Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Приложения теории принятия решений. Р.II. Моделирование реакции агрессивной внешней среды в рамках формирования оптимальных способов функционирования
.pdf
51
Прямая M2 выражена const − координатой OM, то есть цена игры v = 0,7.
Второе уравнение − это равенство 1 суммы смешанных стратегий.
12
12
3 (1 ) 2 1
1
yy
yy
− − =
+=
2
12
52
1
y
yy
− = −
+=
EE
21
23
= ; =
55
yy
Аналогично строятся уравнения для поиска координат точек E0.
В левой части уравнения для прямых E3 и E
1
стоит сумма выигрышей в
строке со смешанными стратегиями 2 игрока.
Значения каждой оптимальной стратегии находятся в своем отрезке, чьи
границы составлены для y
1
*
из точек y
1
E
и y
1
F
, а для y
2
*
из точек y
2
E
и y
2
F
, в порядке
возрастания.
22
12
2 (1 ) 3 1
+1
yy
yy
− − + =
=
2
12
53
+ =1
y
yy
=
21
32
;
55
FF
yy==
* * * *
1 2 3
* * * * E E E E * E E E E
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
( , , ) (0,0,1); 1
2 3 2 3
( , ), [max( ; ),min( ; ) [ , ]; [max( ; ),min( ; ) [ , ]
5 5 5 5
x x x x v
y y y y y y y y y y y y y
= = =
= = =
52
Вопросы для самоконтроля
1. Место, занимаемое в области проблем принятия решений в условиях кон-
фликта задачами, где у одного из противников только две стратегии при неогра-
ниченном числе стратегий другого игрока, их базовые случаи.
2. Типовая задача первого типа конкуренции двух электростанции, где у
первой энергокомпании 2 стратегии с решением точечного типа: участие в торгах на оптовом рынке электроэнергии и мощности, условия конкурентной
борьбы и стратегии компании, вытекающие из этого, покомпонентная зависи-
мость доходов первой компании от стратегий обеих компаний.
3. Типовая задача первого типа конкуренции двух электростанции, где у
первой энергокомпании 2 стратегии с решением точечного типа: график выиг-
рышей первой компании из прямых, отражающих ее выигрыши, с двумя элементами в каждом столбце матрицы, влияние обоих игроков на поиск максимального из минимальных выигрышей первого игрока-компании, системы уравнений
по которым ищут решение игры.
4. Типовая задача второго типа конкуренции двух электростанции, где у
первой энергокомпании 2 стратегии с решением интервального типа: специаль-
ные условия конкурентной борьбы на оптовом рынке электроэнергии и мощности; стратегии компаний, вытекающие из этого, покомпонентная зависимость
доходов первой компании от стратегий обеих компаний.
5. Типовая задача второго типа конкуренции двух электростанции, где у
первой энергокомпании 2 стратегии с решением интервального типа: график вы-
игрышей первой компании из прямых, отражающих ее выигрыши, с двумя элементами в каждом столбце матрицы, влияние обоих игроков на поиск формиро-
вание максимального из минимальных выигрышей первого игрока как параллельного отрезка по оси смешанных стратегий первой компании, системы урав-
нений по которым ищут решение игры.
6. Типовая задача третьего типа конкуренции двух электростанции, где у
второй энергокомпании 2 стратегии с решением точечного типа: условия конку-
рентной борьбы, где синхронизирована замена и отсутствие замены энергообо-
рудования и стратегии компаний, этим задаваемые, покомпонентная зависи-
мость доходов второй компании от стратегий обеих компаний.
7. Типовая задача третьего типа конкуренции двух электростанции, где у
второй энергокомпании 2 стратегии с решением точечного типа: график выиг-
рышей второй компании из прямых, отражающих ее выигрыши, с двумя элемен-
тами в каждой строке матрицы, влияние обоих игроков на поиск минимального
из максимальных выигрышей второго игрока-компании, системы уравнений по
которым ищут решение игры.
8. Типовая задача четвертого типа конкуренции двух электростанции, где у
второй энергокомпании 2 стратегии с решением интервального типа: специальные условия конкурентной борьбы на оптовом рынке электроэнергии и мощности; стратегии компаний, вытекающие из этого, покомпонентная зависимость
доходов второй компании от стратегий обеих компаний.
