Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
Глава 2. Преобразование Фурье
Sp
ed
1
Sf
20k
t
nk
Sf
edu
51
где p(t) – некоторая вещественная и чётная весовая функция
окна. Такой анализ называется время-частотным.
В простейшем случае весовая функция представляет собой
прямоугольный импульс. Ширина окна T (необязательно прямоугольного) должна выбираться так, чтобы на любом интервале
длины T сигнал был квазистационарным (т. е. чтобы с некоторым допущением его можно было бы считать стационарным).
Кроме того, частоты, период колебаний которых сравним или
больше T, будут преобразованы некорректно [12].
В более общем виде оконное преобразование Фурье может
записано следующим образом [12]:
jt
tn ft
0
,
t
где n – номер интервала наблюдения, τ0 – параметр сдвига окна
(τ0 ≤ T).
В частном случае прямоугольного окна и τ0 = T (т. е. интервалы наблюдения не перекрываются) [12]
В самом общем случае (произвольная весовая функция и
перекрытие интервалов наблюдения) мы фактически вернёмся к выражению для разложения периодической функции в ряд
Фурье [12]:
Между «идеальным» (неоконным) спектром и спектром,
полученным с помощью оконного преобразования Фурье –
~S(f ), т. е. с оценкой спектра, есть связь:
nT
2
f tptn ce
jfT
e
Su
1
nT
2
sin
jt
te dt
k
Tf u
fu
.
j
T
.
juT
.
52
fu
cos
2
jx jx
ee
00
22
11
22
te
00
1
2
Случайные процессы
Фактически f и u – частоты (просто по-разному обозначен-
ные): f – для оценки спектра ~S (f ), u – для самого спектра S(u).
Учитывая, что множитель
sin Tf u
есть не что иное,
как спектр прямоугольного импульса, приведённое выше выражение представляет собой интегральную свёртку спектра анализируемой функции f(t) и спектра прямоугольного импульса
длительности T. В этом случае, если сигнал f (t) – гармонический [12],
f (t) = cos(2πm0t).
Тогда получим:
2
jft
ft te dt
cos 2
0
.
Воспользуемся преобразованием Эйлера:
x
.
Тогда
1
22
jt jt
ft eee
jftjft
edte dt.
2
00
jft
2
Обратимся к интегральному представлению δ-функции:
Тогда
f tf f
Множитель 1/2π мы попросту отбросили (в разных источ-
никах поступают по-разному: отбрасывать этот множитель или
нет – каждый решает сам).
1
jt
.
2
d
.
Таким образом,
fe
Sf
fe
00
00
00
jT
Sf ee
ff
Глава 2. Преобразование Фурье
53
jfT
e
2
sin
Tf u
0
fu
0
Tf u
sin
fu
juT
du
juT
du
Поскольку, с одной стороны, мы интегрируем по перемен-
ной u, а с другой стороны, δ-функция равна 0 везде, кроме значения u = μ0 (для первого слагаемого) и u = –μ0 (для второго слагаемого), интегралы превращаются просто в число (при том что
δ-функция становится равной 1):
jfT
e
sinsin
Tf Tf
2
jT
.
Таким образом, ~S ( f ) – спектр гармонического сигнала
f (t ) = cos(2πm0t) на ограниченном интервале времени t ∈ [0; T].
Если такой спектр представить в виде графика, то мы по-
лучим вместо δ-функции в точках, кратных μ0 (которая на вид
представляет собой «палку»), затухающую синусоиду (согласно
выражению для ~S (f)) (рис. 2).
Вместо -функции мы
имеем «растекание» спектра
Значение БПФ
0
Рис. 2. Пример спектра
Частота
54
0
20
A
Случайные процессы
Если значение длительности T интервала наблюдения сигнала f (t) фиксировано, то увеличение числа временных отсчётов
не приведёт к увеличению разрешения: если мы во временной
области увеличили частоту измерения, то это приведёт лишь
к «раздвижению» копий спектра (который, как мы помним, является периодическим – с периодом, равным T ). По сути, это
приведёт лишь к тому, что на верхних частотах добавятся компоненты: нулевые (в теории, т. к. считаем, что эффект наложения частот отсутствует), а также близкие к нулю (т. к. эффект
на ложения всё же есть, поскольку есть ограничение по частоте –
верхняя граничная частота спектра конечна).
Для повышения разрешения по частоте следует увеличивать
время наблюдения T, а оно-то как раз конечно и его нельзя бесконечно увеличивать, т.к. оно (окно) было введено для исключения нестационарности анализируемого сигнала.
Применение различных видов оконных функций как раз и
нацелено на снижение эффекта «растекания спектра» (табл. 1).
Таблица 1. Оконные функции
Тип окна
Прямоугольное -13 ≈ 0,9/N 0,742 21
Хэннинга -31 ≈ 3,1/N 0,0546 44
Хэмминга -41 ≈ 3,3/N 0,0194 53
Блэкмана -57 ≈ 5,5/N 0,0017 74
Уровень боко-
вого лепестка,
дБ
Ширина пере-
ходной поло-
сы в единицах
нормирован-
ных линейных
частот DF
Неравномер-
ность
в полосе про-
пускания, дБ
Затухание в
полосе пропу-
скания, дБ
Уровень бокового лепестка выражается в децибелах:
1
lg
,
A
где A0 – уровень главного лепестка, A1 – максимальное значение
АЧХ вне главного лепестка.
