Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
Итак, имеем
1 2 1 2 1 2 2 1
11
( , ) (cos cos sin sin ) cos( )
22
K t t t t t t t t
21
tt
1
( ) cos
2
K
()Xt
()Xt
( ) 4 (cos2 0,5sin 2 )Ke
( ) ( ) ( )Y t X t X t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y x xx x x x
K K R R K
( ) ( ),
xx x
RK
( ) ( )
x x x
RK
()
x
K
0
( ) 10 sin 2
x
Ke
( ) 10 (2cos2 sin2 )
x
Ke
0
( ) 10 sin 2
x
Ke
( ) 10 (2cos2 sin 2 )
x
Ke
( ) 10 (2cos2 sin2 )
x
Ke
( ) ( ) ( ) 8 (3cos2 sin 2 )
y x x
K K K e
2
( ) 1 (1 )
x
K
()Xt
.
Если обозначить
Следовательно,
, то получим
– стационарный случайный процесс.
Пример 3.2. Задан стационарный случайный процесс
с корреляционной функцией
.
Найти корреляционную функцию случайного процесса
.
Решение. Корреляционная функция суммы двух коррелиро-
ванных случайных процессов определяется формулой
.
Сумма третьего и четвертого слагаемых равна нулю, так
как
Найдем
. При
а
имеем
.
,
При
производные корреляционной функции составляют
,
Объединив оба случая, окончательно получим
.
.
.
Следовательно,
Пример 3.3. Задана корреляционная функция
стационарного случайного процесса
Найти дисперсию случайного процесса
21
.
.
.
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
.
2 2 2
0 0 0 0
( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2
1 1 1
t t t t
yx
t td d
d t t K d d
22
00
2 ln( 1) 2 ln( 1)
tt
tarctg tarctgt t
2
( ) 2 ln( 1)
y
d t tarctgt t
( ) sin cosX t A t B t
2
12
( ) cos sinX t t V t V t
1
V
2
V
12
2DD
2
( ) cosfe
( 0, 0)
Решение. Используя формулу для вычисления дисперсии,
имеем
.
Итак, имеем
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1. Определить, является ли случайный процесс
стационарным,
где A и B независимые случайные величины с математическим
ожиданием равным 0 и одинаковой дисперсией, равной
.
3.2. Задан случайный процесс
,
где
скими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями
и
– независимые случайные величины с математиче-
.
Выяснить, является ли случайный процесс Х(t) стационар-
ным.
3.3. Определить, обладает ли функция
свойствами корреляционной функции?
3.4. Указать, является ли функция
22
2
22
( ) (1 )Ke
( ) sin cosX t U t V t
( ) sin 2 cos2Y t U t V t
,UV
()Xtи ()Yt
( ) cos( )X t t
( ) sin( )Y t t
(0; 2 )
()Xtи ()Yt
()Xt
( ) sin
x
K
( ) cosK De
2
( ) 1 0,125Ke
()Xt
корреляционной для какого-либо стационарного процесса.
3.5. Заданы два случайных процесса
и
,
где
независимые случайные величины с математически-
ми ожиданиями, равными нулю и одинаковыми дисперсиями,
равными 2.
Определить, являются ли случайные процессы
стационарно связанными.
3.6. Заданы два случайных процесса
и
где
тервале
случайная величина, распределенная равномерно в ин-
.
Выяснить, являются ли случайные процессы
,
стационарно связанными.
3.7. Задан стационарный случайный процесс
с корре-
ляционной функцией
.
Найти корреляционную функцию и дисперсию его произ-
водной.
3.8. Определить, является ли дифференцируемым стацио-
нарный процесс с корреляционной функцией
3.9. Указать, является ли дифференцируемым стационар-
ный процесс с корреляционной функцией
3.10. Задан стационарный случайный процесс
реляционной функцией
23
.
.
с кор-
( ) 1
x
Ke
.
