Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
( ) sin cosX t A t B t
и
()
tt
Y t Ae Be
4D A D B
( ) cos sinX t A t B t
( ) cos sinY t A t B t
[ ] [ ]D A D B D
( ) sin( )X t t
( ) sinY t t
( ; )
( ) ( ) ( )Z t X t Y t
()Xt
()Yt
21
12
( , )
tt
x
K t t e
1 2 2 1
( , ) 1 cos( )
y
K t t t t
2
( ) ( )sin2 ( ) cos2Z t X t t t Y t t
()Xt
()Yt
1 2 1 2
( , ) 18sin sin
xy
R t t t t
1 2 1 2
( , ) 4sin sin ,
x
K t t t t
1 2 1 2
( , ) 81 sin sin .
y
K t t t t
2
( ) ( ) ( ) sin4
tt
Z t X t e Y t e t
()Xt
( ) sin( )X t A Bt
( ) , 0, 0
x
f x e x
(0; )a
()Xt
()Yt
21
2( )
12
( , )
tt
x
K t t e
12
()
12
( , )
tt
y
K t t e
( ) ( ) ( )Z t X t Y t
,
если A и B – независимые случайные величины с одинаковыми
дисперсиями
.
1.17. Заданы два случайных процесса
и
, где случайные ве-
личины A и B независимы и имеют равные дисперсии
. Требуется найти взаимную корреляционную
функцию этих процессов.
1.18. Заданы два случайных процесса
и
, где – случайная величина, распределенная равномерно на интервале
случайного процесса
. Найти корреляционную функцию
.
1.19. Заданы два некоррелированных случайных процесса
и
с корреляционными функциями
. Найти корреляционную функцию слу-
и
чайного процесса
1.20. Заданы два центрированных случайных процесса
и
, для которых известно:
ческое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса
1.21. Случайный процесс
, где A и B – независимые случайные величины,
причем A имеет показательное распределение с плотностью вероятности
на на интервале
реляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
1.22. Заданы два некоррелированных случайных процесса
и
с корреляционными функциями
. Найти корреляционную функцию случайного
процесса
.
,
Найти математи-
.
определяется формулой
, а B равномерно распределе-
. Найти математическое ожидание, кор-
и
.
11
2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
()
y
mt
( ) ( )Y t dX t dt
( ) ( )
yx
m t dm t dt
()
x
mt
()Xt
()Xt
2
12
12
12
( , )
( , )
x
y
K t t
K t t
tt
12
( , )
xy
R t t
()Xt
( ) ( )Y t dX t dt
12
12
2
( , )
( , )
x
xy
K t t
R t t
t
()
y
mt
0
( ) ( )
t
Yt Хd
0
( ) ( )
t
yx
m t m d
()Xt
12
1 2 1 2 1 2
00
( , ) ( , )
tt
yx
K t t K d d
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математическое ожидание
случайного процесса
определяется формулой
,
где
процесса
математическое ожидание случайного
.
Корреляционная функция производной от случайного
процесса
равна смешанной производной второго порядка
от его корреляционной функции
.
Взаимная корреляционная функция
процесса
и его производной
определяется
формулой
.
Математическое ожидание
случайного процесса
определяется формулой
.
случайного
Корреляционная функция интеграла от случайного
процесса
корреляционной функции
равна двойному интегралу от его
.
12
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
()Xt
2
( ) 1
x
m t t
1 2 1 2
( , ) 2( 1)
x
K t t t t
( ) ( ) ( )Y t X t X t
()Yt
22
( ) ( ) ( ) 1 2 ( 1)
y x x
m t m t m t t t t
1 2 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 2 2
( , ) [( ( ) ( ))( ( ) ( )] [( ( ) ( )
( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))].
y y y x
x x x
K t t M Y t m t Y t m t M X t m t
X t m t X t m t X t m t
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
y x xx x x x
K t t K t t R t t R t t K t t
12
1 2 1
2
( , )
( , ) 2( 1);
x
xx
K t t
R t t t
t
12
1 2 2
1
( , )
( , ) 2 ;
x
xx
K t t
R t t t
t
2
12
12
12
( , )
( , ) 2,
x
x
K t t
K t t
tt
()Yt
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) 2( 1) 2( 1) 2 2 2 ( 1).
y
K t t t t t t t t
2
( ) cos3
t
X t Ue t
U
2
U
m
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
[ ( )]M X t
22
[ ( )] [ cos3 ] 2 cos3
tt
M X t M Ue t e t
Пример 2.1. Задан случайный процесс
с
характеристиками
и
. Найти
математическое ожидание и корреляционную функцию
случайного процесса
.
Решение. В силу линейности случайного процесса
имеем
.
По определению корреляционной функции имеем
Раскрывая скобки в правой части последнего выражения,
после преобразований получим
.
Так как
то корреляционная функция случайного процесса
будет
определяться выражением
Пример 2.2. Задан случайный процесс
,
где
случайная величина с
. Найти математическое
ожидание случайного процесса
Решение. Найдем сначала
13
:
.
