Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Приложения теории принятия решений. Р.II. Моделирование реакции агрессивной внешней среды в рамках формирования оптимальных способов функционирования
.pdf
21
22
0;
45
−
для мероприятия x1,
22 22 18
;
45 45
+
−
для мероприятия x2,
22 18
;1
45
+
−
для мероприятия x3.
Если генерируемое случайное число при преобразовании этих интервалов в
десятичный формат окажется в пределах:
• [0; 0,48], то выбирают мероприятие 1;
• [0,49; 0,88], то выбирается мероприятие 2;
• [0,89; 1], то выбирается мероприятие 3.
Длины этих интервалов равны компонентам x
0
, а для применения датчика
случайных чисел интервалы с такими длинами можно расположить в другом по-
рядке внутри единичного отрезка.
Физическая реализация решения игры состоит в том, чтобы включить в состав профилактических мероприятий все 3 вида данных мероприятий в соотно-
шении 22:18:5, это гарантирует получение выигрыша в 31,5 млн руб., равного
найденной цене игры.
2.2 Выбор технологий выпуска на основе стратегий
Два предприятия выпускают продукцию, эффективность сбыта которой на
рынке рынок региона зависит от применяемых технологий.
В данном случае технологии выпуска продукции выступают как стратегии,
способствующие конкурентной борьбе за рынок региона.
Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с при-
менением одной из трёх различных технологий. Технология определяет качество
продукции, сделанной на ее основе, качество определяет цену единицы продук-
ции (табл. 2.2):
I технология : 12 д.е. II технология : 8 д.е. III технология : 4 д.е.
Таблица 2.2 ‒ Затраты на единицу продукции на предприятиях региона (д.е.)
Технология
Цена реализации единицы
продукции д.е.
Полная себестоимость единицы продукции д.е.
Предприятие А
Предприятие В
1
12 8 10 2 8 5 4 3 4 2 1
Функция спроса на продукцию имеет следующий вид:
10 0,6YX= −
, где
• Y – объем продукции, которая будет продана в регионе (тыс. ед.)
• X – средняя цена продукции предприятий, д.е.
Доля сбыта продукции предприятия А определяется соотношением цен на
продукцию предприятия А и предприятия В.
Анализ всех этих соотношений дал результаты по доле сбыта продукции
предприятия А при всех возможных случаях (табл. 2.3).
22
Таблица 2.3 ‒ Доля продукции предприятия А, приобретаемой населением в за-
висимости от соотношения цен на продукцию
Цена реализации единицы продукции д.е.
Доля продукции предприятия А, куп-
ленной населением
Предприятие А
Предприятие В
10
10
0,31
10 6 0,33
10 2 0,18
6
10
0,7
6 6 0,3
6 2 0,2
2
10
0,92
2 6 0,85
2 2 0,72
Формализуем конфликтную ситуацию – составим платежную матрицу, для
этого определим стратегии каждого игрока:
• А
1
− предприятие А выбирает технологию 1
• А
2
− предприятие А выбирает технологию 2
• А
3
− предприятие А выбирает технологию 3
• В
1
− предприятие В выбирает технологию 1
• В
2
− предприятие В выбирает технологию 2
• В
3
− предприятие В выбирает технологию 3
Элементами платежной матрицы будет разность прибыли предприятия А и
предприятия В.
Найдем a11 (выбраны стратегии А1 и В1 – оба предприятия реализуют продукцию ценой по 12 д.е.).
Прибыль = Доход – Затраты. (2.2)
И доход, и затраты зависят от количества купленной населением продукции,
которое определяется функцией спроса:
10 – 0,6 YX=
. (2.3)
Средняя цена на продукцию равна:
( )
12 12 / 2 12Х = + =
Значит,
10 – 0,6 12 10 – 7, 2 2,8Y = = =
(тыс. ед.)
Из таблицы 2.3 следует, что у предприятия А купят 31% от всей купленной
населением продукции:
2,8 тыс. ед. 31% 2800 ед. 0, 31 868 ед. = =
23
Тогда у предприятия В купят 69% от всей купленной населением продук-
ции:
2,8 тыс. ед. 69% 2800 ед. 0,69 1932 ед. = =
или
2800 – 868 1932=
(ед.)
