Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
()
a
x
K De
.
()S
()Xt
( ) cos
x
Ke
()S
()Xt
1
( ) cos 2 sin2
2
x
Ke
()S
()Xt
1 0,5 , 2
()
0, 2.
K
()S
()Xt
22
()
x
K De
()Xt
4
( ) 2
x
Se
()K
, [2;4]
()
0, [2;4]
S
4.5. Найти спектральную плотность
случайного процесса
, корреляционная функция которого
4.6. Найти спектральную плотность
случайного процесса
, корреляционная функция которого
4.7. Найти спектральную плотность
случайного процесса
, если его корреляционная функция
.
стационарного
стационарного
.
стационарного
имеет вид:
4.8. Найти спектральную плотность
случайного процесса
c корреляционной функцией
.
стационарного
4.9. Спектральная плотность стационарного случайного
процесса
имеет вид:
Найти корреляционную функцию этого процесса и его
дисперсию.
4.10. Найти корреляционную функцию
го случайного процесса, если его спектральная плотность имеет вид:
.
стационарно-
.
31
4.11. Найти корреляционную функцию
()K
2
1 , 4
()
16
0, 4
S
()K
22
10 1 1
()
9 (2 ) 9 (2 )
S
()Xt
()K e ch sh
( 0)
()Xt
4 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( )Y t Y t X t X t
9
x
m
2
( ) 3
x
Ke
3 ( ) ( ) 4 ( ) ( )Y t Y t X t X t
стационарно-
го случайного процесса, если его спектральная плотность имеет вид:
.
4.12. Найти корреляционную функцию
стационарно-
го случайного процесса, если его спектральная плотность имеет вид:
.
4.13. Задан дифференцируемый стационарный процесс
с корреляционной функцией
.
Найти спектральную плотность производной
.
4.14. Линейная динамическая система описывается диффе-
ренциальным уравнением
.
На вход этой системы подается стационарный случайный
процесс с математическим ожиданием
и корреляционной
функцией
.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайного
процесса на выходе системы в установившемся режиме.
4.15. Линейная динамическая система описывается диффе-
ренциальным уравнением
.
32
На вход этой системы подается стационарный случайный
3
( ) 2
x
Ke
( ) 2 ( ) 5 ( ) 6 ( )Y t Y t X t X t
2
( ) 5
x
Ke
()Yt
( ) ( ) ( )Y t Y t X t
()Xt
()
x
Sc
( ) 2 ( ) ( ) ( )Y t Y t Y t X t
()Xt
()
x
Sc
( ) 2 ( ) ( )Y t Y t X t
()Xt
процесс с корреляционной функцией
.
Найти дисперсию случайного процесса на выходе системы
в установившемся режиме.
4.16. На вход линейной стационарной динамической сис-
темы, описанной уравнением
,
подается стационарная случайная функция X(t) с корреляционной функцией
.
Найти дисперсию случайного процесса
на выходе
системы в установившемся режиме.
4.17. Определить корреляционную функцию стационарно-
го решения дифференциального уравнения
,
где
постоянная,
случайный процесс со спектральной
плотностью
= const (белый шум).
4.18. Определить спектральную плотность стационарного
решения уравнения
,
где
случайный процесс со спектральной плотностью
= const.
4.19. Определить дисперсию стационарного решения диф-
ференциального уравнения
,
где
случайный процесс со спектральной плотностью
33
2
( ) ( 4)
x
SD
.
( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( )Y t Y t Y t X t X t
()Xt
( ) 5
x
Ke
()
( ) ( )
dY t
Y t tX t
dt
()Xt
2
( ) ( 4)
x
SD
( ) 2 ( ) 3 ( ) ( )Y t Y t Y t X t
()Xt
4.20. Работа динамической системы описывается диффе-
ренциальным уравнением
.
На вход этой системы поступает стационарный случайный
процесс
с корреляционной функцией
.
Найти дисперсию случайного процесса на выходе системы
в установившемся режиме.
4.21. Найти корреляционную функцию частного решения
уравнения
,
удовлетворяющего нулевым начальным условиям, если
случайный процесс со спектральной плотностью
.
4.22. Определить, может ли уравнение
иметь стационарное решение, если
стационарный слу-
чайный процесс.
