Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
!
Pn
n
11
11
42
RR
Глава 3. Корреляционные функции и спектральные
плотности (энергетические спектры) случайных процессов
e
n
,
где ντ – средняя частота появления скачков.
Также пусть известны корреляционные и взаимные корреляционные функции для ξ1(t) и ξ2(t): R
Мат. ожидание ξ1(t) и ξ2(t) равно нулю.
(τ), R
ξ
1
(τ), R
ξ
2
Тогда корреляционная функция h(t)
ξ1ξ
71
(τ).
2
RR RR
12 12
Причём
Rξ(τ) = e
–2ν|τ|
.
.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3
1
2
Ss
tted
1
2
ff
'
1
2
SS
1
'
2
SS
0c
'
1
2
SSSd
'''
Задача 1
Найти комплексный спектр колебания [1, 2]:
s(t) = f(t) cos(w0t).
Решение
Обращаем внимание на то, что сигнал s(t) является неслучайным (по крайней мере в условии об этом ничего не сказано).
Значит, это просто задача на преобразование Фурье.
jt
s
tf
cos
Пусть Sf – спектральная плотность сигнала f(t), которая может быть получена с помощью обратного преобразования Фурье:
t
0
.
f tS Sed
'
Соответственно,
'
sf
sf
'cos
Причём
-t
cosjte dt S
sft
Таким образом, преобразование Фурье (а значит, и спектр)
произведения двух сигналов пропорционален свёртке спектральных плоскостей этих сигналов.
'
jt jt
ed te dt
os t
cos
0
'
jt
'
'
cos
te dtd
0
0
0
--'
jt
'
.
,
.
,
.
Задачи к главе 3
0
SR
22
22
Se
21
12
N
S
1
RS
Задача 2
Найти спектральную плотность случайного процесса ξ(t),
если его корреляционная функция имеет вид [1, 2]
Rξ(τ)= s2e
–a| τ |
.
Решение
Обратимся к теоретической части:
73
2 cos
2 cos 2
0
d
,
d
(ответ получен с помощью калькулятора интегралов).
Задача 3
Найти корреляционную функцию случайного процесса ξ(t),
стационарного в широком смысле, с нулевым мат. ожиданием и
спектральной плотностью [1, 2]:
0
при
2
N
2
0
при
0 при других
Для частного случая w1 = 0 определить величину интервала
D = t
– tk, при котором значения ξ(t
k+1
) и ξ(tk) являются не-
k + 1
коррелированными.
Решение
Фактически представляет интерес только один участок Sξ(w),
именно w1 ≤ w ≤ w2, т.к. первый участок (–w2 ≤ w ≤ –w1) будет таким же по выкладкам, как и второй.
Обращаемся к теореме Винера – Хинчина:
0
cos
d
.
74
21
1
22
NN
Rd
si
22
00
()()
22 22
NN
R
ωω
0
2
00
2
R
2
N
2
Случайные процессы
Соответственно,
Известно, что
Тогда получим:
2
00
nsin 2 cos sin
cos sinsin
1
.
.
2cos sin cos sin
12 21
Причём
12
,
ω
w2 – w1 = Dw.
Тогда
sin
N
0
2
cos
2
0
2
sin
N
2
0
2
cos cos
2
Причём:
2
0
,
0
.
.
Для случая w1 = 0
sin
2
.
22
2
R
Причём
2
20
2
N
22
22
гр гр
ff
2
s
Re
SR
Rd
22
22jj
Se
ed
2
xe
p
NN
00
sin
22
sin
sin
2
Задачи к главе 3
2
,
75
2
.
2
Соответственно, значение интервала D = t
.
– tk для некор-
k+1
релированных отсчётов для случая w1 = 0
sin
00
2
2
1
,
где fгр – верхняя граничная частота спектральной плотности
Sξ(w).
Задача 4
Найти спектральную плотность стационарного в широком
смысле случайного процесса ξ(t) с корреляционной функцией
[1, 2]
2
.
Решение
Обратимся к теоретической части:
j
ed
ed
cos
,
.
Известно соотношение [1]
2
px qx
ed
q
4
p
.
В нашем случае
p = a, x = τ, q = j w.
76
2
22
44
Se
K
SK
переходим к другим
Sd
2
Случайные процессы
Тогда
j
2
e
.
Задача 5:
Определить спектральную плотность случайного процесса ξ(t), стационарного в широком смысле, с ковариационной
функцией [1, 2]
2
1при
0 при
T
T
T
Решение
Обратимся к теоретической части:
j
2
1cos
ed K d
T
cos
пределам,
т.к. взятоп ом одулю
и ограничено
,
T
TT
2
cos
d
00
cos
d
T
обратимсяккалькулятору интегралов
2
sinsin cos 1
2
sinsin cos
22 2
TTTT
T
2
TTT
2222
TTT
)(
22
1cos
T
ГЛАВА 4
dy
Wy
1
i
dy
Wy
my
x
YY
Yii
i
mE
22
iYi
i
mp
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Во многих задачах требуется определить функцию плотности
распределения вероятности WY(y) случайной величины Y по известной функции плотности распределения вероятности WX(x)
случайной величины X и известной функциональной связи
Y = g(X ). В том случае, если обратная зависимость X = j(Y) однозначна, пользуемся формулой [1, 2]
Wx Wy
YX X
Если обратная зависимость неоднозначна (например, пара-
бола имеет две ветви), то попросту суммируют все ветви:
YXi
dx
dy dy
n
Wy
.
