Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Сборник задач и упражнений
.pdf
6. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
( , , , ) ( )f x y t t
( , , )f y x t
2
2
1
( , ) ( , ) 0
2
f f f
a x t b x t
t x x
1
( , ) lim [( ) ]
t
a x t M Y X X x
t
2
1
( , ) lim [( ) ]
t
b x t M Y X X x
t
( , , )f y x t
2
2
[ ( , ) ] 1 [ ( , ) ]
( , ) 0
2
f a y f b y f
b x t
yy
()fy
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
dd
a y f y b y f y
dy dy
Случайный процесс называется марковским, если закон
распределения ординаты процесса в любой будущий момент
времени зависит только от значения ординаты в настоящий момент времени и не зависит от того, какие ординаты имел случайный процесс в прошлом. Двумерная плотность распределения
Условная плотность вероятности
полностью задает марковский процесс.
марковского
процесса, рассматриваемая как функция параметров начального
состояния x и t, удовлетворяет уравнению (первое уравнение
Колмогорова)
,
где функция
характеризует
скорость изменения ординат случайного процесса.
Функция
характеризует скорость изменения условной дисперсии ординат
случайного процесса.
Если рассматривать условную плотность вероятности
как функцию от y и (параметры конечного состоя-
ния), то получим уравнение
,
которое называется вторым уравнением Колмогорова.
Для стационарного марковского процесса уравнение Колмо-
горова для предельной плотности вероятности
имеет вид
.
41
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
()
dU
U mA t
dt
m
()At
( ) ( )K
()
()Ut
( , , )f y x t
( , )a x t
( , )b x t
( , )tt
1 1 1
()
tt
tt
dU
U dt m A t dt
dt
( ) ,U t X
( ) ,U t Y
1 1 1 1
( ) ( )
tt
tt
Y X m A t dt U t dt
11
( ) ( ) ( ) .
t
t
M Y X X x m M A t dt M U X x
11
( ) ( )
t
t
U t dt U
( , )tt
( ) 0M A t
0
( ) ( )U U t X
Пример 6.1. Составить уравнения Колмогорова для сто-
хастического дифференциального уравнения
где
и
постоянные, а
случайный процесс с нулевым
, (6.1)
математическим ожиданием и корреляционной функцией
где
дельта-функция Дирака.
Решение. Будем считать, что решение
дифференци-
ального уравнения (6.1) является марковским случайным процессом и его условная плотность вероятности
удов-
летворяет уравнениям Колмогорова. Найдем коэффициенты
и
этих уравнений.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (6.1) в пределах
.
Обозначая
получим
. (6.2)
Найдем условное математическое ожидание от обеих частей (6.2):
Здесь была применена теорема о среднем
,
По условию задачи
. При
, поэтому
42
.
00
11
( , ) lim ( ) lim ( ) .a x t M Y X X x M U X x x
Возведя обе части уравнения (6.2) в квадрат, получим
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) ( )
t t t t
t t t t
Y X m A t A t dt dt m A t U t dt dt
2
1 2 1 2
( ) ( )
tt
tt
U t U t dt dt
2 2 2
2 1 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) ( )
tt
tt
M Y X X x m K t t dt dt m M A U X x
22
1 2 1 2
( ) ( ) , , ( , )M U U X x t t
2
2 1 1 2
0
1
( , ) lim ( )
tt
tt
b x t m t t dt dt
2
1 2 1 2
00
2 lim ( ) ( ) lim ( ) ( )m M A U X x M U U X x
22
1
0
1
( , ) lim
t
t
b x t m dt m
2
2
2
1
0
2
f f f
xm
t x x
()fy
()
dU
U mA t
dt
m
()At
( ) ( )K
+
+
.
Находя условное математическое ожидание с учетом теоремы о среднем, будем иметь
Отсюда получим
Два последних предела здесь обращаются в нуль, поэтому
.
Следовательно, первое уравнение Колмогорова имеет вид
.
Пример 6.2. Найти предельную плотность распределе-
ния
для стационарного случайного процесса, задаваемого
дифференциальным уравнением
.