53
9. Типовая задача четвертого типа конкуренции двух электростанции, где у
второй энергокомпании 2 стратегии с решением интервального типа: график вы-
игрышей второй компании из прямых, отражающих ее выигрыши, с двумя эле-
ментами в каждой строке матрицы, влияние обоих игроков на поиск формирова-
ния минимального из максимальных выигрышей второго игрока как параллель-
ного отрезка по оси смешанных стратегий второй компании, системы уравнений
по которым ищут решение игры.
54
4 Решение матричных игр большой размерности
4.1 Метод последовательного приближения цены игры
Часто, в силу характера программно-вычислительной реализации симплекс-
метода, его способности «зацикливаться» с чередованием одной и той же пере-
менной, вводимой и выводимой из базиса, для поиска решений матричных игр с
большим числом стратегий у каждого игрока применяют ниже описанный спо-
соб последовательного приближения цены игры.
Пусть имеется платежная матрица игры двух игроков, где каждый игрок
0 3 1
4 1 2
2 0 3
A
=
использует по три типовые чистые стратегии в том смысле, что
ресурсы любого участника борьбы на рынке применяют обычно
с малой, средней и высокой интенсивностью.
Пусть 2 игрок выбрал свою 1 стратегию, тогда 1 игрок получит:
• 0, если он применит свою 1 стратегию;
• 4, если он применит свою 2 стратегию;
• 2, если он применит свою 3 стратегию.
Полученные значения сводятся в таблицу (табл. 4.1).
Таблица 4.1 − Результаты 1-го игрока в начале игры
№
j
Выигрыш 1 игрока при его стратегиях
1 2 3
1
1 0 4
2
При 1 стратегии 2 игрока 1 игрок имеет max выигрыш 4 (2 стратегия).
1 игрок хочет иметь max выигрыш − на 1 стратегию 2 игрока он отвечает
своей 2 стратегией.
При 2 стратегии 1 игрока проигрыш 2 игрока составят:
• 4, если он применит свою 1 стратегию;
• 1, если он применит свою 2 стратегию;
• 2, если он применит свою 3 стратегию.
Полученные значения также сводятся в таблицу (табл. 4.2).
Таблица 4.2 − Результаты 2-го игрока в начале игры (табл. 4.2).
№
j
Выигрыш 1 игрока при его стратегиях
1 2 3
1 2 4 1 2
При 2 стратегии 1 игрока 2 игрок имеет min проигрыш 1 (2 стратегия).
Игрок 2 хочет иметь min проигрыш, тогда на 2 стратегию 1 игрока он отве-
чает своей 2 стратегией в следующей, 2 партии; в столбце j во 2 строке находится
цифра 2, которая указывает, что во 2 партии 2 игроку выгодно применять 2 стра-
тегию; в столбце u находится наибольший средний выигрыш (4) 1 игрока, полученный им в 1 партии; в столбце w стоит наименьший средний проигрыш (1),
полученный 2 игроком в 1 партии; в столбце v ищем приближенную цену игры
после одной партии как среднее:
55
5
1
()
22
v u w= + =
.
Если игрок 2 применит 2 стратегию − 1 игрок получит 3, 1, 0 при 1, 2, 3
стратегиях, суммарные выигрыши 1 игрока за обе партии составят:
• 0 + 3 = 3 при его 1 стратегии;
• 4 + 1 = 5 при его 2 стратегии;
• 2 + 0 = 2 при его 3 стратегии.
Они ставятся во 2 строке в столбцах, соответствующих стратегиям 2 игрока:
1, 2, 3; 2 игрок получает min суммарный проигрыш (2) при 2 стратегии − в 3
(следующей) партии он должен выбрать свою 2 стратегию; в столбце j во 3
строке находится цифра 2, которая указывает, что в 3 партии 2 игроку выгодно
применять 2 стратегию; в столбце u ставится наибольший суммарный выигрыш
1 игрока за две партии, деленный на число партий, т.е.
5
2
; в столбце w ставится
наименьший суммарный проигрыш 2 игрока за две партии, деленный на число
партий, т.е.
