Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник вопросов и задач по общей физике. Раздел 5. Молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Д. Поворот зеркальца ре-
h
Mg
гистрируется с помощью
луча света, отражающегося от него. Можно заметить, что чувствительный
крутильный маятник никогда не находится в покое: зеркальце совершает
флуктуационные колебания относительно положения равновесия. Каково
происхождение этих флуктуаций? Как изменятся
флуктуации, если систему
поместить в вакуум? Можно ли
которых флуктуации отсутствуют?
74. Распределение вероятностей значений некоторой
величины х описывается функцией
создать такие условия, при
Рис. 4
() ( )fx Cxa x
ax 0 , где С и а – постоянные. Вне этого интервала
0)( xf . Считая, что а задано, найдите: значение норми-
ровочной постоянной С; наивероятнейшее (
(х) и среднеквадратичное (
2
х ) значения величины х.
x ), среднее
н.в.
при
75. Концентрация молекул в газовой оболочке Луны в
5
ночное время составляет 2 10
Чем можно объяснить это различие? Каковы давления газовой оболочки Луны в ночное и дневное время, если соответствующие температуры 100 и 400 К?
76. В изотермической атмосфере концен-
трация молекул убывает с высотой по закону
exp / expnn Mgh RT n
так называемая шкала высоты, M – молярная масса газа. Рас-
считайте
лосолнечного пространства. Средняя молярная масса газа у
поверхности Солнца
00
h
для земной атмосферы при
0
M
0
см–3, а в дневное ~104 см–3.
, где
1,5 10
21
–3
кг/моль, температура
290 К и для око-
T
/hRT
–
5500 К, ускорение свободного падения у поверхности Солн-
g 2,7 10
ца
C
2
м/с2.
77. Верхняя граница тропосферы непостоянна. Она выше
на экваторе и ниже в полярных областях Земли. На одной и
той же широте эта граница выше летом и ниже зимой. Как
это можно объяснить?
78. Пусть на поверхности Земли воздух находится при
нормальных условиях, причем его температура и молярная
масса не зависят от
высоты. Найдите давление воздуха на
высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине
5,0 км.
79. Какую массу имеет воздух, взятый в объеме 1 м
3
а) у поверхности Земли; б) на высоте 4 км от поверхности
Земли? Температура воздуха 0 С и не зависит от высоты.
5
Давление у поверхности Земли 10
Па.
80. Если взвесить сосуд с газом, а затем пустой сосуд,
можно найти массу газа. Но молекулы газа хаотически движутся по всему объему сосуда, а не «лежат» на его дне. Каким образом их масса сказывается на показаниях весов?
81. Сосуд с газом находится в поле тяжести Земли. Используя
формулу Больцмана, покажите, что разность сил
давления газа на нижнее и верхнее основания сосуда равна
силе тяжести, действующей на газ, заключенный в сосуде.
:
82. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте
8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными ма-
сками, в кабинах при помощи компрессора поддерживается
постоянное давление, соответствующее высоте 2700 м. Най-
разность давлений внутри и снаружи кабины. Сред-
дите
нюю температуру наружного воздуха считать равной 0 С,
5
давление у поверхности Земли равно 10
Па.
83. Космические аппараты «Венера-5» и «Венера-6» раз-
рушились в атмосфере Венеры на высоте 17 км от поверхности планеты. Оцените давление венерианской атмосферы
в момент разрушения, если у поверхности Венеры оно при-
22
близительно равно 107 Па. Температуру считать одинаковой
на всех высотах и равной 477 С. Ускорение свободного
падения на Венере 8,85 м/с
2
. Атмосфера Венеры состоит в
основном из углекислого газа.
84. Перрен, наблюдавший при помощи микроскопа из-
менение числа взвешенных в жидкости частиц гуммигута с
изменением высоты, применив барометрическую формулу,
экспериментально определил значение постоянной Авогадро. В одном из своих опытов Перрен нашел, что при расстоянии между двумя слоями
h 100 мкм число n взве-
шенных частиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем в
другом. Температура гуммигута 20 С. Частицы гуммигута
диаметром
d 3 10
ность которой на
–5
см были взвешены в жидкости, плот-
0,2 г/см
3
меньше плотности частиц.