()Xt
( ) 1
x
Ke
( ) ( )Y t dX t dt
5l
20
()Xt
3
( ) 1 sin 3
x
Ke
( ) ( )Y t dX t dt
()Xt
2
( ) 3 (1 9 )
x
Kt
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
()Xt
()
x
K t De
0
( ) ( )
t
Y t X s ds
()Xt
2
( ) 2
x
K e ch sh
Найти корреляционную функцию и дисперсию его произ-
водной.
3.11. Задан нормальный стационарный случайный процесс
с корреляционной функцией
.
Определить вероятность того, что производная
будет иметь значения большие, чем
, если
3.12. Задан стационарный случайный процесс
реляционной функцией
.
.
с кор-
Найти для случайного процесса
ционную функцию и дисперсию.
3.13. Задан стационарный случайный процесс
реляционной функцией
Найти дисперсию случайного процесса
3.14. Задан стационарный случайный процесс
ляционная функция которого имеет вид
.
Найти дисперсию случайного процесса
3.15. Случайный процесс
функцией
корреля-
с кор-
.
.
, корре-
.
задан корреляционной
.
24
Найти взаимную корреляционную функцию
xx
R
()Xt
22
( ) 1 ( 3)
x
Ke
xx
R
()Xt
( ) 2
x
Ke
( ) ( ) ( )Y t X t X t
()Xt
( ) 2 1
x
Ke
( ) ( ) ( )Y t X t X t
го процесса и его производной.
3.16. Задан стационарный случайный процесс
реляционной функцией
случайно-
с кор-
.
Найти взаимную корреляционную функцию
го процесса и его производной.
3.17. Случайный процесс
задан с корреляционной
функцией
.
Найти корреляционную функцию случайного процесса
.
3.18. Задан стационарный случайный процесс
реляционной функцией
.
Найти корреляционную функцию случайного процесса
.
случайно-
с кор-
25
4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
()Xt
0
( ) ( cos sin )
x k k k k
k
X t m U t V t
,
kk
UV
[ ] [ ]
k k k
D U D V D
21
0
( ) cos ,
x k k
k
K D t t
()S
()K
1
( ) ( ) , ( ) ( )
2
ii
S K e d K S e d
00
1
( ) ( )cos , ( ) 2 ( )cosS K d K S d
(0) ( )d K S d
( ) ( 1) ( ) ( 1)
1 0 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ),
n n m m
n n m m
a Y t a Y t a Y t b X t b X t b X t
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Спектральным разложением стационарного случайного
процесса
называется его представление в виде
,
где
– некоррелированные случайные величины с матема-
тическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями
.
Корреляционная функция при этом будет задавать-
ся формулой
.
Для стационарного случайного процесса вводится спек-
тральная плотность
функцией
взаимно обратными преобразованиями Фурье:
, которая связана с корреляционной
.
Эти представления называют формулами Винера –
Хинчина. В действительной форме они принимают вид
.
Дисперсия стационарного случайного процесса определя-
ется формулой
. (4.1)
Пусть динамическая система описывается линейным диф-
ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
26
где
()Xt
()Yt
x
m
()
x
K
()Xt
y
m
()
y
K
()Yt
0
0
yx
b
mm
a
1
10
1
10
( ) ( ) ...
()
( ) ( ) ...
mm
mm
nn
nn
b i b i b
i
a i a i a
2
( ) ( ) ( )
yx
S i S
()S
()Xt
2
( ) 1
x
Ke
1
( ) ( ) ,
2
i
S K e d
мы;
стационарный процесс, поступающий на вход систе-
стационарный процесс на выходе системы.
Зная математическое ожидание
и корреляционную
функцию
матическое ожидание
выходного сигнала
входного сигнала
и корреляционную функцию
.
, требуется найти мате-
Алгоритм решения этой задачи следующий.
1. Находим математическое ожидание на выходе системы
. (4.2)
2. Находим спектральную плотность процесса на входе с
помощью обратного преобразования Фурье.
