Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Приложения теории принятия решений. Р.II. Моделирование реакции агрессивной внешней среды в рамках формирования оптимальных способов функционирования
.pdf
41
2. Проводить замену оборудования по достижения им сроков ТО. Расходы
на замену не единовременны и мощности станций снижаются не сильно.
3. Провести замену только приоритетных частей оборудования в кратчай-
шие сроки, а оставшиеся по мере достижения ими сроков ТО.
Исходя из этих стратегий, надо найти выигрыши «АО-энерго» в виде дохода
от проведения замены оборудования, если предполагаемое поведение конкурента («ТГК-Н») сводится к 2 стратегиям:
1. Провести замену оборудования при достижении им сроков ТО.
2. Не проводить замену оборудования.
Есть зависимость доходов «АО-энерго» от стратегий обеих компаний:
a11 = 0,4 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП − 0,4
∙ TRex
,
a12 = 0,4 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП − TRex + TRb,
a21 = 0,8 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП,
a22 = 0,8 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП − 0,2
∙ TRex
+ TRb, где (3.3)
a31 = 0,4 ∙ TR0 ∙ tП1 + 0,6 ∙ TR1 ∙ (t
П2
− tП1) + 3 ∙ TR1 − TCП,
a32 = 0,4 ∙ TR0 ∙ tП1 + 0,4 ∙ TR1 ∙ (t
П2
− tП1) + 2 ∙ TR1 − TCП + TRb.
• TR0 − средний доход, получаемый за год «АО-энерго» ДО замены оборудова-
ния: 24 млн руб.;
• TR1 − средний доход, получаемый за год «АО-энерго» ПОСЛЕ замены обору-
дования: 32 млн руб.;
• TCП − общие расходы на замену оборудования для «АО-энерго»: 46 млн руб.
• tП1, tП2 − время замены оборудования: (1) для кратчайшей замены это 2 года,
(2) по мере достижения сроков ТО – 8 лет;
• TRex − доход, полученный (упущенный) «АО-энерго» в ситуации, когда едино-
временные расходы меньше (больше), чем у конкурента, 80 млн руб. (является
следствием различных стратегий каждого из игроков, при одинаковых страте-
гиях доход не учитывается);
• TRb − доход полученный «АО-Энерго» после замены оборудования, гарантиру-
ющий доминирование на рынке, при отказе конкурента от замены, 28 млн руб.
Произведем расчет выигрышей «АО-энерго» и матрицу ее выигрышей:
a11 = 19,2 + 256 – 46 – 32 = 197,2
a12 = 19,2 + 256 – 46 – 80 + 28 = 177,2
a21 = 153,6 +64 – 46 = 171
a22 = 153,6 +64 – 46 – 16 + 28 = 183,6
a31 = 19,2 + 115,4 + 96 – 46 = 184,6
a32 = 19,2 + 102,4 + 64 – 46 +28 = 167,6
197,2 177,2
171 183,6
184,6 167,6
.
Сформируем, опираясь на эту матрицу, на участке оси вероятностей применения стратегии y1 длиной 1 траектории выигрышей «ТГК-Н» как отрезки, со-
единяющие компоненты матрицы в каждой ее строке. Каждая i-я строка коррелируют с матожиданием «ТГК-Н», отражая i-ю стратегию «АО-энерго», а отрезок, ее иллюстрирующий, определяется как Ei (рис. 3.3).
42
Рисунок 3.3 ‒ График всех траекторий средних выигрышей «ТГК-Н», завися-
щих от стратегий «АО-энерго»
Минимальный выигрыш – среди максимальных доступных – получается
при пересечении прямых E1 и E2. Для определения координат точки пересечения
E1 и E2, составим следующую систему:
12
12
12
197,2 177,2
171 183,6
1
y y v
y y v
yy
+ =
+ =
+=
Замена y2 выражением (1 − y1) и приравнивание левых частей дает:
197,2 ∙ y1 + 177,2 ∙ (1 − y2) = 171∙ y1 + 183,6 ∙ (1 − y2), следовательно,
y1 = 0,19, y2 = 0,81
В свою очередь, подстановка значений y1 и y2 в выражение для v дает:
197,2 ∙ y1 + 177,6 ∙ y
2
= 197,2 ∙ 0,19
+ 173,6 ∙ 0,81 = 181 млн руб.
