Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
mt
tdx
.
mt
22
1122
xxxx
Wx
te
12
xx
xx
Wx
2
XX
mm
xd
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
Кусочно-разрывные и трансцендентные преобразования
(прямой метод) [1]
Нелинейное преобразование может быть представлено с помощью кусочно-разрывной или трансцендентной функции.
В этом случае одномерная начальная моментная функция
ν-го порядка выражается с помощью того же выражения:
91
EY tgxt Wx
,
X
.
А двумерная начальная моментная функция второго порядка –
,()()()( )(,,,)
tEYtYt gx gx Wxxttdxdx
1, 1121212121212
X
В частном случае, если на вход рассматриваемого нелинейного элемента воздействует гауссов стационарный процесс
X(t) с нулевым значением мат. ожидания, дисперсией s
2
и нор-
X
мированной корреляционной функцией rX(τ), то определение
m
, t2) может быть реализовано с помощью метода дельта-
1,1(t1
функции. Суть метода заключается в том, что двумерная функция плотности распределения вероятности описанного выше
случайного процесса X(t )
2
X
22
,,,
xt
X
1212
21
1
22
XX
21
XX
может быть разложена в ряд:
1
2
,,,
xtt
XX X
1212
n
(n+1) (n+1)
ФФ
!
n
0
n
.
Соответственно, двумерная начальная моментная функция
второго порядка для случайного процесса Y(t )
22 2
1,11
YY
tg
1
n
n
!
1
Ф
(n+1)
x
x
x
,
92
Xx
mt
xdx
Xx
2
Rgxd
Случайные процессы
где
EY tg
1
1
Y
1
1
x
x
'
Ф
.
Тогда корреляционная функция
RY(τ) = m
22
YX
n
1
(τ) – m
1,1
Y
Напоминаем, что ν = ν1 + ν2 + ... + ν
2
(t),
1
Y
1
x
x
– порядок n-мерной
n
n
n
X
xФ
.
!
n
начальной моментной функции.
Применительно к различным кусочно-разрывным характе-
ристикам нелинейных элементов следует выполнять интегрирование по частям такое число ν раз, чтобы ν-я производная
(ν)
g
(x) превратилась в дельта-функцию или их сумму.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4
mg
1
mA td
00
2
AA
mt
dt
Задача 1
Найти ковариационную функцию и спектральную плотность для стационарного в широком смысле случайного процесса [1, 2]:
ξ(t) = Am sin(w0t + j),
где Am и w0 – постоянные амплитуда и угловая частота,
а j – случайная фаза, равномерно распределённая на интер-
вале (–π, π).
Решение
Обращаемся к теоретической части:
Kξ(τ) = Rξ(τ) – m
Rξ(τ) = E{ξ(t)ξ(t + τ)}.
Соответственно, нам нужно найти mξ и Rξ(τ). Для нахождения mξ обратимся к теоретической части по линейным преобразованиям: «если известны функциональные преобразования
случайных величин g(X, Y ), то для определения числовых характеристик совсем не нужно иметь совместную функцию распределения вероятности»:
2
,
ξ
,
gY
В нашем случае
mm
22
A
m
(cos cos )0.
sincos cos
tt
00
sin
m
dtt
Соответственно,
KREtt
sinsin ,
AtAt Wt
mm
000
, ,
YW xydxdy
0
Y
.
,
0
.
94
m
dy
Wy
11
m
Wt
0
11 1
m
Wt
At
0
m
At
KR
At
00
00
22
22·2
d
RA
dt
SR
Случайные процессы
Ищем Wξ(ξ, t): обратная функция
arcsin
t
.
A
0
Обращаемся к теоретической по линейным преобразовани-
ям:
Wy
Y
.
dy
В нашем случае
d
,
W
d
A
m
1
.
2
2
A
Wj подчиняется равномерному закону распределения, сле-
довательно, не имеет аргумента.
,
2 cos
At
2
1sin
m
.
0
C другой стороны,
dξ = Am cos(w0t + j) dj.
Таким образом,
2
sinsin
At t
m
000
cos
m
2cos
0
d
,
2
sinsin
m
11
2
m
cos cos(
1
.
Спектральную плотность найдём по теореме Винера – Хин-
22
AA
mm
22 22
A
|т.к. cos(2 2) 0|
22
22
AA
mm
cos cos
чина:
tt
000
td
00
j
Red
2
0
,
)
d
Задачи к главе 4
cos
2
jx jx
ee
00
22
44
jj
mm
Se
ed
1
2
te
00
22
44
jj
mm
AA
Se
2
4
2
00
22
4
2
00
2
S
1
2
W
95
dt
Воспользуемся преобразованием Эйлера:
x
AA
jjj
00
eede
,
Обратимся к свойствам δ-функции.
Интегральное представление δ-функции –
jt
d
Соответственно,
ded
Причём
A
A
m
j
ed
m
j
0
2
ed
0
(т.к. δ-функция является чётной),
.
.
,
0
.
.
Задача 2
Определить корреляционную функцию и спектральную
плотность стационарного в широком смысле процесса [1, 2]:
где A, W и Ф – независимые случайные амплитуда, часто-
та и фаза. Причём А и W имеют функции плотности рас-
пределения вероятности WA(a) и WW(w), а фаза Ф распре-
делена равномерно на интервале (–π, π), т.е.
A
m
ξ(t ) = A cos(Wt + Ф),
.
.
