Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
1.4.
2
( 1) ( )
x
t d t
2
sin ( )
x
t d t
22
4 ( 1)tt
2
( ) 4cos2 1
y
m t t t
2
( ) 3cos 2 ;
y
d t t
1 2 1 2
( , ) 3cos 2 cos2 .
y
K t t t t
( ) ;
t
y
m t me
12
()
2
12
( , ) ;
tt
y
K t t e
22()t
y
d t e
( ) ;
y
mt
t
12
12
1 2 1 2
( , )
( )( )( )
y
tt
K t t
t t t t
2
2
()
(2 )( )
y
t
dt
tt
1 2 1 2
()
12
2
1 2 1 2
1 1 (1 )(1 )
( ) ; ( , ) ;
()
a t t at at
at
yy
e e e e
m t K t t
at a t t a t t
22
22
1 (1 )
()
2
at at
y
ee
dt
at a t
2
y
m t t t
2
12
()
1 2 1 2
( , ) 2 ;
tt
y
K t t t t e
2
( ) 2 .
y
d t t
( ) sin 2 2cos ;
y
m t t t t
22
( ) 4(sin 2 cos );
y
d t t t
1 2 1 2 1 2
( , ) 4(sin2 sin2 cos cos )
y
K t t t t t t
22
12
5( 1) ( 1)tt
1
2t
( ) 2 1;
z
m t t
12
()
1 2 1 2
( , ) (1 );
tt
z
K t t t t e
22
( ) (1 ).
t
z
d t t e
22
11
4 sin cos
tt
e t e t
12
cos( )D t t
2
1 2 1 2 1 2
1
cos( ) sin( ) sin sin .
23
t t t t t t
21
22
1 2 1 2 2 1
sin2 sin2 (1 cos( )).
tt
e t t t t t t
2 2 2
( ) sin 4 ; ( ) sin (4 36 81);
t t t
zz
m t t d t e t e e
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
1 2 1 2
( , ) sin sin (4 18 18 81)
t t t t t t
z
K t t e t t e e e
2
2 2 2 2
1 cos 1 sin2 (1 cos )
( ) ; ( ) ;
2
xx
at at at
m t d t a
at a t a t
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
. 1.5.
. 1.6.
.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.15.
.
. 1.14.
;
.
;
.
.
.
1.16.
. 1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
51
.
.
1 2 1 2 1 2
12
2 2 2 2
1 2 1 2
sin ( ) sin ( ) (1 cos )(1 cos )
1
( , ) .
x
a t t a t t at at
K t t
a t t t t a t
21
3tt
e
2
21
()
2
21
6 1 2( )
tt
e t t
12
24tt
12
()
2 2 2 2
1 2 1 2
( ) 1; ( , ) ; ( ) .
tt
t
y y y
m t t K t t t t e d t t e
22
2
12
21
3
12
( ) 2
cos ( )
()
tt
tt
tt
12
()
12
(1 ) .
tt
t t e
12
12
.
tt
t t e
( ) ( sin cos );
y A B
m t m t m t
22
1 2 2 1
( , ) cos ( ).
y
K t t t t
22
( ) 1; ( ) (9 4);
yy
m t d t t t
1 2 1 2 1 2
( , ) (9 4).
y
K t t t t t t
2
( ) 5 2 1
y
m t t t
2
21
()
2
1 2 1 2 2 1
( , ) 4 1 2 ( ) ;
tt
y
K t t t t t t e
2
( ) 4
y
d t t
( ) 2(cos sin );
y
m t t t
2
1 2 1 2 1 2
( , ) 9(cos cos sin sin ).
y
K t t t t t t
12
2( )
1 2 1 2
( ) 1; ( , ) 9sin3 sin3 8 ;
tt
yy
m t t K t t t t e
24
( ) 9sin 3 8
t
y
d t t e
cos sint t t
2
( 2)( sin2 2)t t t
2 2 2 2
2
( ) ( 3); ( ) ( 3) .
3
yy
m t t t d t t t
22
sin t
22
1 2 1 2
2
()
3
t t t t
12
12
2
sin sin
sin 2
( ) 0,2 ; ( , ) 0,25 ;
2
yy
tt
t
m t t K t t
2
2
sin
( ) 0,25 .
y
t
dt
12
2
0,5( 1)(1 )
tt
ee
2
( ) 3 2 2cos
y
m t t t
1 2 2 1 2 1
( , ) cos( ) cos cos 1
y
K t t t t t t
1.22.
. 2.1.
. 2.2.
.
2.3.
2.4.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.14.
.
.
;
. 2.12.
. 2.5.
. 2.13.
2.15.
2.6.
.
2.16.
.
2.17.
2.18.
2.19.
;
52
.
3.1. Является. 3.2. Не является.
21
2cos(2 )
xy
R t t
21
0,5sin( )
xy
R t t
24
11
( ) ....; .
3 2!5 4!7 3
yy
Kd
22
( ) (1 ); .
yy
K e d
3
( ) 9 (2cos3 1)
y
Ke
9
y
d
2
2 3 (1 3)ln(1 9 )tarctg t t
2
2
1
t
D
et
2
3e ch
2
2
3
e
2
2 (1 )e
2
2 1 (1 )e
2
()Sd
22
()
D
2
2
2
( 4)
2 2 2
10
( 4) 16
2
1 cos 2
2
22
(4 )
4
D
e
2
( ) 16 (16 ); 1.Kd
2
2
(sin2 sin4 )
2
1 sin 4
cos4
4
3
5 cos2 .e
2 2 2
2 2 2 2
2
( ) ( )
18; 15 4.
cc
md
15 4
c
e
3.3. Свойства корреляционной функции не выполняются.
