Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
К а ф е д р а прикладной математики и информатики
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Сборник задач и упражнений
Самара
Самарский государственный технический университет
2020
1
Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол № 8
от 28.03.2019 г.).
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73
С 49
Случайные процессы: сб. задач и упражнений / Сост.
Н.Н. Попов. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020. – 60 с.
Содержит задачи и упражнения по основным разделам теории
случайных процессов: корреляционная теория случайных процессов,
стационарные случайные процессы, марковские цепи и процессы. В
начале каждого раздела приводится сводка основных теоретических
положений и формул. Даны решения типовых задач.
Предназначен для студентов бакалавриата, обучающихся по на-
правлению подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика».
Р е ц е нз е нт ы : канд. пед. наук, доцент Я.Г. Стельмах,
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.В. Башкинова
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73
С 49
© Н.Н. Попов, составление, 2020
© Самарский государственный
технический университет, 2020
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее издание предназначено для проведения практи-
ческих занятий по дисциплине «Стохастические модели и теория надежности» со студентами, обучающихся по направлению
подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика»
(квалификация бакалавр). Данный сборник задач и упражнений
направлен на приобретение базовых знаний по теории случайных процессов, получение и применение элементарных технических навыков при построении стохастических моделей реальных процессов. Предполагается, что студент знаком базовыми
курсами теории вероятностей и математической статистики,
дифференциальных уравнений и интегральных преобразований.
Работа состоит из нескольких разделов. Каждый раздел на-
чинается кратким изложением теоретических сведений и формул, необходимых при решении задач данного раздела. Более
подробное изложение теории можно найти в учебниках [1, 2],
рекомендованных для студентов высших технических учебных
заведений. В каждом разделе подробно рассмотрены примеры
решения типовых задач.
Формулировки многих задач заимствованы из разных из-
вестных учебных пособий [2–5]. В сборник также включены задачи, предлагавшиеся автором студентам направления «Прикладная математика и информатика» на практических занятиях.
Ко всем задачам приведены ответы.
3
1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
()Xt
0
tt
0
()Xt
()Xt
()mt
0
tt
0
()Xt
()Xt
2
( ) [( ( ) ( )) ]d t M X t m t
0
tt
0
()Xt
()Xt
12
( , )K t t
12
,tt
12
,tt
1
()Xt
2
()Xt
1 2 1 1 2 2
( , ) [( ( ) ( ))( ( ) ( ))]K t t M X t m t X t m t
1 2 2 1
( , ) ( , )K t t K t t
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Случайным процессом
которого при любом фиксированном
величиной
. Конкретный вид, принимаемый случайным
называется процесс, значение
является случайной
процессом в результате опыта, называется реализацией случайного процесса. Каждая реализация случайного процесса есть
обычная неслучайная функция. Если зафиксировать значение
аргумента t, то случайный процесс превращается в случайную
величину. Эта случайная величина называется сечением случайного процесса.
Математическим ожиданием случайного процесса
называется неслучайная функция
фиксированном значении
нию случайной величины
равно математическому ожида-
.
Дисперсией случайного процесса
чайная функция
фиксированном значении
равно дисперсии случайной ве-
, значение которой при
называется неслу-
, значение которой при
личины
.
Корреляционной функцией случайного процесса
зывается неслучайная функция
которая при каждой паре значений аргументов
корреляционному моменту соответствующих сечений случайно-
го процесса
и
:
Свойства корреляционной функции
1.
на-
двух аргументов
,
равна
.
.
4
2.
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )K t t d t d t
1 2 1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )] ( ) ( )K t t M X t X t m t m t
()t
12
( ) ( )tt
12
( , )
x
K t t
1 2 1 2 1 2
00
( ) ( ) ( , ) 0
tt
a t a t K t t dt dt
12
( , )
xy
R t t
()Xt
()Yt
1 2 1 1 2 2
( , ) [( ( ) ( ))( ( ) ( ))]
xy x y
R t t M X t m t Y t m t
( ) cos( )X t W t
W
w
D
(0;2 )
0
,W
()Xt
()Xt
( ) cos( ) cos sinX t W t U t V t
cos , sinU W V W
.
3.
.
4. От прибавления неслучайного слагаемого корреляцион-
ная функция случайного процесса не меняется.
5. При умножении случайного процесса на неслучайную
функцию
.
6. Корреляционная функция
его корреляционная функция умножается на
является положительно
определенной, т.е.
,
где а(t) – произвольная функция аргумента t.
Взаимная корреляционная функция
ных процессов
и
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
определяется формулой
двух случай-
Пример 1.1. Рассматривается случайный процесс
,
.
