Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник вопросов и задач по общей физике. Раздел 5. Молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
129. Сосуд объемом
тура которого
рез небольшое отверстие площадью
гелия вылетают в вакуум. За какое время
суде уменьшится в
заполнен не гелием, а азотом?
130. Найдите доплеровское уширение головной линии
серии Бальмера атомарного водорода, наблюдаемой в спектре излучения Солнца. Температуру
ной 6000 К.
400 К поддерживается постоянной. Че-
T
2 раза? Как изменится , если сосуд
1 л наполнен гелием, темпера-
V
s 0,1 мм
2
молекулы
давление в со-
Солнца считать рав-
T
Квантовые статистики
131. Квантовые свойства системы микрочастиц становятся существенными, если среднее расстояние а между частицами сравнимо со средней длиной волны де Бройля =
vmh (
m
– масса частицы). Рассчитайте а и для гелия:
а) при нормальных условиях; б) в критической точке
5К,
T
кр
средней скорости воспользуйтесь распределением Максвелла. Проявляются ли квантовые свойства гелия в этих
случаях?
p 2,26 атм. В обоих случаях при вычислении
кр
132. Пользуясь соотношением неопределенностей, найдите: а) какой объем
ствует одному состоянию микрочастицы; б) какой объем
в импульсном пространстве приходится на одно со-
стояние микрочастицы.
133. Определите число фазовых ячеек в единице объема
для свободных нерелятивистских электронов с энергиями в
интервале (
134. Получите выражение для максимальной энергии
электронов проводимости в металле при
Ферми), если концентрация электронов проводимости рав-
n .
на
d, ). Масса электрона
в фазовом пространстве соответ-
m
.
0T (энергии
31
135. Рассчитайте энергию Ферми
тах) для электронов проводимости лития и натрия и сравните ее со значением kT при комнатной температуре.
136. Используя результат предыдущей задачи, найдите
линейную скорость
Ферми лития и натрия при
137. Найдите длину волны де Бройля электрона проводимости на уровне Ферми лития и натрия при
сравните ее со средним расстоянием
проводимости.
138. Покажите, что средняя энергия электронов прово-
v электронов проводимости на уровне
F
0T К.
(в электронволь-
F
0T К и
a между электронами
3
димости в металле при 0T равна
139. До какой температуры надо было бы нагреть клас-
сический газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии электронов проводимости в
литии, если энергия Ферми в литии равна 4,7 эВ?
140. Сколько процентов свободных электронов в металле при
141. Чему равно среднее число n ферми-частиц, находящихся в состоянии с энергией
F ; в) F ?
б)
0T имеет кинетическую энергию больше F5,0 ?
при 0T , если: а) F ;
.
F
5
142. Функция распределения ферми-частиц по энергиям
имеет вид:
() ,
f n An A
d
exp 1
где A – нормировочная постоянная (см. ответ к задаче 133).
Нарисуйте примерный график этой функции при
32
dz
kT
F
0T и
при Tпорядка
T . Сравните с графиком функции распре-
F
деления по энергиям классических частиц (см. задачу 122).
143. Используя результат задачи 134, найдите число
квантовых состояний электронов проводимости в объеме
лития в интервале энергий kT вблизи уровня Ферми
температуре
.
T
V
при
F
144. Давление нерелятивистского вырожденного элек-
тронного газа связано со средней энергий электронов соотно-
2
np
шением
, как и для идеального классического газа
3
(это соотношение является следствием квадратичной зави-
симости энергии нерелятивистской частицы от ее скорости).
Вычислите давление электронного газа в металлическом на-
трии при
концентрация свободных электронов
0T , если энергия Ферми в нем
2,5 10n
145. Используя распределение Бозе–Эйнштейна для фо-
тонного газа, получите формулу для спектральной плотности энергии
равновесного теплового излучения.
, Tu
3,07 эВ, а
F
28
м–3.
§ 4. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
1. Первое начало термодинамики:
QdU A ,
Q
где
стемой,
совершенная системой.
стояния 1 в состояние 2:
температуре
– количество теплоты, полученное или отданное си-
dU
– изменение внутренней энергии, A – работа,
2. Работа, совершаемая системой, при переходе из со-
2
1
Чтобы взять этот интеграл, надо знать зависимость
)(Vp
в процессе 1–2.
3. Внутренняя энергия идеального газа массы m при
:
T
.A pdV
mmi
UCT RT
где
C – молярная теплоемкость при постоянном объеме,
V
– число степеней свободы молекулы.
i
4. Соотношение Майера для идеального газа:
где
C и pC – молярные теплоемкости при постоянном
V
объеме и постоянном давлении соответственно.