Т. е. чем более отрицательным является этот параметр, тем
лучше: это говорит о том, что максимальное значение АЧХ вне
Глава 2. Преобразование Фурье
2
n
24
11
nn
aa
NN
11
222
aa
главного лепестка (собственно «растекание спектра») становится всё меньше.
Типы оконных функций:
• прямоугольное окно, получается автоматически при огра-
ничении выборки N отсчётами;
• окно Ханна (Хэннинга):
2
n
• окно Хэмминга:
n
0,51 cos
N
;
1
55
0,53836 0, 46164 cos
n
• окно Блэкмана:
na
Таким образом, применение оконной функции (или взвешивание) позволяет снизить «растекание» спектра за счёт расширения главного лепестка и уменьшения ширины боковых лепестков. Расплатой за это является снижение частотного разрешения, т. к. как раз в области главного лепестка сосредоточены
все основные гармо ники.
01 2
012
cos cos
,,
a
N
;
1
,
.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2
tT
tT
/2
/2
T
T
g
te
1
ee
a
22
2
TT TT
T
jj
g
Задача 1
Найти амплитудный и фазовый спектр сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс длительности T (рис. 3)
[12]:
1, при 0;
f t
0, при 0;
Решение
Введём функцию g(t ) = f (t + 0,5T ) (для удобства расположения пределов интегрирования – так они будут симметричными).
Тогда
tS gted
g
Воспользуемся таблицей интегралов [4]:
ax ax
Тогда
jj
jt
eeeee
t
jjj
2
T
jt jt
1
.
22
.
dt
,
f(t )
1
0 t
Рис. 3. Прямоугольный импульс длительности T
Задачи к главе 2
2
ee
g
jf
si
2
jx jx
ee
j
cos
2
jx jx
ee
g
f
Sf
0
eS
ns
ff
Tf
57
t
.
Вспомним формулы Эйлера:
n
x
;
x
.
Тогда
sin fT
t
.
Теперь переходим к f (t): f(t ) = g (t – 0,5T).
Обращаемся к свойствам преобразования Фурье (см. теоре-
тическую часть) – «задержка сигнала»:
jt
пусть
, тогда
t
f tt
0
.
Тогда
T
j
si
ft gt Te e
0,5
2
fT fT
jfT
in
Соответственно, амплитудный спектр f (t):
sin
fT
ft e
jfT
.
f
График амплитудного спектра изображен на рис. 4.
.
|S( f )|
S
0
-2/T -1/T 1/T 2/
Рис. 4. График амплитудного спектра
58
12
TT
ef
Tj
ea
ef
Случайные процессы
Обращаем внимание: график спектра распространяется как
на положительные, так и на отрицательные частоты (хоть отрицательные частоты и не имеют физического смысла).
Переходим к выражению фазового спектра.
Фазовый спектр, как известно, представляет собой
j(f) = arg S(f ).
Первое, на что обращаем внимание: в точках
, , f
| S(f) | = 0 ⇒ фазовый спектр не определён, значит, его можно построить только для участков между этими точками.
Соответственно, для положительных частот
sin
fT
farg
jfT
T
f
.
Для отрицательных частот
sin
fT
farg
jf
farg
f
jfTj
rg e
T
fT
,
.
Периодичность фазового спектра равна 2/T, т. е. достаточно его построить лишь для участка 0…(2/T). Для области отри-
-T-T
Рис. 5. График фазового спектра
( f )
T T
f
Задачи к главе 2
Sfte
te
Sf
edt
Sf
59
цательных частот спектр получаем исходя из того, что функция
j(f ) является нечётной.
График фазового спектра представлен на рис. 5.
Задача 2
Выполнить оконное преобразование Фурье сигнала
f (t ) = 1 при использовании весовой функции прямоугольного
окна p1(t) [12].
Решение
Сначала вычислим «традиционный» спектр сигнала:
dt
.
21jft
Обращаемся к свойствам δ-функции. Интегральное представление:
1
jt
.
d
2
Как уже было ранее сказано, множитель 1/2π в прямом преобразовании Фурье может и отсутствовать, поэтому, в принципе, можно утверждать, что для частного случая f (t) = 1
Оконное преобразование Фурье имеет вид
Причём достаточно рассмотреть только случай τ = 0 (при
других значениях τ отличия будут наблюдаться лишь в фазовом
спектре):
Фактически мы получим то, что для сигнала f (t ) оконное
преобразование Фурье превращается в «традиционное» прямое
2
jft
pt ftedtft
ptedtpt
ft t
2jft
.
1
pt
.
2
jft
.
60
f
Случайные процессы
преобразование Фурье, в котором в качестве преобразуемой
функции используется оконная функция p(t).
Если оконная функция прямоугольная, то мы получаем та-
кой же результат, что и в задаче 1:
sin
fT
jfT
p te
1
.
Вывод: применение оконной функции необходимо в тех
случаях, когда сигнал является нестационарным на всём протяжении и сохраняет стационарность лишь на коротких интервалах. Но недостатком оконного преобразования Фурье является
эффект «растекания спектра»: на примере данной задачи видим,
что даже для такой функции-константы, как f (t) = 1, оконное
преобразование Фурье даёт результатом вовсе не δ-функцию
(как в «традиционном» исполнении), а такой спектр, который по внешнему виду совпадает с амплитудным спектром
из задачи 1: вместо «палки» имеем «растекание».
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]