3.4. Является корреляционной функцией.
3.5.
не является.
3.6.
является.
3.7.
3.8. не является. 3.9. является.
3.10.
3.12.
3.13.
3.15.
3.17.
4.1.
4.5.
. 3.16.
. 3.18.
. 4.2. . 4.3. 10. 4.4.
. 4.6.
;
. 3.14.
3.11. 0,401.
.
.
. 4.7.
.
.
.
.
4.8.
4.10.
4.12.
4.14.
. 4.9.
4.13.
. 4.11.
4.15.
. 4.16. 95. 4.17.
53
.
.
.
4.18.
2 2 2
(1 ) 4
с
4D
4 1 1
(111) ; (122) ; (121)
9 4 12
P P P
1 25 2
(121) ; (111) ; (222)
10 192 75
P P P
19
36
91
00
10 10
9 19 2
0
30 30 30
9 19 2
0
30 30 30
12
00
33
19 17
36 36
17 31
48 48
221 99
320 320
33 17
50 50
0 1 6 0 2 3 0 1 6
1 6 0 1 6 0 2 3 0
0 1 6 0 1 6 0 2 3
2 3 0 1 6 0 1 6 0
0 2 3 0 1 6 0 1 6
1 6 0 2 3 0 1 6 0
1 2 0 1 4 0 1 4 0
0 1 2 0 1 4 0 1 4
1 4 0 1 2 0 1 4 0
(2)
0 1 4 0 1 2 0 1 4
1 4 0 1 4 0 1 2 0
0 1 4 0 1 4 0 1 2
34
;
77
2 15
;
17 17
11
0; ;
22
0,2 0,304 0,192 0,304
0,304 0,2 0,304 0,192
0,192 0,304 0,2 0,304
0,304 0,192 0,304 0,2
(0,327; 0,156; 0,237; 0,280)
4.22. Не может
. 4.19.
. 4.20. 5/6.
5.1.
5.2.
5.4.
5.7.
. 5.5.
,
. 5.6.
.
. 5.3.
.
.
,
5.8.
5.11.
5.12.
. 5.9.
. 5.10.
.
,
.
54
5.13.
0 1 0 0 0 0
1 25 8 25 16 25 0 0 0
0 4 25 12 25 9 25 0 0
0 0 9 25 12 25 4 25 0
0 0 0 16 25 8 25 1 25
0 0 0 0 1 0
1 252;25 252; 100 252;100 252; 25 252;1 252P
21 32
47
13 64
11 32
1
( 1,2,3,...)
( 1) !
j
ej
2 sinxt
22
2
[ ] 1 [2 cos ]
0
2
f yf y f
yy
22
2
[]
0
2
f signyf c f
yy
22
1
(2 1) ( )
2
dU
Ut t UA t
dt
()At
2
0
y
x
сe
dx
yx
( ) 1f y dy
2 4 2 2
12
22
42
yy
32
2y
ce
32
21x
c
e dx
2 4 2 2
12
22
exp
42
yy
c
.
5.14. 0,273. 5.15.
5.19. 0,091. 5.20.
6.1.
. 6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
, где с определяется из условия
, где
. 5.16.
. 5.17.
. 5.18.
.
.
.
.
, где
белый шум.
.
.
.
6.7.
, где с определяется из условия нор-
мировки.
55
7.1.
22
2
10T
. 7.2. 16,45. 7.3. 135.5.
7.4. 11,9. 7.5.
.
56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящий сборник задач и упражнений предназначен для
студентов бакалавриата, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика», при изучении курса «Стохастические модели и теория надежности», выполнении работ
на практических занятиях, а также внеаудиторных заданий.
Данная работа позволяет им освоить основные методы моделирования стохастических систем при помощи теории случайных
процессов, приобрести и закрепить навыки и умения по применению этих методов. В частности, издание дает возможность
научиться находить основные характеристики случайных функций, изучить теорию стационарных случайных процессов, теорию марковских цепей и процессов.
57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель В.П., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и
ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.
2. Волков И.К., Зуев С.М., Цветков Г.М. Случайные процессы.
М.: Изд-во МГТУ, 2000. 448 с.
3. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, ма-
тематической статистике и теории случайных функций. СПб.: Лань,
2019. 452 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории веро-
ятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004.
400 с.
5. Крупин В.Г., Павлов А.Л., Попов Л.Г. Высшая математика.
Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы: сб. задач. М.: Изд-во Моск. энергетич. ин-та, 2015. 408 с.
6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в
примерах и задачах. М.: Физматлит, 2002. 320 с.
58
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................. 3
1. Основные характеристики случайных процессов ............................ 4
2. Дифференцирование и интегрирование случайных
процессов ................................................................................................ 12
3. Стационарные случайные процессы ................................................ 19
4. Спектральная теория стационарных случайных
процессов ................................................................................................ 26
5. Цепи Маркова .................................................................................... 35
6. Марковские процессы ....................................................................... 41
7. Выбросы случайного процесса за заданный уровень .................... 47
Ответы к задачам ................................................................................... 51
Заключение ............................................................................................. 57
Список литературы ................................................................................ 58
59
Учебное издание
Составитель: ПОПОВ Николай Николаевич
Случайные процессы
Редактор Н.В. Беганова
Компьютерная верстка Е.А. Образцова
Выпускающий редактор Ю.А. Петропольская
Подписано в печать 25.12.20
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная
Усл. п.л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,05
Тираж 50 экз. Рег. № 237/20
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Самарский государственный технический университет»
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]