Это гарантированный доход «АО-энерго», а ее стратегии ищут по критерию
Байеса:
12
12
12
197,2 177,2
171 183,6
+ = 1
x x v
x x v
xx
+ =
+ =
Используя уже известную цену игры, находим: x1 = 0,38 x2 = 0,62
Таким образом, получаем ответ:
x
*
= (0,38; 0,62, 0), y
*
= (0,19; 0,81), v = 181 млн руб.
200
190
180
170
160
150
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
E1
E2
E3
y1
43
Задача 4. Изменены условия Задачи 3 в построении платежной матрицы
«АО-энерго» со столбцом, отличия только в функциях полезности стратегий,
приводящих к следующим выигрышам:
a11 = 0,4 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП − 0,6
∙ TRex
,
a12 = 0,4 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП − 1,2 ∙ TRex + TRb,
a21 = 0,8 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП,
a22 = 0,8 ∙ TR0 ∙ t
П1
+ TR
1 ∙
(10 − tП1) − TCП, где (3.4)
a31 = 0,4 ∙ TR0 ∙ tП1 + 0,4 ∙ TR1 ∙ (t
П2
− tП1) + 2 ∙ TR1 − TCП,
a32 = 0,4 ∙ TR0 ∙ tП1 + 0,4 ∙ TR1 ∙ (t
П2
− tП1) + 2 ∙ TR1 − TCП + 1,5 ∙ TRb.
• TR0 − средний доход, получаемый за год «АО-энерго» ДО замены оборудова-
ния: 24 млн руб.;
• TR1 − средний доход, получаемый за год «АО-энерго» ПОСЛЕ замены обору-
дования: 32 млн руб.;
• TCП − общие расходы на замену оборудования для «АО-энерго»: 46 млн руб.;
• tП − время замены оборудования: для первой стратегии 2 года, для второй – 8
лет;
• TRex − доход, полученный (упущенный) «АО-энерго» в ситуации, когда едино-
временные расходы меньше (больше), чем у конкурента, 80 млн руб. (является
следствием различных стратегий каждого из игроков, при одинаковых страте-
гиях доход не учитывается);
• TRb − доход полученный «АО-энерго» после замены оборудования, гарантиру-
ющий доминирование на рынке, при отказе конкурента от замены, 28 млн руб.
Стандартным образом сделаем расчет элементов платежной матрицы «АОэнерго» по формулам (3.4) с ее построением.
a11 = 19,2 + 256 – 46 – 48 = 181,2
a12 = 19,2 + 256 – 46 – 80 + 28 = 161,2
a21 = 153,6 +64 – 46 = 171
a22 = 153,6 +64 – 46 = 171
a31 = 19,2 + 102,4 + 64 – 46 = 139,6
a32 = 19,2 + 102,4 + 64 – 46 +42 = 181,6
181,2 161, 2
171 171
139,6 181,6
.
Также, как и выше, построив график выигрышей «ТГК-Н», аналогично
предыдущему, очевидным образом выясняется, что минимальный участок максимальных трендов выигрышей первого игрока не является точечным, а наобо-
рот, прямолинейным, из-за чего решение принимает интервальный вид (рис. 3.4).
44
Рисунок 3.4 ‒ График всех траекторий средних выигрышей «ТГК-Н», зави-
сящих от стратегий «АО-энерго» с интервальной оптимальной областью
Из рисунка совершенно точно видно, что цена игры в данном случае будет
равна 171 млн руб.
Дальше по критерию Байеса находятся координаты интересующих нас то-
чек, являющихся пересечением E1 и E2, E3 и E2.
Для первой точки используем следующие соотношения:
12
12
181,2 161,2 = 171
+ =1
y y v
yy
+ =
11
12
181,2 161,2 (1 ) = 171
+ =1
y y v
yy
+ − =
В итоге получается:
1
2
=0,49
=0,51
=171
y
y
v
Для второй точки задействуем аналогичные уравнения:
12
12
139,6 181,6 = 171
+ =1
y y v
yy
+ =
11
12
139,6 181,6 (1 ) = 171
+ =1
y y v
yy
+ − =
185
175
165
155
145
135
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
E1
E2
E3
y1
45
В результате имеем
1
2
=0,25
=0,75
=171
y
y
v
И здесь получаем следующее оптимальное решение:
y* = (y
1
*
, y
2
*
), y
1
*
ϵ [0,25; 0,49], y
2
*
ϵ [0,51; 0,75],
x* = (x
1
*
, x
2
*
, x
3
*
) = (0; 1; 0); v = 171.