34
5. ЦЕПИ МАРКОВА
1 2 3
, , ,....,x x x
1 2 3
, , ,....t t t
k
t
i
x
( ( ) )
ki
X t x
l
t
j
x
( ( ) )
lj
X t x
i
x
j
x ( ( ) ( ) ) ( , )
k i l j ij
P X t x X t x p k l
()
n
Xt
( , ) ( )
ij ij
p k l p n
n l k
()
ij
pn
i
x
j
x
1
(0) ( ,..., )
m
P q q
,ijp
1
1, , 1,.....,
m
ij
j
p i j m
()n
()nn
()sn
( ) ( ) ( )P s n P s n
1
( ) ( ) ( )
m
j j ij
i
P s n P s p n
Пусть некоторый объект может находиться в одном из со-
стояний
причем случайные переходы из одного
состояния в другое могут происходить только в дискретные моменты времени
.
Пусть объект в момент времени
, а в момент времени
находится в состоянии
– в состоянии
.
Если вероятность перехода из состояния
в состояние
не зависит от наблюдавшейся последовательности предшествующих состояний, то последовательность
называется
дискретной цепью Маркова.
Будем рассматривать только однородные цепи Маркова,
когда
,
где
Величина
ния
в состояние
ром вероятностей начальных состояний
.
задает вероятность перехода из состоя-
за n шагов. Цепь Маркова задается векто-
и мат-
рицей вероятностей переходов за один шаг
.
Матрица
вероятностей переходов за n шагов определя-
ется по формуле
Распределение вероятностей по состояниям на
ге определяется по формуле
В развернутой форме она имеет вид
.
ша-
.
.
35
Финальное (стационарное) распределение вероятностей по
1
m
j r rj
r
P P p
1
1
m
i
i
P
(0) 0,3; 0,7P
0,6 0,4
0,2 0,8
(2)
(2)Р
2
0,6 0,4 0,6 0,4 0,44 0,56
(2)
0,2 0,8 0,2 0,8 0,28 0,72
(2) (0) (2)PP
0,44 0,56
(2) (0,3; 0,7) (0,3 0,44 0,7 0,28;0,3 0,56 0,7 0,72)
0,28 0,72
P
(0,328; 0,672).
состояниям определяется из системы уравнений
,
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 5.1. Задана цепь Маркова с двумя состояниями.
Распределение вероятностей в начальный момент определяется
вектором
. Матрица вероятностей переходов за
один шаг имеет вид:
.
Найти:
1) матрицу
2) вектор распределения
вероятностей переходов за два шага;
вероятностей после
двух шагов;
3) финальные (стационарные) распределе-
ния вероятностей.
Решение
1. Вычислим матрицу вероятностей переходов через
два шага:
2. Для вычисления распределения вероятностей по состоя-
ниям после двух шагов воспользуемся формулой
.
Получим
=
36
.
3. Найдем финальные распределения по состояниям. Со-
1
m
j r rj
r
P P p
1
1
m
i
i
P
1 1 11 2 21 2 1 12 2 22
;;P P p P p P P p P p
12
1PP
1 1 2 2 1 2 1 2
0,6 0,2 ; 0,4 0,8 ; 1P P P P P P P P
2 1 1 1 1 2
2 ; 2 1; 1 3; 2 3.P P P P P P
1 3; 2 3 .P
12 21
1 3, 1 4pp
1
(0) 1 3,P
11 21
6 7, 4 5рр
гласно формулам
,
имеем
.
В нашем случае
.
В этой системе линейных уравнений одно уравнение является линейной комбинацией других. Следовательно, его можно
откинуть. Решая совместно второе и третье уравнения системы,
получим
Итак, финальное распределение вероятностей определяется вектором
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. Цепь Маркова состоит из двух состояний 1 и 2. Найти
вероятности цепочек состояний 111, 122, 121, если начальным
состоянием является 1, а вероятности переходов задаются равенствами
.
5.2. Цепь Маркова состоит из двух состояний 1 и 2. Вектор
распределения вероятностей по начальным состояниям и вероятности переходов определяются равенствами
.
Найти вероятности цепочек 121, 111, 222.
5.3. Для цепи Маркова, определенной в задаче 5.1, найти
вероятность того, что цепочка длины три начинается и кончается единицей.
5.4. Найти матрицу вероятностей переходов цепи Маркова,
дающей упрощенное описание работы телефона-автомата. Рассматриваются следующие 4 состояния: телефон свободен (1 со-
37
стояние); телефон занят и нет очереди (2 состояние); телефон
1 10
13
23
1 2 1 4 1 4
0 3 4 1 4
0 1 4 3 4
занят и в очереди стоит 1 человек (3 состояние) или 2 человека
(4 состояние). Предполагается, что третьим в очередь никто не
встает, предпочитая искать другой автомат. В каждую единицу
времени может подойти один человек с вероятностью
;
больше одного человека подойти не может. С вероятностью
независимо от длительности ведущегося разговора и независимо
от длины очереди разговор в данную единицу времени заканчивается.
