Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
Задачи к главе 4
0
k
k
e
1
n
YХ
i
11
WW
12
22
YY
WW
121
Обратимся к справочнику (тому же), раздел «Показательная функция: представление в виде ряда», и находим формулу
разложения:
x
x
.
!
k
Соответственно, наше выражение примет вид
q
X
1
Аналогично для X
(ju) = e
2
q
X
2
–l
(ju) = e
1
· e
ju
l1e
= e
l2(eju – 1)
l1(eju – 1)
.
.
Обратимся к теоретической части:
ju ju
YY
12 i
n
.
Тогда в нашем случае
qY(ju) = e
qY(ju) = q
l1(eju – 1) el2(eju – 1)
(ju) q
X
1
(ju),
X
2
(l1 + l2)(eju – 1)
= e
.
Задача 17
Найти распределение вероятностей дискретной случайной
величины Y = X1 – X2, где независимые случайные величины X1
и X2 подчинены закону Пуассона с параметрами l1 и l2 соответственно [1, 2].
Решение
Обратимся к теоретической части – к случаю определения
разности Y = Y1 – Y2 для независимых случайных величин:
yW yxdy
YY YY
12 12
YY
12
11
xyWydy
12
(выбираем этот вариант).
,
122
1
!
k
Pk
k
2
!
k
k
00
!!
n
nk k
nn
kk
Pe
kknk
2
Wx
Y
X
Wy
Y
Случайные процессы
Распределения вероятностей случайных величин X1 и X2 со-
гласно условию задачи
X
1
1
,
e
Pk e
X
2
2
.
В нашем случае мы имеем следующие аналогии:
Y1 (в теоретической части) → X1 (в данной задаче),
Y2 (в теоретической части) → X2 (в данной задаче).
Учитывая, что мы имеем дело с дискретной случайной величиной, переходим от интегрирования к суммированию и
от функции плотности распределения вероятности к распределению вероятностей:
Y
ee
12
nk k
k
0
12 12
kn
12
e
!!
nk k
12
!!
k
n
1
12
.
Задача 18
Случайная величина Х с функцией плотности распределения вероятности [1, 2]
x
x
2
2
e
X
, x > 0,
2
подвергается преобразованию
Определить функцию плотности распределения вероятности случайной величины Y.
Решение
Обращаемся к теоретической части:
YX
В нашем случае
Wy
y
.
.
y
.
y
Задачи к главе 4
2
22
Wy
yy
1
Wy
y
1
Wx
b
ba
Wy
yy
1
Wy
ba
22
11
Wy
Следовательно,
Y
Y
22
2
y
e
1
2
e
3
1
,
2
y
.
Задача 19
Случайная величина Х распределена равномерно в интерва-
ле (a, b) [1, 2]:
, 0
X
ax
.
Определить функцию плотности распределения вероятно-
сти случайной величины Y = X2.
Решение
Обращаемся к теоретической части:
y
Wy
YX
.
y
123
В нашем случае
.
Следовательно,
,
ayb
y
y
Y
Y
ba
2
Если бы начальное условие было другим:
a ≤ x ≤ b < 0,
то ответ был бы таким же с той лишь разницей, что
b2 ≤ y ≤ a2,
'
,
.
124
2
22
a
Случайные процессы
т.к. при переходе в отрицательную область меняется способ
сравнения двух чисел: из двух отрицательных чисел большее то,
которое по модулю меньше. Например, a = –10, b = –1. Следовательно,
100
22
будетн аходиться «левее», чем a
ab b
2
1
b
.
Задача 20
Случайная величина Х с функцией плотности распределения вероятности WX(x) подвергается преобразованию
Y = | 1 – X |. Найти функцию плотности распределения вероятности WY(y) [1, 2].
Решение
В целях определения областей значений Y построим график (рис. 7).
y
y = |1 - x|
-4 -3 -2 -1
Рис. 7. График зависимости y (x )
01234 x
Соответственно, можем представить исходную зависимость
в виде суммы двух ветвей:
Задачи к главе 4
1, если 1
yx x ,
.
0
i
Wy
''
11
XX XX
Wy
yy
Wy
YX
mg
xdx
YY
2
0
20
mA td
125
yx x
1, если 1
Но в обоих случаях y > 0, т. к. исходная функция – модуль –
предполагает, что y всегда положительна.
Обращаемся к теоретической части:
n
YXi
Wy
y
i
.
y
В нашем случае имеют место две ветви:
j1(y) = 1 – y,
j2(y) = 1 + y.
Соответственно
11 11
Wy yW
YX X
WyWyWy
11 11
.
Задача 21
Случайная величина a равномерно распределена в интерва-
ле от 0 до 2π. Вычислить мат. ожидание и дисперсию случайной
величины X = A cos2(wt + a), где A, w и t – неслучайные величины [1, 2].
Решение
Обращаемся к теоретической части:
2
gx mWxdx
В нашем случае
g (x) = A cos2(wt + a) = g (a).
Тогда
X
2
cos
xW
,
2
X
1
.