Значит:
Прибыль
( )
868 12 – 868 8 868 12 – 8 868 4 3472А = = = =
д.е.
Прибыль
( )
1932 12 – 10 1932 2 3864В = = =
д.е.
a11 = 3472 – 3864 = – 392 (ед.) = – 0,392
( )
11
3472 – 3864 – 392 ед. – 0,392a = = =
(тыс. ед.)
Можно использовать следующую формулу для расчета элементов платеж-
ной матрицы:
( )
[ ( ) ( ) ( )] 10 – 0,3 1000 1
ij j i jii j
a p d s d p spp= + − − − −
, где (2.4)
• p
i
– цена реализации единицы продукции предприятием А при выборе им стра-
тегии А
i
;
• p
j
– цена реализации единицы продукции предприятием В при выборе им стра-
тегии Bj;
• si – себестоимость единицы продукции предприятия А при выборе им стратегии
А
i
;
• sj – себестоимость единицы продукции предприятия В при выборе им стратегии
Bj;
• d – доля продукции предприятия А, купленной населением при ценах pi и pj.
Проведя все расчеты, получаем платежную матрицу (в тыс. ед.):
Таблица 2.4 ‒ Матрица выигрышей предприятия А
(в зависимости от стратегий, выбираемых предприятием В)
B1
B2
B3
А
1
-0,392
-5,44
-9,048
А
2
9,14
-9,88
-11,52
А
3
3,05
7,04
4,56
Исключим доминирующие стратегии – 3-я строка доминирует 1-ю строку.
Таблица 2.5 ‒ Исключение 1-й стратегии предприятия А из матрицы выигрышей предприятия А
B1
B2
B3
А
1
-0,392
-5,44
-9,048
А
2
9,14
-9,88
-11,52
А
3
3,05
7,04
4,56
24
Таблица 2.6 ‒ Матрица выигрышей предприятия А с исключенной 1-й стратегией предприятия А
B1
B2
B3
А
2
9,14
-9,88
-11,52
А
3
3,05
7,04
4,56
Исключим доминирующие стратегии – 2-й столбец доминирует 3-й столбец.
Таблица 2.7 ‒ Исключение 2-й стратегии предприятия В из матрицы выигрышей предприятия А
B1
B2
B3
А
2
9,14
-9,88
-11,52
А
3
3,05
7,04
4,56
Из получившейся матрицы найдем минимальные значения по строкам и макси-
мальные значения по столбцам – для отыскания седловой точки.
Таблица 2.8 ‒ Поиск седловой точки в матрице выигрышей предприятия А с исключенной 1-й стратегией предприятия А и 2-й стратегией предприятия В
B1
B3
min aij
А
2
9,14
-11,52
-11,52
А
3
3,05
4,56
3,05
max aij
9,14
4,56
Так как ≠ , то в конфликтной ситуации нет точки равновесия – седловая
точка, которую образуют пара стратегий. В этом случае каждое предприятие будет искать свою оптимальную стратегию путем перебора своих стратегий в каж-
дой партии игры. Этот перебор делают в соотношениях, определяемых некото-
рыми вероятностями − оптимальными смешанными стратегиями.
Таблица 2.9 ‒ Итоговая матрица выигрышей предприятия А с исключенной 1-й
стратегией предприятия А и 2-й стратегией предприятия В
B1
B3
А
2
9,14
-11,52
А
3
3,05
4,56
Эти оптимальные вероятности – смешанные стратегии для матрицы и соот-
ветствующей игры размерности 2 × 2, цену игры и оптимальные стратегии для
которой определяют по стандартным для таких игр выражениям:
v =
11 22 21 12
11 12 21 22
a a a a
a a a a
−
− − +
=
9,14 4,56 3,05 ( 11,52)
9,14 ( 11,52) 3,05 4,56
−−
− − − +
gg
=
41,68 35,136
22,17
+
= 3,47
25
x1 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
4,56 3,05
9,14 ( 11,52) 3,05 4,56
−
− − − +
=
1,51
22,17
= 0,07
x2 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
9,14 ( 11,52)
9,14 ( 11,52) 3,05 4,56
−−
− − − +
=
20,66
22,17
= 0,93
y1 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
4,56 ( 11,52)
9,14 ( 11,52) 3,05 4,56
−−
− − − +
=
16,08
22,17
= 0,72
y2 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
9,14 3,05
9,14 ( 11,52) 3,05 4,56
−
− − − +
=
6,09
22,17
= 0,28
2.3 Решение игр в смешанных стратегиях
Простейший случай игры, решаемой в смешанных стратегиях, − игра 2 2,
или игра с парными стратегиями, когда у каждого игрока имеется лишь по две
стратегии. Платежная матрица такой игры достаточна проста, состоит из двух
строк и столбцов (табл. 2.10).