Определите по этим данным значение постоянной Авогадро.
85. В длинном вертикально расположенном сосуде нахо-
дится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами
m , причем 2m >1m . Концентрации этих молекул у дна со-
2
суда равны соответственно
n и 2n , причем 2n >1n . Считая,
1
m и
1
что по всей высоте поддерживается одна и та же температура Т и ускорение свободного падения равно g, найдите высоту, на которой концентрации этих сортов молекул будут
одинаковыми.
86. Предполагая, что атмосферное давление убывает с
высотой в соответствии с барометрической формулой Больцмана, получите формулу для высоты
центра масс вер-
H
тикального цилиндрического столба воздуха. Во сколько
раз плотность воздуха
сти воздуха
у поверхности Земли?
0
на этой высоте меньше плотно-
H
87. Определите вес цилиндрического столба воздуха,
площадь основания которого равна S 1 м2, а высота равна
высоте Останкинской телебашни (
температура воздуха
5
Земли
p 10
0
Па.
300 К, давление у поверхности
T
23
h 530 м). Считайте, что
88. Допуская, что к атмосфере Земли применима барометрическая формула Больцмана, оцените, сколько процентов массы атмосферных газов находится в тропосфере. Для
оценки можно считать, что верхняя граница тропосферы находится на одинаковой для всех широт высоте 14 км, а температура тропосферы совпадает со средней температурой
земной поверхности, равной +14 С.
Внутри вертикальной трубы высотой h 100 м на-
89.
ходится воздух при температуре
температура воздуха
T 250 К. Труба сверху открыта, а
2
T 500 К, снаружи трубы
1
внизу отделена от наружного воздуха заслонкой площадью
S 300 см
ние воздуха у верхнего конца трубы
2
. Какая сила действует на заслонку, если давле-
p 9,7 10
0
4
Па?
90. Какой высоты заводскую трубу надо построить, чтобы разность давлений, создающая тягу в топке, была равна
3
Па, если температура наружного воздуха 20 С, внутри
10
трубы 250 С? Среднюю молярную массу газов внутри трубы считать примерно равной молярной массе воздуха. Ат-
5
мосферное давление равно 10
Па.
91. Определите разность давлений, создающую тягу
в дымоходе высотой 10 м, если температура газов внутри
трубы равна 180 С, а наружного воздуха 10 С. Молярные
массы воздуха и газов внутри трубы считать примерно оди-
5
наковыми. Атмосферное давление равно 10
Па.
92. Считая, что к атмосфере Земли применима бароме-
трическая формула Больцмана, найдите среднее значение
потенциальной энергии отдельной молекулы в поле тяготения Земли. Определите долю молекул , потенциальная
энергия которых меньше средней.
93. Горизонтально расположенная трубка длиной
l 22
см вращается вокруг вертикальной оси, проходящей сквозь
ее середину, с угловой скоростью
тура воздуха
t 16 С. Принимая давление воздуха внутри
24
рад/с. Темпера-
60
трубки вблизи ее открытых концов равным атмосферному
p 10
(
0
Па), определите давление в середине трубки.
5
94. Горизонтально расположенная трубка с закрытыми
торцами наполнена аргоном при температуре
Длина трубки
l 1м. С какой частотой надо вращать труб-
300 К.
T
ку вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее
торцов, чтобы концентрации молекул аргона у противоположных торцов трубки отличались в
2 раза?
95. Закрытую с обоих торцов горизонтальную трубку,
длиной
l 1 м, заполненную диоксидом серы SO
, переме-
2
щают вдоль ее оси с постоянным ускорением а. При каком
значении ускорения концентрации газа вблизи торцов трубки будут отличаться друг от друга на
ратура
300 К?
T
0,05%, если темпе-
Распределение Максвелла
96. Справедливо ли распределение Максвелла для отдельной молекулы, находящейся в свободном космосе; для
пылинок, взвешенных в воздухе; для броуновских частиц?
