
Значит,
x
i
1
1
A
m
1
x
1
A
m
A
m
m
.
,
2
1
34
ψ
22
22
ii
mm
xx
TT
AA
Ax
ωτ
12
mm
Wx
Случайные процессы
x
i
2
2
A
m
x
2
1
A
m
A
m
m
.
2
2
Тогда получим:
xx
12
TT
,, 1 cos
τε
xAi
ξ
12 0
i
i
0
1
mm
2
2
A
m
ii
AA
mm
2
22 22
Ax Ax
.
Таким образом, полученное выражение для Wξ(x1, x2, τ) даёт
разложение двумерной функции распределения вероятности
гармонического колебания со случайной начальной фазой по
полиномам Чебышева.
Задача 4
Случайный процесс ξ(t) задан в виде ξ(t) = b + Vt, где b – известная постоянная, V – случайная величина, распределённая
по нормальному закону с математическим ожиданием mν и дисперсией Dν = s
2
. Найти плотность распределения вероятностей
ν
Wξ(x, t), математическое ожидание mξ и дисперсию Dξ [1, 2].
Решение
По условию задачи известно математическое ожидание случайной величины V, а нужно найти математическое ожидание
случайного процесса ξ(t), то есть mξ. Это выполняется очень
просто: мы знаем, что ξ(t) = b + Vt, тогда математическое ожидание получится как линейное преобразование:
mξ = b + mνt.
С дисперсией похожая ситуация. Так как дисперсия – квадратичная функция, то нужно просто «масштабировать» дисперсию случайной величины Dν на квадрат времени:
Dξ = s
2
t2.
ν
2
Wxte
2
v
Wxte
2
Wxte
Задачи к главе I
35
Видим, что в обоих случаях главным отличием математического ожидания и дисперсии случайной величины от случайного
процесса является именно «масштабирование» по времени: математического ожидания – линейно, дисперсии – квадратично.
Теперь можем записать выражение для функции плотности
распределения вероятности для одномерного случайного процесса
xm
,
1
2
2
2
,
,
ξ
1
σ
t
xbmt
v
22
σ
2
t
v
2
.
Задача 5
Найти функцию плотности распределения вероятности суммы/разности двух некоррелированных гауссовых стационарных
случайных процессов:
g(t) = ξ(t) ± h(t).
Математическое ожидание и дисперсия, соответственно,
равны mξ и mh, Dξ = s
2
и Dh = s
ξ
Решение
Поскольку оба процесса являются некоррелированными, то
,
Обращаем внимание на два момента:
• нет «масштабирования» по времени, как в задаче 4, так
как известна временная зависимость для x;
• для математического ожидания используется знак «±»
в то время как для дисперсии – только «+»: суть в том, что
при сложении двух случайных процессов дисперсия не
может вычитаться, ведь физический смысл дисперсии –
отклонение от математического ожидания.
2
[1, 2].
h
xm m
1
2
DD
DD
2
.
ГЛАВА 2
bb
p
aa
b
a
dx
1/ 1/ 1/ppp
bb
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Множество E элементов произвольной природы называется
линейным пространством, если в нем однозначно определены
операции сложения элементов x + y и умножения элементов на
скаляр l (вещественное или комплексное число) lx, результатом
которых является элемент из этого же множества E [12].
Пусть для p ≥ 1 существуют интегралы
p
Ux dx Vx
причём пределы интегрирования необязательно являются конечными.
Тогда также существует интеграл
верна оценка [12]
и
,
Ux Vx
p
, причём
b
Ux Vx dx Ux dx Vx dx .
aaa
ppp
Линейное пространство E называется нормированным, если
каждому элементу x ∈ E поставлено в соответствие вещественное число || x ||, называемое нормой.
Пусть E – линейное нормированное пространство. Рассмотрим последовательность {xn} ⊂ E. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если
0 : ,
(
– множество натуральных чисел).
NN nN pxx
np n
Линейное нормированное пространство E называется полным, если в нем сходится любая фундаментальная последовательность.
Полное линейное нормированное пространство называется
банаховым (пространство Банаха).
Глава 2. Преобразование Фурье
xx
xy
xx
1kkk
x
1
22
k
TT
37
Линейное пространство E называется евклидовым, если
каждой паре его элементов x, y ∈ E поставлено в соответствие
вещественное число <x, y>, называемое скалярным произведением [12].
Норма для евклидова пространства:
,
x
.
Неравенство Коши-Буняковского (или Шварца):
,xy
.
Пространством Гильберта H называется евклидово про-
,
странство, которое полно в норме
x
, т. е. является пол-
ным нормированным евклидовым пространством.
Пусть E – линейное пространство с введённым скалярным
произведением. Ортогональными элементами пространства E
называются такие элементы x, y ∈ E, что 〈x, y〉 = 0. Ортогональность элементов обозначается как x ⊥ y. Очевидно, что нулевой
элемент ортогонален всем элементам пространства. Ортогональной системой в E называется множество попарно ортогональных
элементов {xn} ⊂ E [12].