Таблица 2.10 ‒ Типовая матрица выигрышей предприятия игры 2 2
B1
B2
А
1
a11
a12
А
2
a21
a22
Рассмотрим ряд типовых примеров применения данного типа игр.
Пример 1. Игрок А делает инвестиции в одну из двух отраслей. Игрок В пы-
тается угадать направление этого вложения. Если В не угадывает, то А сможет
беспрепятственно заработать 1 млн у.е. Если В угадывает, куда производились
инвестиции, и эта отрасль 1, то он, опередив игрока А, принесет ему убытки в 1
млн у.е. Если В также угадывает, но это уже отрасль 2, то он получает 2 млн у.е.
Пусть имеются следующие стратегии игроков:
• А
1
– инвестировать в отрасль 1;
• А
2
– инвестировать в отрасль 2;
• В
1
– противодействовать в отрасли 1;
• В
2
– противодействовать в отрасли 2.
Игровая матрица для данной ситуации для игрока А имеет стандартный с
точки зрения игр 2 2 вид (табл. 2.11).
Таблица 2.11 ‒ Матрица выигрышей инвестиционной борьбы для двух отраслей
B1
B2
А
1
-1
1
А
2
1
-2
Тогда вероятности чистых стратегий и цена игры в смешанных стратегиях
26
равны:
x1 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
21
1 2 1 1
−−
− − − −
=
3
5
x2 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
11
1 2 1 1
−−
− − − −
=
2
5
v =
11 22 21 12
11 12 21 22
a a a a
a a a a
−
− − +
=
( 1) ( 2) 11
1 2 1 1
− − −
− − − −
gg
=
1
5
Таким образом, игроку А нужно случайно чередовать направления инвести-
ций, но в отрасль 1 вкладывать средства в среднем в 3 случаях из 5, а в отрасль 2
в 2 случаях из 5. В это случае в каждой игре в среднем А получит (-1/5) млн у.е.,
то есть теряет 200 тыс. у.е., игра для А не выгодная.
Для игрока В выгодно также чередовать отрасли, в которых он противодей-
ствует конкуренту, но в отрасли 1 делать это в 3 случаях из 5, что приведет к его
среднему выигрышу в 200 тыс. у.е.
Иногда удается аналогичным образом решить и игровые ситуации с платежными матрицами большего размера, упростив до игры 2 2.
При этом используются следующие правила:
1. Если все элементы строки матрицы не больше соответствующих элемен-
тов другой строки, то строка с меньшими элементами соответствует стратегии,
которая для игрока А не выгодна, поэтому из платежной матицы строку с мень-
шими элементами можно вычеркнуть, тем самым выведя из рассмотрения соот-
ветствующую ей стратегию.
2. Для игрока В невыгодна, независимо от действий А, стратегия, которой
соответствует столбец матрицы, у которого все элементы ≥ соответствующим
элементам любого другого столбца. Столбец с большими элементами также
можно вывести из рассмотрения, вычеркнув из платежной матрицы.
Пример 2. Директор коммерческой транспортно-логистической компании
А, оказывающей услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует
открыть один или несколько маршрутов: А
1
, А2, А3, А4.
Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь
транспорт на один из маршрутов (наиболее выгодный) либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а, соответственно, и прибыль компа-
нии во многом зависит от того, какие маршруты в ближайшее время откроет
главный конкурент − компания В. Ее руководство владеет ситуацией и может
открыть несколько из пяти маршрутов В
1
, В2, В3, В4, В5.
Оценки прибыли компании А (млн руб.) при любом ответе компании-конкурента В представлена матрицей с числом строк и столбцов, отвечающих соответственно количеству стратегий компаний А и В (табл. 2.12).