где
центрированная случайная величина с дисперсией
случайная величина, распределенная равномерно в интерва-
ле
личины
процесса
, а
неслучайный параметр (
независимы. Найти характеристики случайного
: математическое ожидание, корреляционную
функцию и дисперсию.
Решение. Представим случайный процесс
где
ристики системы случайных величин U и V:
;
). Случайные ве-
в виде
,
. Найдем сначала основные характе-
5
cos cos 0M U M W M W M
,
sin sin 0M V M W M W M
2 2 2 2
( cos ) cos cos
w
D U M W M W M D M
2 2 2 2
( sin ) sin sin
w
D V M W M W M D M
cos sin cos sin
uv w
К M W W D M
(0;2 )
2
22
0
11
sin sin
22
M x dx
2
22
0
11
cos cos
22
M x dx
2
0
1
sin cos sin cos 0
2
M x x dx
0; ; 0
2
uv
D
M U M V D U D V K
( ) cos sin 0m t M U t M V t
22
( ) cos sin 2
w
d t D U t D V t D
1 2 1 1 2 2
( , ) ( cos sin )( cos sin )K t t M U t V t U t V t
1 2 1 2 1 2
cos cos sin sin cos sin
uv
D U t t D V t t K t t
21
cos sin
uv
K t t
1 2 1 2
(cos cos sin sin )
2
w
D
t t t t
21
cos( ( ))
2
w
D
tt
( ) 0mt
( ) 2
w
d t D
1 2 2 1
( , ) ( 2)cos( ( ))
w
K t t D t t
,
,
,
.
Так как случайная величина
интервале
, то
Итак,
Следовательно,
распределена равномерно в
,
.
,
,
,
.
=
.
Таким образом, математическое ожидание
сия
; корреляционная функция
.
6
; диспер-
Пример 1.2. Найти характеристики случайного процесса
( ) sinY t V t
0
22
(2 )
2
()
x
x
f x e
V
22
(2 )
2
2
00
[ ] ( )
x
xe
M V xf x dx dx
22
(2 )
22
(2 )
2
;
;
x
x
xe
u x dv dx
du dx v e
2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 )
0
00
x x x
xe e dx e dx
2
0
2
x
e dx
[ ] 2MV
V
22
[ ] [ ]
v
D V M V m
22
3
2 (2 )
2
0
[]
x
x
M V e dx
22
(2 )
22
(2 )
2
2
;
2;
x
x
xe
u x dv dx
du xdx v e
2 2 2 2 2 2
2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 2
0
00
2 2 ( (2 ))
x x x
x e xe dx e d x
22
2 (2 ) 2
0
22
x
e
2 2 2
[ ] 2 ( 2) (2 2)DV
, где случайная величина Vраспределена по зако-
ну Релея, а
неслучайный параметр(
).
Решение. Прежде всего найдем числовые характеристики
случайной величины V, распределенной по закону Релея. Плотность распределения этой случайной величины определяется
формулой
ние случайной величины
. Вычислим математическое ожида-
:
.
Используя интеграл Пуассона
, для матема-
тического ожидания случайной величины Vокончательно получим
Теперь вычислим дисперсию случайной величины
формуле
.
по
. Предварительно найдем
=
=
.
Следовательно,
7
.
Найдем характеристики случайного процесса
()Yt
1 2 1 2
( ) [ ]sin sin ; ( , ) [ ]sin sin
2
yy
m t M V t t K t t D V t t
2
12
(2 2)sin sin ;tt
22
( ) ( , ) (2 2)sin .
yy
d t K t t t
()Xtи ()Yt
1 1 2
()
2
12
( ) ; ( , )
tt
xx
m t t K t t e
2
2 1 2
()
12
( ) 1, ( , ) .
tt
yy
m t K t t e
2
( ) ( ) ( )Z t X t tY t t
22
( ) ( ) ( ) 2
z x y
m t m t tm t t t t
2
1 1 2 1 1 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
t t t t
z x y
K t t K t t t t K t t e t t e
()Zt
12
22
2
( ) ( , )
tt
zz
d t K t t e t e
( ) cos sin , ( ) cos2 sin 2X t U t V t Y t U t V t
2D U D V
12
( , )
xy
R t t
()Xt
()Yt
V
( ) 0, ( ) 0
xy
m t m t
1 2 1 1 2 2
( , ) [( cos sin )( cos2 sin 2 )]
xy
R t t M U t V t U t V t
22
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
cos cos 2 [ ] sin sin 2 [ ]
2(cos cos2 sin sin 2 ) 2cos(2 ).
t t M U t t M V
t t t t t t
:
Пример 1.3. Имеются два независимых случайных процесса
процесса
с характеристиками:
Найти характеристики случайного
.