3. Находим частотную характеристику линейной системы
. (4.3)
4. Находим спектральную плотность процесса на выходе
. (4.4)
5. Находим корреляционную функцию процесса на выходе
с помощью прямого преобразования Фурье.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 4.1. Найти спектральную плотность
нарного случайного процесса
, корреляционная функция
которого
.
стацио-
Решение. В соответствии с формулой для спектральной
плотности
имеем
27
0
0
1
( ) 1
2
11
1 1 .
22
i
ii
S e e d
e e d e e d
Сначала вычислим первый интеграл
(1 )
0
(1 )
(1 )
1,
(1 )
, (1 )
i
i
i
u dv e d
ed
du d v e i
0
00
(1 ) (1 )
(1 )
2
(1 ) 1 1
1 1 1 (1 )
ii
i
ee
ed
i i i i
2
11
1 (1 )ii
(1 )
0
(1 )
i
ed
2
11
1 (1 )ii
22
1 1 1 1 1
()
2 1 (1 ) 1 (1 )
S
i i i i
2
2 2 2 2 2
1 2 2 2
2 1 (1 ) (1 )
( ) ( )Y t X t
()Xt
22
2
()
( 9)
x
S
()
y
S
( ) ( )Y t X t
()
x
S
.
Аналогично вычисляется второй интеграл
Таким образом, будем иметь
.
.
Пример 4.2. Найти дисперсию от производной
стационарного случайного процесса
, зная его спектраль-
ную плотность
.
Решение. Спектральная плотность
связана со спектральной плотностью
28
производной
формулой
2
( ) ( )
yx
SS
.
2
2
22
2
(0) ( ) ( )
( 9)
y y x
d
d K S d S d
22
2
, 2 ( 9)
, 1 ( 9)
u dv d
du dw v
22
( 9) 9
d
11
0
3 3 3 2 2 3
arctg
( ) 3 ( ) ( ) 2 ( )Y t Y t X t X t
9
x
m
2
( ) 3
x
Ke
2 9 3 6
y
m
()
x
S
0
2
(2 )
1 3 3
( ) ( )
2 2 2
i i i
x
S K e d e e d e d
0
(2 ) (2 )
(2 )
0
0
33
2 2 2 2
ii
i
ee
ed
ii
2
3 1 1 6
2 2 2 (4 )ii
Тогда имеем
=
.
Пример 4.3. На вход линейной динамической системы,
описываемой уравнением
,
подается стационарный случайный процесс с математическим
ожиданием
и корреляционной функцией
.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайного
процесса на выходе системы в установившемся в режиме.
Решение. Находим математическое ожидание на выходе
системы по формуле (4.2):
.
Спектральную плотность процесса на входе
лим при помощи обратного преобразования Фурье:
.
По формуле (4.3) находим частотную характеристику ли-
нейной системы
29
вычис-
2
()
3
i
i
i
.
2
2
22
2 6 6
( ) ( ) ( )
9 (4 ) ( 9)
yx
i
S i S
i
y
d
2
6 6 2
2
9 3 3 2 2
y
d
d arctg
()S
()Xt
()Xt
()S
()Xt
2
2
( ) 4 ( 4)S
()Xt
()Xt
22
10
()
(1 )
S
()S
()Xt
Находим спектральную плотность процесса на выходе по
формуле (4.4):
.
Дисперсию
на выходе системы вычисляем по форму-
ле (4.1):
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1. Задана спектральная плотность
мого стационарного случайного процесса
Найти дисперсию производной
4.2. Спектральная плотность
стационарного случайного процесса
Найти дисперсию производной
задается выражением
.
дифференцируе-
.
.
дифференцируемого
.
4.3. Найти дисперсию стационарного случайного процесса
, зная его спектральную плотность
.
4.4. Найти спектральную плотность
случайного процесса
и дисперсию его производной, зная,
что корреляционная функция
.
30
стационарного
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]