96
s)
KR
22
2
RE
1
cos
)
2
xy
1
2
RE
Wd
1
2
RE
Wd
нуля ⇒ mξ = 0 ⇒ Kξ(t1, t2) = Rξ(t1, t2). А учитывая, что по условию
ξ(t) – стационарный в широком смысле случайный процесс, то
переходим к τ (вспоминаем теоретическую часть по линейным
преобразованиям: если известна прямая функция g(x), то можно
найти мат. ожидание напрямую):
Случайные процессы
Решение
Учитывая, что в выражении для ξ(t) отсутствует смещение
Причём
Помимо этого, помним, что WФ(j) подчиняется равномер-
ному закону распределения.
В результате у нас останется только один интеграл:
Известно, что
Тогда
Ett
cos cos
atWaat W
2
aW adat td
A
2
A
(
cos (cos cos
xy xy
2
At
A
(cos co
aW adaEA
A
cos(t + )cos(t + + ))d
cos2 2 cos
1 WФ()dadd =
.
W
.
W
2
.
.
,
2
EA Wd
Рассмотрим первое слагаемое:
At
1
2
cos2 2
2
cos
.
Задачи к главе 4
2
tW
2
KR Wd
22
22
DR KW
1Wd
1
RS
1
2
RS
2
RW
2
EA
Согласно условию задачи j распределено равномерно в интервале (–π, π). Значит, при интегрировании этот множитель
распадётся на два одинаковых члена: согласно формулам приведения cos(a + 2π) = cos(a – 2π) = cos a. Это значит, что при
вычитании одного члена из другого получается 0 и весь интеграл
обращается в 0.
Таким образом,
Соответственно, дисперсия равна
cos 22
00 cos 0
2
EA
EA
2
2
cos
.
d
.
d
97
EA EA
Причём
Обратимся к теореме Винера – Хинчина во второй форме записи (через cos wτ):
или (переходя к двустороннему пределу)
Сравниваем с полученным выражением:
Wd
(согласно условию нормировки).
EA
2
.
0
cos
cos
cos
d
d
.
.
d
98
2
2
KR Wd
s,
RA
tW
Случайные процессы
Получается, что
Sξ(w) = πE{A2}WW(w).
Т.е. спектральная плотность случайного процесса ξ(t), пред-
ставляющего собой колебание со случайными значениями амплитуды, частоты и фазы, с точностью до постоянного множителя πE {A2} совпадает с одномерной функцией плотности распределения вероятности только одной случайной величины –
частоты!
Если же упростить модель ξ(t) – сделать амплитуду неслу-
чайной величиной, то
A
cos
,
Sξ(w) = πA2WW(w).
Задача 3
Найти корреляционную функцию сигнала [1, 2]:
s(t ) = Am ξ(t) cos(w0t + j),
где ξ(t) – случайный процесс, стационарный в широком
смысле, имеющий корреляционную функцию Rξ(τ), Am и
w0 – постоянные величины, j – случайная начальная фаза,
равномерно распределённая на интервале (–π, π) и независящая от ξ(t).
Решение
Фактически сигнал s(t ) можно представить как про-
изведение двух независимых случайных процессов: ξ(t ) и
Am cos(w0t + j). Обратимся к теоретической части:
Rs(τ) = Rξ(τ)Rh(τ) при ξ(t)h(t) = s(t).
В нашем случае Rξ(τ) уже известна. Нужно найти Rh(τ), где
h(t) = Am · cos(w0t + j).
cos co
mm
tA
000
td
.
Будем искать Wh(h, t) – обратимся к теоретической части
по линейным преобразованиям.
Обратная функция:
m
11
22
Wt
At
0
m
RA
At
1
cos
2
00
22
Rdtd
0
td
22
00
22 2
mm
AA
R
2
2
RR
Задачи к главе 4
99
arccos
A
t
.
0
Тогда
d
,
111
d
2
22
A
m
11
222
AA t
mm
cos
0
m
Также
dh = –Am sin(w0t + j)dj.
Таким образом,
2
cos cos
m
tt d
000
Известно, что
cos cos cos
Тогда
22
AA
11
mm
22 22
cos cos(
sin
sin
At
m
2sin
.
0
0
.
0
)
.
.
Причём
2
A
1
m
cos(2 2)
22
00
(получено с помощью калькулятора интегралов).
Тогда:
1
c os cos
Таким образом,
A
s
m
cos
.
0
.
100
2
2
RR
2
N
R
0
4c
SR
RE
dt
Случайные процессы
Минус отбрасываем, т.к. оба аргумента RS(τ) являются чёт-
ными: RS(–τ) = RS(τ), cos(–w0τ) = cos(w0τ). Следовательно,
RS(τ) ≥ 0.
В результате получим ответ:
A
s
m
cos
.
0
Задача 4
Найти физическую спектральную плотность случайного
процесса [1, 2]:
ξ(t) = Amn(t) cos(w0t + j),
где
n(t) – стационарный белый шум с корреляционной функцией
n
0
,
Am – постоянная амплитуда;
w0 – постоянная частота;
j – случайная фаза, равномерно распределённая на интер-
вале (–π, π).
Решение
Обратимся к теоретической части (для физической спек-
тральной плотности):
В нашем случае случайный процесс можно представить как
произведение двух независимых случайных процессов:
где h(t ) = Am cos(w0t + j).
Соответственно,
Ищем Rh(τ):
os
d
.
ξ(t) = n(t)h(t ),
Rξ(τ) = Rn(τ)Rh(τ).
tt
cos cos ,
AtAt Wt
mm
000
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]