V
MM
RCC
Vp
34
,
,
2
5. Уравнение Пуассона для равновесного адиабатиче-
ского процесса:
const,pV
где
CC – постоянная адиабаты.
Vp
6. Скорость звука в газе
dp RT
v
зв.
dM
,
где – плотность газа.
7. Уравнение политропического процесса, то есть про-
цесса, протекающего с постоянной теплоемкостью
n
const,
где –
n
CC
p
CC
1
pV
показатель политропы.
C :
Первое начало применительно к различным
процессам
146. При изотермическом расширении азота, находящегося при температуре
дите массу азота, если совершенная газом работа равна
147. В цилиндре под поршнем находится воздух. Какую
работу нужно совершить, чтобы поднять поршень на высоту
h
10 см, если начальная высота столба воздуха равна
1
15 см и наружное давление равно
щадь поршня
Температура во время подъема поршня остается неизменной.
, давление уменьшилось в раз. Най-
T
p 760 мм рт.ст.? Пло-
0
S 10 см
2
. Весом поршня можно пренебречь.
A
.
h
0
148. Какая работа совершается при изотермическом рас-
ширении воздуха, имеющего начальный объем
чальное давление
149. Идеальный газ (
V (давление 1p ) до объема 2V изотермически; изобарно;
1
p 6 атм, до давления
1
p 1 атм?
1 моль) расширяется от объема
V
1 л и на-
1
2
адиабатно. При каком процессе он совершает наибольшую
35
работу? В каком процессе (изотермическом или изобарном)
газу сообщается большее количество теплоты? Поясните ответ графически.
150. Газ сжимают от объема
V изотермически; изобарно; адиабатно. При каком процес-
2
V (давление 1p ) до объема
1
се для этого нужно затратить большую работу? Поясните ответ графически.
151. Один моль идеального газа совершает процесс, при
котором температура меняется по закону
T
и – постоянные. Найдите работу газа при расширении
0
от объема
V до объема 2V .
1
0
VTT
, где
152. Один моль идеального газа совершает процесс, при
котором температура пропорциональна квадрату давления:
газа при увеличении его объема от
2
pT , где – известная постоянная. Найдите работу
V до 2V . Поглощается
1
или выделяется теплота в этом процессе?
153. При одной и той же температуре в одинаковых объ-
емах заключено по одному молю одноатомного и многоатомного газов. Одинаковы ли внутренние энергии газов и
давления, оказываемые ими на стенки сосудов?
154. Одноатомный газ получил
нагрелся на
К. Увеличился или уменьшился объем
50T
газа в ходе этого процесса? Количество газа
1Q
кДж теплоты и
1 моль.
155. В результате некоторого квазистатического процес-
са давление газа возросло вдвое, а объем увеличился в три
раза. Как при этом изменились внутренняя энергия данной
массы газа и внутренняя энергия единицы объема газа?
156. Сосуд с теплонепроницаемыми стенками, содержащий одноатомный идеальный газ при некоторой температуре, движется с известной скоростью,
а затем внезапно останавливается. а) Как изменится температура газа в сосуде?
б) Как изменится ответ на предыдущий вопрос, если сосуд
содержит идеальный газ той же молярной массы, но молекула его состоит из двух атомов?
36
157. Сосуд массой
при температуре
t 15 С, движется со скоростью v 100
1
м/с. Какова будет температура
m
10 г, содержащий 1 моль азота
t газа в сосуде, если он вне-
2
запно остановится? Передачей теплоты через стенки и теплоемкостью сосуда можно пренебречь.
158. Выразите внутреннюю энергию идеального газа,
постоянная адиабаты которого равна
, через давление и
объем газа.
159. Прибор (рис. 7) служит для демонстрации нагре-
вания воздуха при адиабатном сжатии. В сосуде под поршнем находятся воздух и ватка, пропитанная эфиром. При
быстром сжатии температура
воздуха возрастает и пары эфира
воспламеняются. Определите температуру воздуха в приборе при
адиабатном уменьшении объема в
10 раз,
если начальная температу-
ра 15 С.
160. До какого давления необходимо адиабатически сжать
горючую смесь в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, чтобы
произошло самовозгорание смеси?
Начальная температура смеси 20
С, начальное давление 10
5
Па, тем-
пература самовозгорания смеси 560
С, показатель адиабаты равен 1,33.
161. Чтобы в цилиндре двигателя внутреннего сгорания прои-
Рис. 7
зошло самовоспламенение смеси воздуха с парами бензина,
температура смеси после сжатия должна составлять 600
С. Учитывая, что начальные температура и давление смеси
30 С и 1 атм, а давление после сжатия 5 10
37
6
Па, найдите
постоянную адиабаты горючей смеси. Процесс сжатия считайте адиабатным.