5.5. Найти вероятности переходов за 2 шага для цепи Маркова, определенной в задаче 5.1.
5.6. Найти вероятности переходов за 2 шага для цепи Маркова, определенной в задаче 5.2.
5.7. Частица находится в одной из вершин правильного
шестиугольника, причем в соседние вершины он переходит с
вероятностью 16, а в противоположную с вероятностью
Найти матрицу вероятностей переходов за один шаг и за
два шага.
5.8. Найти финальное распределение вероятностей цепи
Маркова, определенной в задаче 5.1.
5.9. Найти финальное распределение вероятностей цепи
Маркова, определенной в задаче 5.2.
5.10. Найти финальное распределение вероятностей для
цепи Маркова с тремя состояниями и матрицей вероятностей
переходов
.
.
5.11. На окружности отмечены 4 точки. За один шаг из лю-
бой данной точки можно попасть в одну из соседних точек с вероятностью 0,4 и с вероятностью 0,2 остаться на месте. Записать
38
матрицу вероятностей переходов за один шаг. Найти матрицу
0,3 0,4 0,1 0,2
0 0,2 0,5 0,3
0 0 0,4 0,6
1 0 0 0
вероятностей переходов за 3 шага.
5.12. В цепи Маркова с четырьмя состояниями 1, 2, 3, 4 на-
чальным состоянием является 1. Матрица вероятностей перехода имеет вид:
.
Найти вероятности состояний цепи Маркова через
три шага.
5.13. Пять черных и пять белых шаров случайным образом
размещены по двум урнам так, что в каждой из них находится
по 5 шаров. Число черных шаров первой урны определяет состояние системы. На каждом шаге случайно выбирается по одному шару из каждой урны, и шары меняются местами. Записать матрицу вероятностей переходов за один шаг. Найти финальные вероятности.
5.14. В урне содержится 6 шаров черного и 4 шара белого
цветов. На каждом шаге случайным образом извлекают 3 шара,
вместо которых в урну кладут 3 черных шара. Определить вероятность того, что после двух извлечений в урне останется 1 белый шар.
5.15. Двое играют в «орлянку» до полного банкротства одного из них. Найти вероятность завершения игры до пятого бросания монеты включительно, если начальные капиталы игроков
равны соответственно одной и трем ставкам.
5.16. Вероятность того, что завтра будет солнечно, если сегодня было солнечно, равна 0,7. Вероятность того, что завтра
будет солнечно, если сегодня было пасмурно, равна 0,4. Найти
предельную (финальную) вероятность, что завтра будет солнечно.
39
5.17. На некотором острове не бывает никогда двух сол-
1 2 3
;;x x x
(0) (1 3,1 2,1 6)P
14
12
2
x
0,8 0,1 0,1
0,3 0,1 0,6
0,7 0,01 0,29
1 , 1
( 1), 1 ( 1) ( 1,2,3,....)
i i i
p i i p i i
нечных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с равной вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня снег (или
дождь), то завтра погода изменится с вероятностью 0,5. Если
она изменится, то в половине случаев на следующий день будет
ясная погода. Найти вероятность того, что послезавтра будет ясно, если сегодня была дождливая погода.
5.18. Частица может находиться в одном из трех состояний
. Распределение вероятностей в начальный момент
определяется вектором
.
Под воздействием случайных толчков система переходит в
другое состояние с вероятностью
ятностью
. Найти вероятность того, что частица через два
и остается на месте с веро-
толчка будет находиться в состоянии
.
5.19. Через фиксированные промежутки времени прово-
дится контроль технического состояния некоторого прибора,
который может находиться в одном из трех состояний: S1 – работает; S2 – не работает и ожидает ремонта; S3 – ремонтируется.
Предполагается, что процесс, характеризующий состояние прибора, является однородной цепью Маркова с матрицей вероятностей перехода
.
Найти вероятность того, что через два промежутка време-
ни прибор будет находиться в состоянии S2, если в начальный
момент времени он был исправен.
5.20. Дана цепь Маркова с бесконечным числом состояний.
Вероятности переходов определяются равенствами
.
Найти финальные распределения вероятностей.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]