2
2
; в столбце v ставится приближенное значение цены игры в двух
«сыгранных» партиях как среднее:
1
( )
57
12
2 2 2 4
+ =
.
Если 2 игрок применит 2 стратегию, то 1 игрок получит 3, 1, 0 при 1, 2, 3
стратегиях, суммарные выигрыши 1 игрока за обе партии составят:
• 3 + 3 = 6 при его 1 стратегии
• 5 + 1 = 6 при его 2 стратегии
• 2 + 0 = 2 при его 3 стратегии
Они ставятся в 3 строке в столбцах ~ стратегиям 1 игрока: 1, 2, 3 − игрок 1
имеет max суммарный выигрыш при 1 и 2 стратегиях − можно выбирать любую,
обычно с минимальным номером, то есть принимаем 1 стратегию.
Если 1 игрок применит 1 стратегию, то 2 игрок проиграет 0, 3, 1 при 1, 2, 3
стратегиях, суммарные проигрыши 2 игрока за обе партии составят:
• 8 + 0 = 8 при его 1 стратегии
• 2 + 3 = 5 при его 2 стратегии
• 4 + 1 = 5 при его 3 стратегии
Они ставятся в 3 строке в столбцах ~ стратегиям 2 игрока: 1, 2, 3
2 игрок имеет min суммарный проигрыш при 2 и 3 стратегиях − можно выбирать
любую, обычно с наименьшим номером − 2 стратегия; в столбце u ставится
наибольший суммарный выигрыш 1 игрока за три партии, деленный на число
партий, т.е.
6
3
; в столбце w ставится наименьший суммарный проигрыш 2 иг-
рока за три партии, деленный на число партий, т.е.
6
3
; в столбце v ставится при-
ближенная цена игры в двух «сыгранных» партиях как среднее:
( )
65
1 11
2 3 3 6
+ =
Полученные результаты по игрокам сводятся в общей таблице (табл. 4.3).
56
Табл. 4.3 − Результаты игры для обоих игроков после 30 итераций
№
j
Выигрыш 1 игрока при его стратегиях
i
Выигрыш 2 игрока при его стратегиях
u w v
1 1 0 4 2 2 4 1 2
4
1
5
2
2 2 3 5 2 2 8 2 4
5
2
2
2
7
4
3 2 6 6 2 1 8 5 5
6
3
5
3
11
6
4 2 9 7 2 1 8 9 7
9
3
7
3
16
6
5 3 10 9 55 1 8
12
8
10
5
8
5
18
10
6 1 10
13
7 2 12
13
10
13
6
10
6
23
12
7 3 11
15
10 2 16
14
12
15
7
12
7
27
14
8 3 13
15
13 2 20
15
14
15
8
14
8
29
16
9 3 14
17
16 2 24
16
16
17
9
16
9
33
18
10 2 17
18
16 2 28
17
18
18
10
17
10
35
20
11 2 20
19
16 1 28
20
13
20
11
19
11
39
22
12 3 21
21
19 1 28
23
20
21
12
20
12
41
24
13 3 21
23
22 2 32
24
22
23
13
22
13
45
26
14 3 22
25
25 2 36
25
24
25
14
24
14
49
28
15 3 23
27
28 3 38
25
27
28
15
25
15
53
30
16 2 26
28
28 2 42
26
29
28
16
26
16
54
32
17 2 29
29
28 1 42
29
30
29
17
29
17
58
34
18 2 32
30
28 1 42
32
31
32
18
31
18
63
36
19 3 33
32
31 1 42
35
32
33
19
32
19
65
38
20 3 34
34
34 1 42
38
33
34
20
33
20
67
40
21 3 35
36
37 3 44
38
36
37
21
36
21
73
42
22 3 36
38
40 3 46
38
39
40
22
38
22
78
44
23 2 39
39
40 3 48
38
42
40
23
38
23
78
46
24 2 42
40
40 1 48
41
43
42
24
41
24
83
48
25 2 45
41
40 1 48
44
44
45
25
44
25
89
50
26 2 48
42
40 1 48
47
45
48
26
45
26
93
52
27 3 49
44
43 1 48
50
45
49
27
46
27
95
54
28 3 50
46
46 1 48
53
47
50
28
47
28
97
56
29 3 51
48
49 1 58
56
48
51
29
48
29
99
58
30 1 51
52
51 2 52
57
50
52
30
50
30
100
60
57
Из таблицы уже на данной стадии можно сделать несколько важных выво-
дов по ходу решения игры:
• в 30 партиях 1, 2, 3 стратегии 1 игрока встречаются 3, 12, 15 раз:
- их относительные частоты равны
3
30
,
12
30
,
15
30
;
- истинные вероятности имеют вид
2
30
,
12
30
,
16
30
;
• в 30 партиях 1, 2, 3 стратегии 2 игрока встречаются 15, 11, 4 раза:
- их относительные частоты равны
15
30
,
11
30
,
4
30
;
- истинные вероятности имеют вид
14
30
,
10
30
,
6
30
;
• приближенное значение цены
102 51
60 30
=
;
• истинное значение имеет вид
52
30
.