,
126
2
0
mt
22
AA
m
2
2
калькулятораинтегралов)
AA
2
2
Wx
12
22
YY
WW
11
WW
Случайные процессы
A
X
2
2
cos
d
.
С помощью калькулятора интегралов находим:
X
22
X
22224
AAA
2288
At d
0
22 2
11 1
24 2
AtdAtd d
00 0
2
222
cos 2
0
(получено с помощью
cos
cos 2cos
42
td A
.
3
=
4
A
220
1
1
,
2
Задача 22
Производится однократное измерение частоты колебаний F
автогенератора, распределённой по равномерному закону в интервале от f
min
до f
. Найти функцию плотности распределения
max
вероятности результата измерения Y = F + X, где Х – погрешность (случайная величина, не зависящая от F), имеющая функцию плотности распределения вероятности [1, 2]:
x
X
1
2
2
.
e
Решение
Обращаемся к теоретической части:
YY
12
YY YY
12 12
xyWydy
12
yW xydy
11
,
.
Задачи к главе 4
min
f
WW
2
min
We
получено спомощью калькулятора интегралов
2
f
W
11
22
Фх
21
x
erfФ
11
21
W
ФФ
127
В нашем случае
X1 = F + X,
где Y1 = F (частота), Y2 = X (погрешность).
Получается, что X1 – результат измерения, поэтому получим:
max
FX FX
X
1
X
1
ff
maxmin
X
1
f
f
max
ff
maxmin
f
11
fW xfdf
11
max
2
f
min
erferf
22 2
1
2
xf
1
2
edf
xf
1max
2
xf
1
2
2
xf
1min
,
df
,
Известна взаимосвязь erf(x) и Ф(х) [3]:
erf
x
.
2
1
Соответственно,
2
.
х
Тогда получим:
X
1
ff
2
ff
maxmin
Эта задача является классическим примером для практи-
maxmin
21
1
2
xf
xf
1min
xf
1min
ФФ
1max
xf
1max
.
ческого применения: в качестве частоты автогенератора может
выступать любая физическая величина! Но главное другое –
128
2
2
Ws
21
1
Wn
uu
12 12
12 22YY YY
WWxyWydy
12 12
1111YY YY
WWyW xydy
2
21
11
We dn
2
Wedn
Случайные процессы
на этом примере очень удобно рассматривать различные варианты взаимодействия двух сигналов – полезного сигнала и шума.
Задача 23
Имеем полезный сигнал S, подчиняющийся нормальному
закону распределения:
sm
s
1
2
2
e
,
и шум N, подчиняющийся равномерному закону распределения
(белый шум):
N
,
где u1 и u2 – минимальное и максимальное значения шума.
Определить функцию плотности распределения вероятности для аддитивной смеси сигнала и шума:
X = S + N.
Решение
Обращаемся к теоретической части (для независимых случайных величин):
,
.
В нашем случае X1 = Y1 + Y2, Y1 = S, Y2 = N. Учитывая, что шум
подчиняется равномерному закону распределения, выбираем то
выражение, в котором W
ко y2, т. е. левое выражение:
SN
XX
1
X
использует в качестве аргумента толь-
Y
2
xnm
2
11
uu
21
2
2
2
uu
xnm
2
,
2
(пределы интегрирования определяются диапазоном
значений полезного сигнала, но не шума!).
Задачи к главе 4
21
We
11
22
Фх
21
erfФ
1
21
nxm
WФ
21
WФ
11
WW
12
22
YY
WW
129
Интеграл вычислим с помощью калькулятора интегралов:
11
X
uu
22 2
rf
nxm
Используем взаимосвязь между Ф(х) и erf(х) [3]:
erf
x
.
2
1
Тогда
x
2
х
.
Соответственно,
X
2( )
uu
21
1
X
uu
nxm
,
.
1
Задача 24
Решить задачу 23 при условии, что
X = S – N.
.
Решение
Обратимся к теоретической части (для независимых случай-
ных величин):
yW yxdy
YY YY
12 12
YY
12
11
xyWydy
12
В нашем случае X1 = Y1 – Y2, Y1 = S, Y2 = N. Учитывая, что
шум подчиняется равномерному закону распределения, выбираем то выражение, в котором W
только y2, т. е. нижнее выражение:
использует в качестве аргумента
Y
2
,
.
130
2
21
11
We dn
2
Wedn
We
11
22
Фх
21
x
erfФ
WФ
11
WW
22
22
WW
yy
Случайные процессы
SN
XX
1
X
uu
xnm
2
11
21
2
2
2
uu
xnm
2
2
,
.
Интеграл вычислим с помощью калькулятора интегралов:
X
uu
21
22 2
11
rf
nxm
.
Используем взаимосвязь между Ф(х) и erf(х) [3]:
1erf
x
2
.
Тогда
х
2
.
Соответственно,
1
X
uu
21
nxm
.
1
Задача 25
Решить задачу 23 при условии, что
X = S · N
(мультипликативная смесь полезного сигнала и шума).
Решение
Обратимся к теоретической части (для независимых случай-
ных величин):
x
1
YY YY
12 12
yW dy
1
yy
11
,
x
1
YY YY
12 12
Wy dy
1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]