27
Таблица 2.12 ‒ Матрица выигрышей транспортных компании А борьбы за рынок с компанией-конкурентом
В
1
В
2
В
3
В
4
В
5
А
1
5 6 4 6
9
А
2
6 5 3 4
8
А
3
7 6 6 7
5
А
4
6 7 5 4
3
Находим оптимальное распределение прибыли по маршрутам и ожидаемую
прибыль, вычеркиваем из таблицы 2-й столбец, т.к. все его элементы больше или
равны элементам 3-го столбца (табл. 2.13).
Таблица 2.13 ‒ Исключение 2-й стратегии предприятия В из матрицы выигрышей предприятия А
В
1
В
2
В
3
В
4
В
5
А
1
5 6 4 6
9
А
2
6 5 3 4
8
А
3
7 6 6 7
5
А
4
6 7 5 4
3
Вычеркиваем 4-ю строку, т.к. ее оставшиеся элементы меньше элементов 3й строки (табл. 2.14).
Таблица 2.14 ‒ Исключение 4-й стратегии предприятия А из матрицы выигрышей предприятия А
В
1
В
3
В
4
В
5
А
1
5 4 6 9
А
2
6 3 4 8
А
3
7 6 7 5
А
4
6 5 4 3
Элементы 1-го столбца больше элементов 3-го, вычеркиваем первый столбец (табл. 2.15).
Таблица 2.15 ‒ Исключение 1-й стратегии предприятия В из матрицы выигрышей предприятия А
В
1
В
3
В
4
В
5
А
1
5 4 6 9
А
2
6 3 4 8
А
3
7 6 7 5
Далее необходимо вычеркнуть 2-ю строку в результате сравнения с 1-й
строкой (табл. 2.16)
28
Таблица 2.16 ‒ Исключение 2-й стратегии предприятия А из матрицы выигрышей предприятия А
В
3
В
4
В
5
А
1
4 6
9
А
2
3 4
8
А
3
6 7
5
Затем выполняем вычеркивание 4-го столбца после сравнения с 3-м столбцом (табл. 2.17).
Таблица 2.17 ‒ Исключение 4-й стратегии предприятия В из матрицы выигрышей предприятия А
В
3
В
4
В
5
А
1
4 6
9
А
3
6 7
5
В результате проведенных манипуляций получаем следующую структуру,
приведенную к стандартной матрице 2 2 вид (табл. 2.18).
Таблица 2.18 ‒ Итоговая матрица выигрышей борьбы на транспортном рынке
двух компаний
В
3
В
5
А
1
4 9
А
3
6 5
Решение игры – вероятности чистых стратегий компании А в смешанной
стратегии и цена игры вычисляются по стандартным для игр 2 2 выражениям:
x1 =
22 21
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
56
4 5 6 9
−
+ − −
=
1
6
x2 =
11 12
11 12 21 22
aa
a a a a
−
− − +
=
49
4 5 6 9
−
+ − −
=
5
6
v =
11 22 21 12
11 12 21 22
a a a a
a a a a
−
− − +
=
4 5 9 6
4 5 6 9
−
+ − −
gg
=
34
6
≈ 5,67
Следовательно, 1/6 часть автопарка (17 машин) нужно направить на маршрут А1, а остальные 5/6 парка (83 машины) на маршрут А
3
.
Маршруты А
2
и А4 использовать не рационально, поскольку они были ис-
ключены как заведомо невыигрышные еще на стадии предварительного анализа
матрицы выигрыша.
При этом в среднем прибыль, не зависимо от стратегий компании В, будет
составлять 5,67 млн руб.
29
2.4 Производственные и логистические игры с природой
Задача на производственные отношения. Фирма купила станок за 100 тыс.
руб. Для его ремонта можно купить спецоборудование за 50 тыс. руб. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт:
• с помощью спецоборудования обходится в 10 тыс. руб.;
• без спецоборудования − в 40 тыс. руб.
За время эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз:
• вероятность того, что станок не сломается − 0,3;
• сломается 1 раз − 0,4;
• сломается 2 раза − 0,2;
• сломается 3 раза − 0,1.
Требуется определить целесообразность приобретения фирмой специализи-
рованного ремонтного оборудования.
Решение. Первый игрок имеет две чистые стратегии:
• покупать специализированное ремонтное оборудование;
• не покупать специализированное ремонтное оборудование.