i
.
dy
Мат. ожидание и дисперсию находят двумя путями:
по стандартным формулам с использованием найденной WY(y)
или путём осреднения g(X ). Второй путь проще, т.к. в нём нет
необходимости определять WY(y):
Wydy gxWxd
YY X
2
YY
Для дискретной случайной величины
ym WydgxmWxdxy
2
YY
2
EgXm gx
2
gX gx p
,
,
X
.
.
78
12
,,
D
Fy
12
12
Wy
12
12
12
12
,,
,,
yy
yy
Случайные процессы
Если мы имеем две случайные величины X1 и X2, распределённые совместно (т.е. эти величины взаимодействуют между
собой и образуют результат, который зависим одновременно
от X1 и X2) и для них известны детерминированные функции:
g (X1, X2) = Y1 и g2(X1, X2) = Y2,
то совместная функция распределения имеет вид
yWyy dy dy
,12,12
YY YY
12 12
,
где D – область интегрирования, определяемая неравенст-
вами
g1(x1, x2) < y1 и g2(x1, x2) < y2.
Совместная функция плотности распределения вероятности –
2
, y
Y ,Y
1
12
2
Fyy
YY
12
dy dy
,
.
Если заранее известны однозначные обратные функции
X1 = j1(Y1, Y2) и X2 = j2(Y1, Y2), то можно определить совместную
функцию плотности распределения вероятности без определения
F
(y1, y2):
Y1Y
2
W
(y1, y2) = W
Y1,Y
2
(j1(у1, у2), j2(у1, у2))| J |.
X1X
2
Причём
X1 = j1(y1, y2),
X2 = j2(y1, y2),
где | J | – определитель Якоби (якобиан):
J
yy yy
1121
yy yy
2122
.
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
,
12
12
,,
01
yy
22
01
yy
yy
22
1
yy
Wk
79
Если обратные функции неоднозначны и состоят из не-
скольких ветвей, нужно взять сумму всех ветвей.
Теперь можно рассмотреть полезный частный случай (когда
преобразование Y1 и Y2 описывается только одним уравнением):
X YY
1112
XY YY
22 21 2
,
(т.е. j2 превратилось просто в Y2).
Тогда якобиан примет вид
yy yy
1121
J
.
Этот случай полезен тем, что из него легко получить функциональное преобразование для двух случайных величин: мы уже
записали ранее X1 = j1(Y1, Y2), т.е. Y1 и Y2 имеют функциональную
связь с X1 (с X2 – всё упрощено: X2 = Y2).
Теперь, если в качестве Y1 подставить любое функциональное преобразование, связанное с X1 и Y2, получим выражение
для определения функции плотности распределения вероятности этого преобразования:
W
f(Y1,Y2)(y1
, y2) = W
(k(x1, y2), y2)| J |,
Y1,Y
2
случайных величин).
,, ,,
kxyy kx
1122 11
J
kx
,
12 2
,
где f (Y1, Y2) – функциональная зависимость между Y1 и Y2,
k(x1, y2) – обратная для f (Y1, Y2) зависимость.
Например, f (Y1, Y2) = X1 = Y1 + Y2 (т.е. аддитивная сумма двух
Тогда
k (x1, y2) = X1 – Y2.
В конечном итоге получим:
,,
kx
xy yW kxyy
,, ,,
,
fYY
12
12 2,12 2
YY
12
11
y
.
80
2
Wk
yd
1
1
22
WW
yd
11
WW
yd
1
Случайные процессы
Теперь можно проинтегрировать полученное выражение
по y2 и получить искомую функцию плотности распределения
вероятности для функционального преобразования:
,,,
xy Wkxy
,
fYY
12
12 ,122
YY
12
1122
,,
kxyy
,
kxy
12
.
y
Причём
∂k(x1, y2) = ∂x1.
Теперь рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи
функционального преобразования для двух случайных величин:
сумма, разность, произведение и частное:
1. Сумма: f (Y1, Y2) = Y1 + Y2
k(y1, x1) = x1 – y1 или k(x1, y2) = x1 – y2,
т.к. x1 = y1 + y2 = j1(y1, y2);
,,
kxyy
1122
x
xy
12
'
.
x
1
YY YY YY
12 12 12
Причём
Тогда
YY YY YY
12 12 12
2. Разность: f (Y1, Y2) = Y1 – Y2
k(y1, x1) = y1 – x1 (т.е. мы заменяем y2 на выражение, содержа-
щее x1):
ykyx
11 11
(здесь и далее берём значение по модулю).
,1 ,
xyydyWxy
1222 12
x1 – y2 = k(x1, y2).
,1 ,
yx ydyWyx
11 11 11
,,
yx
x
1
11
'
x
1
y
.
y
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]