Ортогональная система {jk}
∞
⊂ H называется полной
k = 1
в гильбертовом пространстве H, если ∀x ∈ H, существует разложение
– ряд Фурье (по ортогональной системе {jk}),
числа {lk} называются коэффициентами Фурье.
Наиболее часто используются следующие ортогональные
системы:
• тригонометрическая система функций:
1, cos , sin
• система ортогональных многочленов Лежандра:
kt kt
∞
{Pn(t)}
n = 0
,
,
38
2!
n
Pt
ndt
rx
0
l
k
nk
k
wx
22
22
kk
kk
hx
Случайные процессы
• система функций Радемахера:
• система функций Уолша:
l = l(n) – конечное число, которое определяется номером n функции Уолша: n ≤ 2
• система функций Хаара:
Таким образом, в зависимости от выбранной системы ортогональных функций может быть получено различное разложение анализируемой функции в ряд Фурье [12].
n
1
nn
{rk(x)}
rk(x) = r0(2kx),
1 при 0;
0
1 при ;1
{wn(x)}
l + 1
– 1,
{hn(x)}
k
2 при ,
n
k
2 при ,
0 при ,
n = 2k + m, l ≠ m, 1 ≤ l ≤ 2k.
d
∞
k = 0
x
x
∞
n = 0
rx
∞
n = 0
x
x
x
,
,
,
n
2
t
,
1
1
2
1
2
n
,
m
1
m
1
m
2
1
ll
kk
22
1
2
m
Глава 2. Преобразование Фурье
1
22
kk
k
a
TT
2 k
T
/2
/2
22
T
T
aftt
TT
/2
/2
22
T
T
bftt
t
TT
В случае выбора тригонометрической системы ортогональ-
ных функций разложение в ряд Фурье имеет вид
39
f tab
0
2
kt kt
cos sin
,
где
T – период функции f(x),
Ak – амплитуда k-го гармонического колебания,
– круговая частота гармонического колебания,
k
ak и bk – коэффициенты Фурье:
k
k
k
cos
sin
dt
k
d
, k = 0, 1, ...
, k = 0, 1, ...
В случае если аппроксимируемая функция f(t) является разрывной, то поведение частичных сумм fN(t) ряда Фурье характеризуется всплесками, дающими максимальное уклонение имен но вблизи точек разрыва, – эффектом Гиббса (наиболее характерный пример – аппроксимация рядом Фурье меандра:
на «углах» этого меандра и есть разрыв функции, а следовательно,
там и появляются всплески у аппроксимирующей функции) [12].
Чем больше частичных сумм ряда Фурье будет использовано, тем ближе всплеск сместится к точке разрыва, но при этом
амплитуда всплеска останется неизменной.
Такой частный случай явления Гиббса может быть обобщён
на случай произвольной (разрывной) функцией f (t), представимой в виде ряда Фурье. Вблизи точек разрыва величина максимальных пульсаций частичных сумм практически не изменяется с увеличением количества слагаемых в самой сумме и размах
пульсации составляет величину около 118% от величины «скачка» | f (t + 0) + f (t – 0) |.
Альтернативной формой записи разложения в ряд Фурье
в комплексном виде является [12]
40
t
k
/2
2
/2
T
T
2 k
k
/2
2
/2
T
k
jt
T
cf
m,
SV
ed
Случайные процессы
ft ft
00
2
fe
k
2
jk
T
,
где в левой стороне выражения написано значение ряда в
точке разрыва, а в правой – сам ряд Фурье;
jk t
1
ffte dt
k
T
T
.
Итак, разложение периодической функции f(t) в ряд Фурье
имеет вид [13]
j t
ft ce
T
,
k
1
k
T
te
T
– коэффициент ряда Фурье.
Реальные сигналы чаще всего представляют непериодические функции, и для разложения таких функций в ряд Фурье необходим ряд обобщений:
• анализируемая (разлагаемая в ряд) функция теперь запи-
сывается как f(u) (а не f (t )),
• вводим обозначение Vk = k/T, таким образом, мы уходим
от использования периода T,
• вводим (предполагая, что он существует) интеграл на ос-
нове коэффициента ряда Фурье:
2
jVu
li
cT fu
kk
T
k
u
где S (Vk) – «аналог» коэффициента ряда Фурье для неперио-
дической функции. В отличие от интеграла для коэффициента
ряда Фурье, пределы стали бесконечными (ведь T → ∞), вме-
сто f(t) записываем f(u) (мы же перешли к непериодиче с кой
функции), вместо k/T записываем Vk (мы же сделали заме ну,
чтобы уйти от использования T ), а вместо t используем u.
Обобщаем ещё дальше: вместо Vk переходим к V, а в качестве
преобразуемой функции возвращаемся к записи f (t), но при этом
под f (t ) уже подразумеваем непериодическую функцию [13]:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]