97. Для каких планет больше вероятность иметь атмосферу: холодных или горячих, легких или тяжелых?
98. Почему Луна практически лишена атмосферы, а на
спутнике Сатурна Титане примерно того же размера и
сы, что и Луна, есть атмосфера, состоящая из метана СН
аммиака NH
?
3
мас-
и
4
99. Почему в атмосфере Юпитера гораздо больше (в
процентном отношении) легких газов, чем на Земле?
100. Изобразите график функции распределения для
одной из проекций скорости молекулы, например
)(xvf .
Каково среднее значение этой проекции? В чем физический
и теоретико-вероятностный смысл функции распределения
)(xvf ? Исследуйте, как изменяется с температурой вид
25
графика )(
T ). Чему равна площадь под кривой )(
101. Зная функцию распределения )(
по компоненте скорости v
ной величины v
vf . Рассмотрите предельные случаи ( 0T и
x
vf ?
x
vf молекул газа
x
, найдите дисперсию случай-
x
, а также среднее значение модуля vx.
x
102. Используя функцию распределения Максвелла
)(xvf , найдите средний квадрат проекции v
скорости мо-
x
лекул газа и среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступательного движения молекул газа.
103. Какова вероятность того, что: а) компоненты ско-
, dvy,
x
),
рости молекулы заключены в интервалах (
(
;
vv dv
yy y
), (
;
vv dv
zz z
), то есть конец вектора скорости
;
vv dv
xx x
молекулы газа попадает внутрь кубика со сторонами dv
в пространстве скоростей (рис. 5); б) модуль скорости мо-
dv
z
лекулы заключен в интервале (
;vv dv
), то есть попадает в
пространстве скоростей внутрь шарового слоя радиусом v и
толщиной dv; в) модуль составляющей скорости
дикулярной оси х, заключен в интервале (
v
время как компонента скорости
может принимать любые
x
v , перпен-
;vv dv
), в то
значения?
Рис. 5
104. Изобразите график функции распределения для модулей скоростей молекул
наиболее вероятной, средней и средней квадратичной скоростей. Чему равна площадь под кривой? Одинаковы ли относительные числа молекул, имеющих скорости меньше и
больше наиболее вероятной? Чему равна вероятность того,
что какая-нибудь молекула имеет скорость, точно равную
наиболее вероятной?
)(vf . Отметьте на нем значения
105. Исследуйте, как меняется с температурой вид
фика
)(vf . Рассмотрите предельные случаи ( 0T и
гра-
T ).
106. Начертите в одном масштабе графики функций распределения Максвелла для молекул воздуха и для пылинок,
взвешенных в воздухе (при одной и той же температуре).
Чем различаются графики?
107. Используя максвелловскую функцию
деления молекул газа по модулю скорости, получите выражения для наиболее вероятной, средней и среднеквадратичной скоростей молекул газа.
108. Используя максвелловскую функцию
пределения молекул газа по модулю скорости, рассчитайте
среднее значение модуля скорости молекул азота при температуре 293 К.
109. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки 10
дух считать однородным газом с молярной массой 0,029 кг/
моль.
)(vf распре-
)(vf рас-
–8
г. Воз-
110. Определите среднюю скорость пылинок, взвешен-
ных в воздухе, при температуре 27 С, если масса пылинки
равна 0,3 мкг.
111. Наиболее вероятная скорость молекул газа
400 м/с. Найдите среднюю скорость молекул этого газа.
27
v
н.в.
112. Определите отношение числа молекул кислорода,
модули скоростей которых лежат в интервале 798...802 м/с,
к числу молекул, модули скоростей которых лежат в интервале 398...402 м/с. Температура кислорода 27 С. Объясните,
почему получается такое соотношение.
113. Определите температуру, при которой: а) средняя
квадратичная скорость молекул водорода больше наиболее
вероятной на 400 м/с;
кислорода по модулям скоростей будет иметь максимум при
скорости 420 м/с.