.
,
где
и
постоянные, а
случайный процесс с нулевым
математическим ожиданием и корреляционной функцией
.
43
Решение. Предельная плотность распределения
()fy
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
dd
a y f y b y f y
dy dy
()ay
()by
()a y y
2
()b y m
2
( ) ( ) 0
2
d m d
yf y f y
dy dy
2
()
()
2
m df y
yf y
dy
2
( ) 2
()
df y ydy
f y m
2
2
()
ln
f y y
cm
22
()
ym
f y ce
22
(2 )m
22
(2 )
1
()
2
y
f y e
12
22
c
mm
деляется из уравнения Колмогорова:
опре-
.
Функции
мере. Они равны
и
были найдены в предыдущем при-
,
. Тогда уравнение Кол-
могорова имеет вид
.
Интегрируя по всем возможным значениям y, получим линейное уравнение первого порядка
или
.
Интегрируя последнее уравнение, получим
,
где с – постоянная интегрирования.
Из последнего равенства находим предельную плотность
распределения
.
Это есть плотность нормального закона распределения с
дисперсией
. Плотность нормального закона рас-
пределения в обычной форме имеет вид
Отсюда находим постоянную с:
44
.
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2
2 sin ( ) 0
dU
U U t A t
dt
()At
( , )b x t
2 cos ( ) 0
dU
U U tA t
dt
()At
( , , )f y x t
( ) 0
dU
signU cA t
dt
,c
()At
( , , )f y x t
()Ut
2
2
2
1
(2 1) 0
2
f f f
xt t x
t x x
6.1. Марковский процесс удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
,
где
белый шум с нулевым математическим ожиданием.
Найти функцию
уравнения Колмогорова.
6.2. Марковский процесс удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
,
где
белый шум с нулевым математическим ожиданием.
Составить второе уравнения Колмогорова для определения
условной плотности
.
6.3. Марковский процесс удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
,
где
постоянные,
белый шум с нулевым математиче-
ским ожиданием.
Составить второе уравнения Колмогорова для определения
условной плотности
.
6.4. Первое уравнение Колмогорова для марковского про-
цесса
имеет вид
Составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет марковский процесс.
.
45
6.5. Найти предельную плотность распределения
()fy
2
( ),
dU
U UA t
dt
()At
( ) ( )K
2
3 ( ),
dU
U A t
dt
()At
( ) ( )K
()fy
12
( , )f y y
22
3
2
( ),
2
d U dU
U A t
dt dt
()At
( ) ( )K
для
стационарного случайного процесса, задаваемого дифференциальным уравнением
где
– постоянная, а
случайный процесс с нулевым ма-
тематическим ожиданием и корреляционной функцией
.
6.6. Случайный марковский процесс удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
где
ским ожиданием и корреляционной функцией
– постоянная, а
белый шум с нулевым математиче-
Найти предельную плотность вероятности
.
для уста-
новившегося режима.
6.7. Найти предельную плотность распределения
для стационарного случайного процесса, задаваемого дифференциальным уравнением
где
– постоянная, а
случайный процесс с нулевым ма-
тематическим ожиданием и корреляционной функцией
.
46
7. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
()Xt
a
xa
()Xt
2
2
()
2
2
x
am
v
a
x
e
v
()Xt
2
2
()
2
2 0,5
x
am
x
vx
am
e
2
2
0
1
()
2
x
t
x e dt
0
30ТC
0
Т
()Xt
0
x
m
ЗА ЗАДАННЫЙ УРОВЕНЬ
Выбросом случайного процесса
называется пересечение реализацией этого процесса (снизу
вверх) прямой
. Число выбросов за время t является дис-
за заданный уровень
кретной случайной величиной. При редких выбросах можно
считать, что она распределена по закону Пуассона.
Среднее число выбросов в единицу времени для нормального стационарного процесса
определяется формулой
, (7.1)
где
среднее квадратическое отклонение производной слу-
чайного процесса.