162. Определите работу адиабатического сжатия одного
5
килограмма воздуха, имеющего начальное давление 10
5
до давления 5 10
Па, если начальная температура воздуха
Па,
равна 7 С.
163. Какой из газов – одноатомный или многоатомный –
произведет большую работу при адиабатном расширении
вдвое?
164. Два различных газа, из которых один одноатомный,
а другой двухатомный, находятся при одинаковой температуре и занимают одинаковый объем. Газы сжимают адиабатно так, что объем их уменьшается в
два раза. Какой из газов
нагреется больше? Над каким газом произведена большая
работа?
165. Двухатомный газ (
1,4) некоторой массы сжи-
мают один раз изотермически, другой раз адиабатно. Начальные температура и давление сжимаемого газа в обоих
случаях одинаковы. Конечное давление в n раз больше начального. Найдите отношение работ сжатия при адиабатном
и изотермическом процессах. Рассмотрите случаи: а) n 2;
б) n 100.
166. В сосуде под поршнем находится газ при нормальных условиях. Расстояние между дном сосуда и основанием поршня равно
груз массой
l 25 см. Когда на поршень положили
m
20 кг, он опустился на h 13,4 см. Счи-
тая сжатие адиабатным, найдите постоянную адиабаты
для данного газа. Площадь поперечного сечения поршня
S 10 см
ление
167. В баллоне объемом 10 дм
2
; массой поршня пренебречь; атмосферное дав-
p 10
0
5
Па.
3
находится углекислый газ
при нормальных условиях. Определите, какими станут температура и давление газа, если ему сообщить 5 кДж теплоты.
38
168. В комнате в течение некоторого времени был вклю-
чен нагреватель. При этом температура воздуха поднялась
t до 2t , давление же его не изменилось и осталось рав-
от
1
ным давлению вне здания. Считая воздух идеальным газом,
найдите количество теплоты Q, которое пошло на увеличение внутренней энергии воздуха, находящегося в комнате.
169. Азот массой 200 г нагревается при постоянном дав-
лении от 20 до 100 С. Какое количество теплоты поглощается при этом?
170. Атомарный кислород O, молекулярный кислород
и озон O3 отдельно друг от друга расширяются изобарно,
O
2
при этом поглощается некоторое количество теплоты Q. Какая доля этого количества теплоты расходуется во всех трех
случаях: а) на работу расширения; б) на изменение внутренней энергии?
171. В цилиндре под невесомым поршнем находится при
нормальных условиях некоторое количество азота. При изобарическом нагревании
его внутренняя энергия изменилась
на 1 кДж. Определите, как изменился объем газа.
172. Один моль идеального газа изобарно нагрели на 72
К, сообщив ему количество теплоты 1,6 кДж. Найдите совершенную газом работу, приращение его внутренней энергии и отношение теплоемкостей
173. Азот переходит из начального состояния
,, TVp
в конечное
с помощью разных квазистатических
222
CC .
Vp
,, TVp
111
процессов, изображенных на рис. 8. Определите для каждого пути перехода работу, совершенную газом, и количество
переданного ему тепла.
174. Азот, находящийся в цилиндре под поршнем, бесконечно медленно переводят из состояния с параметрами
V в состояние с параметрами
и
1
4 pp
, 3
12
VV . Гра-
12
p
1
фиком, выражающим зависимость давления газа от объема в
этом процессе, является прямая линия. Определите: а) изме-
39
Рис. 8
нение внутренней энергии газа; б) работу, совершаемую над
газом. Выделяется или поглощается в этом процессе теплота?
175. Турбогенератор мощностью 3 МВт охлаждается
проточным воздухом. Какие объемы воздуха должны входить в генератор и выходить из него в течение 1 с, если
коэффициент полезного действия генератора равен 94%,
температура воздуха, выходящего из генератора, не должна превышать 50 С, температура в машинном зале 20 С,
5
давление воздуха 10
Па?
176. Азот некоторой массы при давлении 105 Па зани-
3
мал объем 5 дм
, а при давлении 3 105 Па – 2 дм3. Переход
от первого состояния ко второму был сделан в два этапа:
сначала изохорно, а затем изобарно. Определите изменение внутренней энергии, количество подведенной теплоты и произведенную работу. Выполните те же расчеты в
случае обратного порядка этапов: сначала изобарно, затем
изохорно.
177. Идеальный газ (
2 моль) при температуре
T
0
300 К охладили изохорно, вследствие чего его давление
уменьшилось в
n 2,0 раза. Затем газ изобарно расшири-
ли так, что в конечном состоянии его температура оказалась
равной первоначальной. Найдите количество теплоты, сообщенное газу в данном процессе.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]