.
Далее, используя формулу
0
[ ( )] [ ( )]
t
M Y t M X s ds
22
cos ( cos sin )
ax
ax
e
e bxdx a bx b bx
ab
2
0
0
2
[ ( )] 2 cos3 (2cos3 3sin3 )
13
t
t
s
s
e
M Y t e sds s s
24
(2cos3 3sin3 ) .
13 13
t
e
tt
()Xt
2
1 2 2 1
( , ) 1 (1 ( ) )
x
K t t t t
0
( ) ( )
t
Y t X d
12
1 2 1 1 2 2
00
( , ) ( , )
tt
yx
K t t d K d
12
2
1
2
21
00
1 ( )
tt
d
d
1
2 1 1 1
0
()
t
arctg t arctg d
udv uv vdu
1
2 1 1
2 1 1
1
2
0
21
( ),
()
,
1 ( )
t
u arctg t dv d
arctg t d
du
du v
t
1
1
11
1 2 1
2
21
0
0
()
1 ( )
t
t
d
arctg t
t
ный интеграл
,
получим
Пример 2.3. Корреляционная функция случайного процес-
са
равна
. Найти корреляционную
и таблич-
функцию случайного процесса
.
Решение. Согласно формуле интегрирования корреляци-
онной функции имеем
=
.
=
Используя формулу интегрирования по частям
,
вычислим
14
11
2
2 1 2 2 1
1 2 1
22
2 1 2 1
00
(1 ( ) ) ( )
1
()
2 1 ( ) 1 ( )
tt
d t t d t
t arctg t t
tt
11
2
1 2 1 2 1 2 2 1
00
1
( ) ln 1 ( ) ( )
2
tt
t arctg t t t t arctg t
2
21
2 2 2 1 2 1
2
2
1 ( )
1
( ) ( ) ln
21
tt
t arctgt t t arctg t t
t
1
2
1 1 1 1 1
0
1
(1 )
2
t
arctg d t arctgt t
12
( , )
y
K t t
1 2 1 1 2 2 2 1 2 1
2
21
22
12
( , ) ( ) ( )
1 ( )
1
ln .
2 (1 )(1 )
y
K t t t arctgt t arctgt t t arctg t t
tt
tt
2
21
()
12
( , ) 3
tt
x
K t t e
()Xt
22
1 2 1 2 1 2
( , ) 2
x
K t t t t t t
()Xt
()Xt
()
x
m t t
12
()
12
( , )
tt
x
K t t e
()
( ) 1
dX t
Y t tdt
=
Аналогично получим
Следовательно, корреляционная функция
иметь вид
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1. Задана корреляционная функция
случайного процесса
.
Найти корреляционную функцию его производной.
2.2. Задана корреляционная функция
.
.
будет
случайного процесса
.
Найти корреляционную функцию его производной.
2.3. Случайный процесс
и
имеет характеристики
Найти характеристики случайного процесса
15
.
.
2.4. Задана корреляционная функция
2
1 2 2 1 1 2
( , ) cos ( ) ( )
x
K t t t t t t
()Xt
12
()
1 2 1 2
( , )
tt
x
K t t t t e
()Xt
12
1 2 1 2
( , ) ( 1)
tt
xy
R t t t t e
()Xt
( ) cos sinX t A t B t
A
m
B
m
2
( ) ( )Y t dX t dt
()Xt
32
( ) 1X t At Bt t
( ) ( )Y t dX t dt
()Xt
2
( ) 1
x
m t t
2
21
()
12
( , ) 2
tt
x
K t t e
2
()
( ) 2 (1 )
dX t
Y t t t
dt
случайного процесса
.
Найти корреляционную функцию его производной.
2.5. Задана корреляционная функция
случайного процесса
.
Найти взаимную корреляционную функцию случайного
процесса и его производной.
2.6. Известна взаимная корреляционная функция
случайного процесса
и его производной.
Найти корреляционную функцию производной.
2.7. Задан случайный процесс
,
где A и B – независимые случайные величины с математическими ожиданиями
сиями
.
и
соответственно и одинаковыми диспер-
Найти математическое ожидание и корреляционную функ-
цию случайного процесса
2.8. Случайный процесс
задан выражением
.
,
где A и B – некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями,
равными 1.
Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляци-
онную функцию случайного процесса
2.9. Случайный процесс
имеет характеристики
.
Найти характеристики случайного процесса
и
.
.
16
2.10. Случайный процесс
()Xt
( ) cosX t U t
U
2;MU
[ ] 9DU
()
( ) ( )
dX t
Y t X t
dt
()Xt
22
( ) cos3
t
X t t t U t Ve
0,
Uv
mm
[ ] 1,DU
[ ] 2DV
()
( ) 2 .
dX t
Y t t
dt
0
( ) ( )
t
Y t X d
()Хt
( ) sin
х
m t t
2
( ) sinX t U t
U
[ ] 2MU
2
0
( ) ( 2) ( ) .
t
Y t t X d
2
( ) ( 1)X t t U
U
2, 3m
задан выражением
,
где
случайная величина с характеристиками
.