Средняя длительность одного выброса для нормального
стационарного процесса
за уровеньa определяет-
ся формулой
, (7.2)
где
функция Лапласа.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 7.1. Прибор может работать при температуре
,
где
– номинальная средняя температура.
При выходе температуры за эти границы прибор отказывает. Температура окружающей среды
является нормально
распределенным стационарным случайным процессом с математическим ожиданием
и корреляционной функцией
47
250
( ) 36 (1 250 )Ke
.
50t
()
!
k
t
k
t
Pe
k
0
11
t
вых
P P e
a
30
x
mC
30
x
mC
a
2
2
()
2
2
x
am
v
a
x
e
0, 30, (0) 6
x
m a K
2
v
()Xt
2
(0)
v
K
250
36 (1 250 )
0
e
250
2
36 250 (1 250 )
0
e
2
36 250
a
900
12,5 4
2 36
6 250 125
1,483 10
26
a
ee
Считая число выбросов распределенным по закону Пуассона, найти вероятность того, что за время
ч прибор вый-
дет из строя.
Решение. Согласно закона Пуассона, вероятность того, что
произойдет ровно k выбросов в течение времени t определяется
формулой
,
где
среднее число выбросов в единицу времени.
Прибор выйдет из строя, если произойдет хотя бы один
выброс из допустимой области. Вероятность выхода прибора из
строя будет равна
.
Среднее число выбросов
снизу вверх за границу
определяется формулой (7.1). Столько же выбросов
будет сверху вниз за границу
. Вычислим величину
по формуле (7.1):
.
По условию задачи
сия
производной
определяется по формуле
. Диспер-
.
Теперь численно среднее число выбросов
Вычисляем параметр пуассоновского распределения
равно
.
48
4
2 2,966 10
a
4
2,96610 50 0,01483
1 1 1 0,9853 0,0147
вых
P e e
1,5
( ) 5 1 1,5Ke
3
2
2
()
2
2 0,5
x
am
x
vx
am
e
3, 0,am
(0) 5
x
K
(0)
v
K
1,5
5 (1 1,5
0
e
1,5
11,250e
1,5
11,25 ( 1,5 1) 11,25 3,35
0
e
0,9
53
2 0,5
3,35
5
e
3
(1,34) 0,4099
5
0,92
и вероятность выхода прибора из строя
.
Пример 7.2. Ошибки на выходе динамической системы
подчиняются нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
.
Определить, на сколько секунд в среднем будет выключаться система, если выключение производится автоматически
при получении ошибки, превосходящей по абсолютной величине
.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (7.2):
.
В этой формуле
,
=
Подставляя числовые значения в формулу (7.2), получим
Используя таблицу значений функции Лапласа, находим
Окончательно средняя длительность одного выброса составит
с.
49
=
.
.
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
()Xt
( ) cos sin
x
K ae
.
x
m const
()Xt
8
x
m
0,1
( ) 100 1 0,1
x
Ke
2a
()t
0m
( ) cos sin ,K ae
0,1; 0,7
600T
()t
()Xt
( ) cos sin
x
K ae
0
25
0, 100, 0,1; 0,7
x
ma
()Xt
x
m const
22
()
x
K ae
7.1. Определить среднее число максимумов нормального
случайного процесса
, приходящееся на единицу времени,
если
,
7.2. Задан нормальный случайного процесса
см
и
см2,
где
выражено в секундах.
Определить среднюю длительность выброса этого процесса за уровень
7.3. Угол крена корабля
см.
является нормальным слу-
чайным процессом с
и
.
Определить, сколько раз в среднем в течение времени
с угол крена корабля
на качке будет принимать
нулевые значения.
7.4. Корреляционная функция угла крена корабля
ределяется формулой
с
.
оп-
Считая процесс качки нормальным, определить, сколько
раз в среднем за 1200 с хода корабля угол крена будет выходить
за пределы
, если
7.5. Определить среднее число точек перегиба нормальной
случайной функции
,
, приходящееся на время Т, если
.
.
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]