У природы – 2 игрока − четыре состояния (квазистратегии):
• станок не выйдет из строя;
• выйдет из строя один раз;
• сломается два раза;
• сломается три раза.
Функция выигрыша − табличная, это затраты фирмы на покупку и ремонт
станка, зададим ее матрицей выигрыша фирмы с поиском цен игры.
a11 = - 100; a21 = - 100 - 50 = - 150;
a12 = - 100 - 40 = - 140; a22 = - 100 - 50 - 10 = - 160;
a13 = - 100 - 40 ∙ 2 = - 180; a23 = - 100 - 50 - 10 ∙ 2 = - 170;
a14 = - 100 - 40 ∙ 3 = - 220; a24= - 100 - 50 - 10 ∙ 3 = - 180;
Тогда матрица выигрышей формируется пресечением стратегий предприятия и реакцией микроэкономической среды на их реализацию, на основе которой
легко найти седловую точку как пару стратегий, фиксирующих наилучший ре-
зультат при наихудших условиях функционирования (рис. 2.1).
Выход станка из строя
0 раз
1 раз
2 раза
3 раза
min
не купить
- 100
- 140
- 180
- 220
- 220
Ремонтное
α = - 180
оборудование
купить
- 150
- 160
- 170
- 180
- 180
max
- 100
- 140
- 170
- 180
β = - 180
Рисунок 2.1 ‒ Матрица выигрышей в зависимости от динамики выходов
станков из строя
30
Решением игры, из анализа матрицы выигрышей на рисунке выше, является
седловая точка: (2,4), или x* = (0, 1), y* = (0, 0, 0, 1), v* = - 180 тыс. руб.
Таким образом, в этой задаче стратегия 2 оптимальна при отсутствии со сто-
роны микроэкономической среды некоторого «осмысленного» поведения.
Это «осмысленное» или, вернее, квазиосмысленное поведение отражают
указанные в условии вероятности выхода различного числа станков из строя, что
дает смешанную стратегию природы: y = (0,3; 0,4; 0,2; 0,1).
Тогда средний выигрыш различен при применении двух чистых стратегий
фирмы и данной смешанной стратегии макроэкономической среды:
• 1 стратегия фирмы: v(x') = - 100 ∙ 0,3 - 140 ∙ 0,4 - 180 ∙ 0,2 - 220 ∙ 0,1 = - 144
• 2 стратегия фирмы: v(x*) = - 150 ∙ 0,3 - 160 ∙ 0,4 - 170 ∙ 0,2 - 180 ∙ 0,1 = - 161
Очевидно, что в данном рассмотрении стратегия 1 оптимальна.
Задача на логистические отношения. Выпуск продукции фирмы зависит от
скоропортящегося сырья, например, молока, получаемого партиями стоимостью
100 тыс. руб. Если поставка не прибывает в срок, фирма теряет 400 тыс. руб. от
недовыпуска продукции. Фирма может послать к поставщику свой транспорт
(расходы 50 тыс. руб.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем. Можно увеличить вероятность получения материала
до 80%, если предварительно послать своего представителя, но расходы увели-
чатся еще на 50 тыс. руб. Можно купить сырье-заменитель дороже (на 50%) у
надежного поставщика – расходы на транспорт 50 тыс. руб. и на склад 40 тыс.
руб. (если объем на складе больше нормы, равной одной партии). Какой стратегии должен придерживаться завод в этой ситуации?
Здесь у так называемой «природы», то есть макроэкономической среды,
представленной комплексом объектов и условий, благоприятствующих или не
благоприятствующих выполнению им своей задачи, имеется два состояния:
1. Поставщик надежный.
2. Поставщик ненадежный.
У фирмы в этом случае имеется сразу четыре стратегии, которые отражают
все нарастающие усилия руководства предприятия по обеспечению бесперебой-
ности поставок молочных продуктов:
1. Не осуществлять никаких дополнительных действий.
2. Послать к поставщику свой транспорт.
3. Послать к поставщику представителя и транспорт.
4. Купить и привезти сырье-заменитель от другого поставщика.
Сопоставление этих двух наборов стратегий с вычислением последствия
каждого сочетания порождает следующую расчетную схему (табл. 2.19).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]