,
Решение. Математическое ожидание суммы конечного чис-
ла случайных процессов равно сумме их математических ожиданий. Поэтому
.
Используя свойства 4 и 5 корреляционной функции, имеем
,
откуда найдем дисперсию процесса
:
.
Пример 1.4. Заданы два случайных процес-
са
, где Uи Vцен-
трированные некоррелированные случайные величины с одинаковыми дисперсиями
онную функцию
двух случайных процессов
. Найти взаимную корреляци-
Решение. В связи с тем, что случайные величины Uи
центрированные, имеем
. Тогда для взаим-
ной корреляционной функции получим
8
и
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
()Yt
( ) ( 0)
t
Yt Хe t
Х
( 1,1)
()Yt
()Yt
( ) cos2 ( 0)Yt Х t t
Х
()Yt
()Yt
2
()Y t a Ut Vt
()Yt
()
x
dt
()Xt
2
( ) ( 1) ( ) 3Y t t Х t t
()
x
dt
()Xt
( ) sin ( ) 2Y t t Х t t
2
()Х t Ut Vt
U
V
4D U D V
()Yt
2
( ) cos2 1Yt Х t t
X
4MX
3DX
()Yt
()
t
Yt Хe
X
1.1. Случайный процесс
определяется формулой
, где
распределенная равномерно в интервале
мейство реализаций случайного процесса
1.2. Случайный процесс
, где
на. Построить семейство реализаций случайного процесса
1.3. Случайный процесс
непрерывная случайная величина,
. Построить се-
.
определяется формулой
непрерывная случайная величи-
.
определяется формулой
, где U и V непрерывные случайные величины,
a неслучайная величина. Построить семейство реализаций
случайного процесса
1.4. Известна дисперсия
Найти дисперсию случайного процесса
1.5. Известна дисперсия
Найти дисперсию случайного процесса
.
случайного процесса
.
.
случайного процесса
.
1.6. Найти дисперсию случайного процесса
где
и
независимые случайные величины, причем
.
.
,
1.7. Случайный процесс
ческим ожиданием
математическое ожидание, корреляционную функцию и диспер-
сию случайного процесса.
1.8. Случайный процесс
случайная величина, распределенная по нормальному зако-
ну с параметрами m и . Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
, где
задается формулой
случайная величина с математи-
и дисперсией
имеет вид
9
. Найти
, где
1.9. Случайный процесс
()Yt
()
Xt
Y t e
X
( ) ( 0, 0)
x
f x e x
()Yt
()
Xt
Y t e
X
(0, )a
( 0)a
()Хt
2
'
( ) 1
х
m t t
2
21
()
12
( , ) 2
tt
х
K t t e
2
( ) ( ) 1Y t tХ t t
( ) sin 2 cosX t U t V t t
Uи V
1, 2M U M V
4D U D V
12
( , )
xy
R t t
22
( ) ( 1) , ( ) ( 1)X t t U Y t t U
U
5DU
12
( , )
xy
R t t
( ) , ( )X t Ut Y t U Vt
V
0M U M V
2D U D V
( ) ( ) ( ),Z t X t tY t
()Xtи ()Yt
2
( ) ( 1)
x
m t t
1 2 1 2
( , )
x
K t t t t
12
()
12
( ) , ( , ) .
tt
yy
m t t K t t e
12
( , )
xy
R t t
имеет вид
, где
случайная величина, распределенная по показательному за-
кону с плотностью
. Найти математиче-
ское ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
1.10. Случайный процесс
имеет вид
, где
случайная величина, распределенная равномерно на интер-
вале
. Найти математическое ожидание, корреляци-
онную функцию и дисперсию случайного процесса.
1.11. Случайный процесс
имеет характеристики
,
случайного процесса
. Определить характеристики
.
1.12. Найти математическое ожидание, корреляционную
функцию и дисперсию случайного процесса
,
где
чем
независимые случайные величины, при-
,
.
1.13. Найти взаимную корреляционную функцию
двух случайных процессов
случайная величина с дисперсией
.
, где
1.14. Найти взаимную корреляционную функцию
двух случайных процессов
, где Uи
независимые случайные величины, причем
,
.
1.15. Найти характеристики случайного процесса
где
процессы с характеристиками:
независимые случайные
,
,
1.16. Найти взаимную корреляционную функцию
двух случайных процессов
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]