Найти математическое ожидание и корреляционную функ-
цию случайного процесса
2.11. Случайный процесс
задан выражением
.
,
где U и V – независимые случайные величины с характеристиками
.
Найти математическое ожидание, корреляционную функ-
цию и дисперсию случайного процесса
2.12. Найти математическое ожидание случайно-
го процесса
,
если математическое ожидание случайного процесса
.
2.13. Задан случайный процесс
где
случайная величина, причем
Найти математическое ожидание случайного процесса
2.14. Задан случайный процесс
где
случайная величина, распределенная по нормальному
закону с параметрами
,
.
,
.
17
Найти математическое ожидание и дисперсию случайного
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
()Xt
1 2 1 2
( , ) cos cos
x
K t t t t
2
0
( ) ( )
t
Y t X d t
()Xt
1 2 1 2
( , ) 2( )
x
K t t t t
0
( ) ( ) 1
t
Y t X d t
0
( ) ( )
t
Y t X d
2
1 2 1 2
( ) 0,4cos , ( , ) 0,25cos cos
xx
m t t K t t t t
()Xt
12
2
12
( , )
tt
x
K t t e
0
( ) ( )
t
Y t X d
0
( ) ( )
t
Y t X d
1 2 2 1
( ) 3 2sin ; ( , ) cos( )
xx
m t t t K t t t t
процесса
.
2.15. Корреляционная функция случайного процесса
равна
.
Найти дисперсию случайного процесса
.
2.16. Корреляционная функция случайного процесса
равна
.
Найти корреляционную функцию случайного процесса
.
2.17. Найти математическое ожидание, дисперсию и кор-
реляционную функцию случайного процесса
,
если
2.18. Случайный процесс
имеет корреляционную
функцию
.
Найти корреляционную функцию случайного процесса
.
2.19. Найти математическое ожидание и корреляционную
функцию случайного процесса
если
18
.
,
.
3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
()mt
()dt
1 2 2 1
( , ) ( ) ( ),K t t K t t K
21
tt
()Xtи ()Yt
1 2 2 1
( , ) ( )
xy xy
R t t R t t
()Xt
()K
0
()Xt
x
m const
()
x
K
( ) ( )Y t dX t dt
( ) 0,
y
mt
( ) ( ).
yx
KK
()Xt
( ) ( )Y t dX t dt
( ) ( )
xy
R dK d
( ) ( )
yx
R dK d
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
()Xt
0
( ) 2 ( ) ( )
t
x
d t t K d
Случайный процесс называется стационарным (в широком
смысле), если его математическое ожидание и дисперсия постоянны (
const,
const), а корреляционная
функция зависит лишь от разности аргументов
.
Два случайных процесса
называются стацио-
нарно связанными, если их взаимная корреляционная функция
зависит только от разности аргументов
.
Необходимым и достаточным условием дифференцируе-
мости стационарного случайного процесса
ствование
Если
при
– дифференцируемый стационарный случайный
.
процесс с математическим ожиданием
онной функцией
, а
является суще-
и корреляци-
, то
Взаимная корреляционная функция стационарного слу-
чайного процесса
и его производной
опре-
деляется следующими формулами:
(индекс у стоит на втором месте);
(индекс у стоит на первом месте).
Дисперсия интеграла
случайного процесса
от стационарного
вычисляется по формуле
.
19
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
( ) cos( ),X t t
( , )
()Xt
()Xt
( ) cos( ) cos cos sin sinX t t t t
[ ( )]M X t
[ ( )] cos [cos ] sin [sin ]M X t t M t M
()fx
( , )
1 2 ( ; );
()
0 ( ; )
при x
fx
при x
1
[cos ] cos 0,
2
M x dx
1
[sin ] sin 0
2
M x dx
[ ( )] 0M X t
12
( , )K t t
()Xt
1 2 1 1 2 2
( , ) [(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )]K t t M t t t t
22
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
( , ) cos cos [cos ] sin sin [sin ]
cos sin [cos sin ] cos sin [cos sin ].
K t t t t M t t M
t t M t t M
22
11
[cos ] cos
22
M x dx
2
11
[sin ] sin ,
22
M x dx
1
[cos sin ] cos sin 0
2
M x x dx
Пример 3.1. Задан случайный процесс
где
тервале
случайная величина, равномерно распределенная в ин-
.
Доказать, что
стационарный процесс.
Решение. Запишем случайный процесс
Вычислим математическое ожидание
процесса
Так как плотность распределения
пределенной на
случайной величины определяется
формулой
то
в виде
.
случайного
.
равномерно рас-
,
.
Следовательно,
.
Корреляционная функция
определяется формулой
После раскрытия скобок в последнем выражении получим
Вычислим математические ожидания случайных величин
,
20
случайного процесса
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]