3.2 Примеры матричных игр порядка n2
Пример 1. Найти решение следующей игры 2n:
2 3 11
752
.
Сначала нарисуем стандартным образом график для этой задачи (рис. 3.5):
Рисунок 3.5. − График примера 1
На оси Ox строится единичный отрезок. В точке с координатой 1 на оси Ox
проводится прямая, параллельная оси OM. Для каждого столбца строится прямая
Mj – так изображаются стратегии 2 игрока.
На оси OM ставится точка с координатой, соответствующей элементу мат-
рицы в первой строке рассматриваемого столбца. На прямой, параллельной оси
OM наносится точка с координатой из второй строки того же столбца.
Обе точки соединяются прямой – она соответствует стратегии.
В результате получается фигура из совокупности прямых по всем столбцам.
Здесь рассматривается ломаная из самых нижних участков этих прямых. Она
соответствуют минимальным выигрышам 1 игрока, так как это отражение столбцов, представляющих стратегии 2 игрока – он позволит получить 1 игроку лишь
минимум его выгоды.
Но 1 игрок выбирает максимум из этих минимумов – наивысший участок
ломаной. Здесь это точка N0. Координаты N0 находят как точку пересечения M2
и M3 из трех уравнений. Это сумма выигрышей в столбцах с их вероятностями
применения (кр. Байеса)
Столбцы соответствуют стратегиям 2 и 3.
Вероятности ищем как смешанные стратегии 1 игрока:
0
M
M
3
M
2
M1
x1
11
3
2
7
5
2
N0
46
11
11
12
3 5 (1 )
11 2 (1 )
1
x x v
x x v
xx
+ − =
+ − =
+=
11
1
12
3 5 (1 )
11 3=0
+1
x x v
x
xx
+ − =
−
=
12
38
= ; =
11 11
xx
3 8 9 5 8 49
3 5 (1 )
11 11 11 11
v
+
+ − = = =
Стратегии 2 игрока находят по кр. Байеса – суммы выигрышей в строках со
смешанными стратегиями 1 игрока (2 и 3).
Вероятности применения других стратегий равны 0 – в уравнениях они не
учитываются:
12
22
23
3 11 (1 )
5 2 (1 )
+1
y y v
y y v
yy
+ − =
+ − =
=
12
2
23
3 11 (1 )
11 +9=0
+ =1
y y v
y
yy
+ − =
−
2 3 1
92
y = ;y = ;y =0
11 11
* * * * * * *
1 2 1 2 3
3 8 9 2 49
x =(x ,x )=( ; );y =(y ;y ;y )=(0; ; );v=
11 11 11 11 11
47
Пример 2. Найти решение игры 2n
0,4 0,7
1 0,710,5
Сперва изобразим по общепринятой методологии график для этой задачи
(рис. 3.6):
Рисунок 3.6. − График примера 2
Здесь наивысший участок ломаной из самых нижних участков прямых – это
отрезок, лежащий на прямой M2.
Граница отрезка – точки М
0
и N 0 . Цена игры − это координата оси OM, то
есть v = 0,7. Игрок 2 имеет одну оптимальную чистую стратегию – она изображена прямой M2.
Оптимальных стратегий 1 игрока бесчисленное множество, и заключены
они между точками М
0
и N
0
Координаты точки М
0
находят как точку пересечения прямых M1 и M2, а N
0
− прямых M2 и M3. При этом данные точки также входят во множество оптимальных стратегий.
Уравнения для поиска координат точки М
0
строятся по критерию Байеса.
Первое уравнение строится как равенство функциональных выражений для
прямых M1 и M2. Для прямой M1 строится сумма выигрышей в 1 столбце со смешанными стратегиями 1 игрока.
Прямая M2 выражена const – координатой OM, то есть цена игры v = 0,7
Второе уравнение – это равенство 1 суммы смешанных стратегий.
22
12
0,4 (1 ) 0,7
+ =1
xx
xx
− + =
2
12
0,6 =0,3
=1
x
xx−
MM
12
11
;
22
xx==
Аналогично строятся уравнения для поиска координат точек N0.
0
M
M
3
M
2
M1
x1
1
0,7
0,4
1
0,7
0,5
M 0 N 0
48
В левой части уравнения для прямых M2 и M
3
стоит сумма выигрышей в
столбце со смешанными стратегиями 1 игрока.