114. Найдите для газообразного азота температуру, при
которой скоростям молекул 300 и 600 м/с соответствуют
одинаковые значения функции распределения Максвелла.
Получите формулу для определения скорости молекул газообразного азота, при которой функция распределения Максвелла для температуры
для температуры, в n раз большей.
115. При какой температуре газа
скоростями в заданном интервале (
симально? Каковы наивероятнейшая и среднеквадратичная
скорости, соответствующие этой температуре? Масса каж-
m
дой молекулы
.
б) функция распределения молекул
Т имеет такое же значение, как и
T
число молекул со
0
,vv dv
00
) будет мак-
116. Смесь водорода и гелия находится при температуре
300 К. При какой скорости молекул значения максвел-
T
ловской функции распределения по скоростям будут одинаковыми для обоих газов?
v
u
117. Введя безразмерную переменную
лучите и изобразите графически функцию распределения
, по-
v
н.в.
)(uf – так называемую приведенную функцию Максвелла.
Будет ли меняться график
ры? Найдите координаты максимума
)(uf при изменении температу-
)(uf .
28
118. В табл. 8 даны значения интегралов от приведенной
()
функции Максвелла
С помощью этой таблицы оцените, какая часть общего числа молекул имеет скорости: а) больше наиболее вероятной
v ; б) меньше наиболее вероятной; в) в интервале от 0,5
н.в.
v до 1,5
н.в.
119. Покажите, что доля молекул, скорости которых лежат в интервале значений от средней скорости до средней
квадратичной, не меняется при изменении температуры.
Указание: используйте приведенную функцию Максвелла
v ?
н.в.
fudu
u
для различных значений и.
)(uf .
120. Какой процент от общего числа молекул некоторо-
го газа составляют молекулы, модули скоростей которых отличаются не более, чем на
скорости?
121. На рис. 6 изображено горизонтальное сечение прибора, использованного в известном опыте Штерна по определению скорости молекул
и атомов. Найдите скорость атомов серебра, испаряющихся с центральной
нити А прибора, если при
вращении системы из двух
цилиндров с частотой
50 с–1 смещение DD' следа
молекулярного пучка составило
шению к следу пучка в неподвижном приборе. Сопоставьте результаты расчета
скорости атомов серебра
по приведенным данным с
s 4,8 мм по отно-
0,5%, от наиболее вероятной
Рис. 6
29
расчетом той же скорости по температуре газа. Температура
Т нити в этом опыте равнялась 1880 К, AD = R = 10 см.
122. Покажите, что функция распределения мо-
лекул газа по энергиям при температуре Т имеет вид:
3
fkTe
2,
kT
2
2
где m – масса молекулы.
1
Изобразите на графике вид этой функции.
123. Как, зная функцию распределения молекул по кине-
тической энергии, графически оценить долю молекул газа,
кинетическая энергия которых превышает 20kT ? (Именно
эти молекулы с большой энергией определяют ход химических реакций.)
124. Чему равна наиболее вероятная энергия молекул
2
mv
2
н.в.
, где
v –
н.в.
газа при температуре
? Равна ли она
T
наиболее вероятная скорость молекулы?
125. Найдите, сколько молекул N ударяется за одну
секунду о площадку
азот при температуре
s 1 см
2
стенки сосуда, содержащего
t 27 С и давлении p 2 10
5
Па.
Выразите ответ через среднюю скорость молекул.
126. Объясните, почему легкий газ быстрее проходит
через пористую перегородку, чем тяжелый газ. Это явление
называют изотермической эффузией и используют для разделения смеси газов на компоненты.
127. Сосуд с разреженным газом разделен на две части
тонкой перегородкой с малым отверстием. В одной части
сосуда поддерживается температура
T , а в другой – 2T
1
Найдите отношение концентраций и давлений газа в двух
частях сосуда.
128. Молекулы газа через небольшое отверстие в стенке
сосуда вылетают в вакуум. Во сколько раз изменится число
молекул, вылетающих из отверстия в секунду, если при неизменном давлении температура газа повысится вдвое?
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]