Такая точность уже на 30 итерациях считается достаточно хорошей (если
вычислять невязку).
Продолжая этот процесс далее, можно получить приближения:
• цены игры;
• оптимальных смешанных стратегий обоих игроков сколь угодно
близкими к истинным.
Если в ходе решения матричной игры таким методом выяснилось, что дан-
ная игра имеет больше одного решения, то:
• приближённые значения цены игры будут стремиться к истинной;
• относительные частоты стратегий обоих игроков не обязательно бу-
дут приближаться к истинным.
4.2 Модель Берта-Виллемса конкуренции на энергетическом рынке
Модель отражает отношения независимых субъектов на рынке энергии (ге-
нераторов, сетей, системного оператора и потребителей).
Простейшая сеть: единственная ЛЭП соединяет два генератора в городе на
севере (N) с потребителями энергии в городе на юге (S).
Генераторы
1,2i
в N производят электроэнергию в объеме qi при удель-
ных издержках ci. Стоимость производства генератора i равна
ii
cq
.
Выпуск qi каждого генератора не ограничивается его техническими преде-
лами
( )
i
qR
+
.
При цене энергии для потребителя p прибыль
i
генератора i равна:
( )
i i i
p c q
= −
(4.1)
Потребление энергии в городе N равно q (единиц энергии). Ее цена − это
линейная функция спроса на электроэнергию:
( )
p p q a r q= = −
, где (4.2)
58
• a − предельное желание потребителей платить за первую единицу элек-
троэнергии;
• r − коэффициент связи потребления энергии и ее цены
Это простейшая эконометрическая модель, которая отражает следующие
тенденции по поведению энергопотребителей:
• при высоком тарифе за электроэнергию ее потребление не слишком вы-
соко, что означает малое вычитаемое потребление, стоящее в выражении
с отрицательным знаком;
• в случае постепенного снижения цены потребление растет, в выражении
это соответствует увеличению отрицательного слагаемого
rq
, снижа-
ющего размер p при постоянном параметре a.
Два узла связаны одной ЛЭП ограниченной мощности k, пусть k = 1. Потери
в ЛЭП не учитываются, вся производимая энергия потребляется
12
q q q+=
. (4.3)
Цена передачи единицы энергии из узла N в узел S равна τ.
С учетом цены транспортировки генераторы получают за единицу произво-
димой энергии только (p − τ), а прибыль генератора i равна:
( )
i i i
p t c q
= − −
. (4.4)
Для генератора i определим показатель
ii
ac
=−
, и его прибыль
i
:
( )
()
i i i i i
p t c q a r q t c q
= − − = − − −
,
из чего получаем:
( )
i i i
r q t q
= − −
. (4.5)
Стоимость производства энергии меньше, чем предельное желание потре-
бителей платить за первую единицу электроэнергии:
0
ii
ac
= −
. (4.6)
В игре Курно каждый генератор:
• имеет параметр для принятия решения – объем qi выпуска энергии;
• максимизирует прибыль
i
при заданном выпуске qj другого игрока.
( )
max ,
i i j
qq
(с учетом
12
q q q+=
),
0
i
q
. (4.7)
Генераторы имеют следующую функцию отклика Курно:
( ) ( )
max ;0
c
i i i i
q q r q q
= −
. (4.8)
Это выбор между:
• получением прибыли генератором i без учета платы за передачу энергии
и действий другого генератора;
59
• отказом от конкуренции (с нулевой прибылью).