Значения каждой оптимальной стратегии находятся в своем отрезке, чьи
границы
составлены для x
1
*
из точек x
1
M
и x
1
N
, а для x
2
*
из точек x
2
M
и x
2
N
, в по-
рядке возрастания.
22
12
(1 ) 0,5 0,7
+1
xx
xx
− + =
=
2
12
0,5 0,3
+1
x
xx
− = −
=
NN
21
32
;
55
xx==
* * * *
1 2 3
* * * * M N M N * M N M N
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
49
=( , , )=(0,1,0); = ;
11
2 1 1 3
=( , ), [max( ; ),min( ; )= , ; [max( ; ),min( ; )= ,
5 2 2 5
y y y y v
x x x x x x x x x x x x x
Пример 3. Найти решение игры m2
65
46
27
18
.
В первую очередь отобразим по обычной технологии график для этой за-
дачи (рис. 3.6):
Рис. 3.7 – График примера 3
На оси Oy строится единичный отрезок. В точке с координатой 1 на оси Oy
проводится прямая, параллельная OE.
0
E
E
1
E
2
E
3
E
4
y1
6
4
2
1
8
7
6
5
E 0
49
Для каждой строки строится прямая Ei − так изображаются стратегии 1 иг-
рока. На оси OE ставится точка с координатой, соответствующей элементу матрицы в первом столбце рассматриваемой строки.
На прямой, параллельной оси OE наносится точка с координатой из второго
столбца той же строки. Обе точки соединяются прямой – она соответствует стра-
тегии. В результате получается фигура из совокупности прямых по всем столб-
цам.
Здесь рассматривается ломаная из самых верхних участков этих прямых.
Она соответствуют максимальным выигрышам 1 игрока, так как это отражение строк, представляющих стратегии 1 игрока − он, исходя из пессимистиче-
ских оценок 2 игрока, получит максимум выгоды.
Но 2 игрок выбирает минимум из этих максимумов – самый низший участок
ломаной. Здесь это точка E0.
Координаты E0 находят как точку пересечения E1 и E4 из трех уравнений.
Это сумма выигрышей в строках с их вероятностями применения (кр. Бай-
еса). Строки соответствуют стратегиям 1 и 4.
Вероятности рассчитываем как смешанные стратегии 2 игрока.
11
11
12
6 5 (1 )
8 (1 )
+ =1
y y v
y y v
yy
+ − =
+ − =
11
1
12
6 5 (1 )
8 3 0
+ =1
y y v
y
yy
+ − =
− + =
12
35
= ; =
88
yy
3 3 18 5 5 43
6 5 (1 )
8 8 8 8
v
+
+ − = = =
Стратегии 1 игрока находят по кр. Байеса – суммы выигрышей в столбцах
со смешанными стратегиями 1 игрока (1 и 4).
Вероятности применения других стратегий равны 0 – в уравнениях они не
учитываются:
11
11
14
6 (1 )
5 8 (1 )
1
x x v
x x v
xx
+ − =
+ − =
+=
50
11
1
14
6 (1 )
87
1
x x v
xv
xx
+ − =
− + =
+=
1 4 2 3
71
= ; = ; =0; =0
88
x x x x
* * * * * * * *
1 2 3 4 1 2
7 1 3 5 43
( , , , ) ( ,0,0, ); ( , ) ( , );
8 8 8 8 8
x x x x x y y y v= = = = =
Пример 4. Найти решение игры m2
23
32
11
−
−
.
Начиная решение, начертим обычным способом график для этой задачи
(рис. 3.8).
Рис. 3.8 – График примера 4
Здесь самый низший участок ломаной из самых верхних участков прямых –
это отрезок, лежащий на прямой E3.
Граница отрезка − точки E
0
и F 0. Цена игры – это координата оси OE, то
есть v = 1. Игрок 1 имеет одну оптимальную чистую стратегию – она изображена
прямой E3.
Оптимальных стратегий 2 игрока бесчисленное множество, и заключены
они между точками E
0
и F 0. Координаты точки E 0 находят как точку пересечения
прямых E2 и E3, а N0 – прямых E3 и E1.
При этом данные точки также входят во множество оптимальных стратегий.
Уравнения для поиска координат точки E0 строятся по критерию Байеса.
Первое уравнение строится как равенство функциональных выражений для
прямых E2 и E3.
Для прямой M1 строится сумма выигрышей в 1 столбце со смешанными
стратегиями 1 игрока.
0
E
E
2
E
3
E
1
y1
3
1
-2
E
0
F 0
3
1
-2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]