Равновесие в игре зависит от отношения
j
i
компаний, и имеет вид:
0, если
1
2
i
j
.
*
i
=
2
2
ij
i
q
−
, если
1
2
2
i
j
; (4.9)
ii
q
, если
2
i
j
.
Указанные выше значения имеют следующую трактовку:
компания i имеет такие высокие издержки, что она
•
1
2
i
j
выбирает решение − не производить, а компания j
производит всю продукцию и является монополистом;
•
1
2
2
i
j
предельные издержки компаний сравнимы −
чистая дуополия по производству продукции;
компания i так конкурентна, что монопольно
•
2
i
j
удовлетворяет весь спрос, получая максимум прибыли
i
q
и ее издержки меньше, чем у компании j.
При отсутствии ограничений по передаче суммарный равновесный объем
прибыли равен:
2
q
, если
1
2
1
2
;
* * *
12i
= + =
12
2
q
+
, если
1
2
1
2
2
; (4.10)
1
q
, если
1
2
2
.
В игре Курно (4.9) различают чистую дуополию и монополию. Исходя из
другого подхода, определяют возможность равновесия при учете ограничения k
на пропускную способность передачи энергии.
Ограничения по передаче энергии увеличивают ее стоимость и (или) уменьшают объем производства, и генераторы получают меньше прибыли в данной
игре Курно -
*
уменьшается.
Комбинируя эти два подхода, можно получить шесть различных результа-
тов равновесного решения:
• три варианта
*
без ограничений на пропускную способность (4.10);
• три варианта, аналогичны (4.10) при ограничениях, изменяющих величину
*
.
60
Когда затраты генераторов высокие (
i
малы), равновесное значение явля-
ется небольшим и поэтому возможным. Для малых значений затрат (
i
велики)
равновесие невозможно. Каждая точка
( )
12
,
представляет свою игру с различ-
ными стоимостными параметрами.
Таким образом, это модель конкуренции двух генераторов, использующих
одну ЛЭП с ограничениями по пропускной способности для снабжения платежеспособных потребителей.
Оператор сети может быть еще одним игроком, влияя на стратегии генера-
торов через правила распределения пропускной способности сети:
• все или ничего;
• пропорциональное;
• эффективное рационирование.
При этом возможны следующие два результата.
1. Оператор сети взимает плату только за перегрузку сети. Тогда генераторы
изменяют выпуск энергии так, что оператор сети не получает платы, что не сти-
мулирует инвестиции на рост ее мощности.
2. Оператор сети создает конкуренцию между генераторами, которая позволит увеличить общественное благосостояние. Цена за перегрузку сети является
оптимальной при конкуренции.
Эта же цена неоптимальна в случае, когда генераторы могут устанавливать
объемы производства энергии свободно (т.е. производить меньше) − это не совпадает с общественными интересами.
Оператор сети может организовать конкуренцию за пропускную способ-
ность сети, распределяя ее пропорционально заявленной цене генераторов, если
имеет место перегрузка линии электропередачи. Это возникает вследствие того,
что генераторы делают заявки за передаваемую мощность завышенными, так как
это уменьшает доступную мощность передачи для конкурента.
Предлагаемую Б. Виллемсом модель можно использовать:
• для централизованного рынка, где генераторы представляют свои заявки
оператору сети, который устанавливает объемы продаж (и производства) и цены
для игроков;
• для децентрализованного рынка (где цены на производство и передачу
электроэнергии определяются рынком), но генераторам не позволяется покупать
права на передачу без их использования.
Модель олигополии с децентрализованным рынком без этого ограничения
теоретически до сих пор не изучена. Но практика анализа реальных ситуаций
выявила ряд близких к этому случаю примеров, один из них − банкротство компании Enron.
Судебное расследование компании Enron показало, что она применяла ряд
незаконных схем для манипулирования ценами во время Калифорнийского энер-
гетического кризиса в 2000-2001 гг. В частности, Enron намеренно заказывала
объемы поставок мощности, превышающие потенциал передающих мощностей
федеральной электросети.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]