Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Приложения теории принятия решений. Р.II. Моделирование реакции агрессивной внешней среды в рамках формирования оптимальных способов функционирования
.pdf
11
1.2 Классическая дилемма заключённого
При изучении игр с нулевой суммой двух игроков как стандартной ситуации
принятия решений в условиях конфликта часто не уделяют внимания подобным
играм с ненулевой суммой, где выигрыш одного игрока не равен проигрышу дру-
гого. Классическим примером такого конфликта является дилемма заключенных, чье практическое значение может проявляться в ведении корпоративных
переговоров.
Пусть двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и то же время
на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по
сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же
сделку. Если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то
первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный
срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более
лёгкой статье, и они приговариваются к 6 месяцам. Если оба свидетельствуют
против друг друга, они получают минимальный срок (по 2 года).
Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против
другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что им сле-
дует делать? Игру можно представить в виде следующей таблицы:
Таблица 1.1 ‒ Выигрыши в рамках классической дилеммы заключенного
Ответная реакция
Начальный импульс
Заключенный Б хранит
молчание
Заключенный Б даёт показа-
ния
Заключенный А хранит молчание
Оба получают
по 0,5 года
А получает 10 лет, Б осво-
бождается
Заключенный А даёт показания
А освобождается,
Б получает 10 лет
Оба получают 2 года
тюрьмы
Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о мини-
мизации собственного срока заключения.
Представим рассуждения одного из заключённых. Если партнёр молчит, то
лучше его предать и выйти на свободу (иначе – полгода тюрьмы). Если партнёр
свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить
2 года (иначе – 10 лет). Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над
стратегией «молчать».
Аналогично другой заключённый приходит к тому же выводу.
С точки зрения группы (этих двух заключённых) лучше всего сотрудничать
друг с другом, хранить молчание и получить по полгода, так как это уменьшит
суммарный срок заключения.
В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудни-
чеством, поэтому единственное возможное равновесие − предательство обоих
участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет
больше, если предаст.
Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все ра-
циональные игроки выберут предательство.
12
1.3 Решение задача конкуренции производителей в чистых страте-
гиях
Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух конкурирую-
щих производителей может быть поставлена следующим образом.
Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона.
Они являются единственными поставщиками продукции в нем, соответственно,
полностью определяют рынок данной продукции в регионе. Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх
различных технологий.
В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой техноло-
гии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне:
• 10 ден. ед.;
• 6 ден. ед.;
• 2 ден. ед.
При этом предприятия имеют различные затраты на выпуск единицы про-
дукции (табл. 1.2).
Таблица 1.2 ‒ Затраты на единицу продукции на предприятиях региона (д.е.)
Технология
Цена реализации еди-
ницы продукции д.е.
Полная себестоимость единицы продукции д.е.
Предприятие 1
Предприятие 2
I
10 5 8
II 6 3 4 III 2 1,5
1
В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была
определена эконометрическая функция спроса на продукцию (табл. 1.3):
6 0,5YX= −
, где (1.1)
• Y - объем продукции, приобретаемый населением региона (тыс. ед.);
• X - средняя цена продукции предприятий, (д.е.).
Таблица 1.3 ‒ Общий спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.
Цена реализации единицы продукции д.е.
Средняя цена (среди двух
предприятий) реализации еди-
ницы продукции д.е.
Спрос на единицу про-
дукции д.е.
Предприятие 1
Предприятие 2
10
10
10
1
10 6 8
2
10 2 6
3 6 10 8 2 6 6 6 3 6 2 4 4 2 10 6 3 2 6 4 4 2 2 2 5
13
Доля спроса на продукцию предприятия 1 зависит от: соотношения цен на
продукцию предприятия 1 и предприятия 2 − эта зависимость установлена, и
доли от общего спроса вычислены (табл. 1.4).
Таблица 1.4 ‒ Доля спроса продукции предприятия 1, в зависимости от соотношения цен на продукцию
Цена реализации единицы продукции д.е.
Доля продукции предприятия 1, куп-
ленной населением
Предприятие 1
Предприятие 2
10
10
0,31
10 6 0,33
10 2 0,18
6
10
0,7
6 6 0,3
6 2 0,2
2
10
0,92
2 6 0,85
2 2 0,72
В связи с тем, что на рынке действует только 2 предприятия, доля спроса на
продукцию 2-го предприятия в зависимости от соотношения цен на продукцию
равна единица минус доля 1-го предприятия.
В задаче необходимо определить следующие последствия применения пред-
приятиями своих стратегий задействования технологий.
1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе техно-
логий производства продукции обоими предприятиями?
2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут вы-
бирать вследствие невыгодности?
3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое
предприятие окажется в выигрышном положении?
Для решения данной задачи вначале определим экономический смысл ко-
эффициентов в матрице выигрышей задачи.
Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства
продукции. Но, кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок
продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой сум-
мой.
Далее рассчитаем коэффициенты выигрышей матрицы выигрышей.
Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и пред-
приятия 2 от производства продукции. Прибыль предприятия в данной задаче
зависит:
• от цены и себестоимости продукции;
• от объема продукции, приобретаемой населением региона;
• от доли продукции, приобретённой населением у предприятия.
Значения разницы прибыли предприятий, соответствующие элементам пла-
тёжной матрицы, можно определить по формуле:
1 1 2 2
( ) (1 ) ( )
ij ij i i ij j j
a p S R S C p S R S C= − − − −
, где (1.2)
14
• aij − значение разницы прибыли от производства продукции предприятия
1 и предприятия 2;
• pij − доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;
• S − объем продукции, приобретаемой населением региона;
• R
i
1
и R
j
2
− цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и 2;
• C
i
1
и C
j
2
− полная себестоимость единицы продукции на предприятии 1 и
предприятии 2.
Вычислим один из коэффициентов платёжной матрицы.
Пусть, например: предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 принимает решение о
производстве продукции в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации
единицы продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы продукции 1,5 д.е. А цена реализации единицы продукции для предприятия
2 составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е.
Объем продукции, которое население региона приобретёт при средней цене
4 д.е., равно 4 тыс. ед. Доля продукции, которую население приобретёт у пред-
приятия 1, составит 0,85, у предприятия 2 – 0,15.
Вычислим коэффициент платёжной матрицы a32 по формуле (1.2):
32
0,85 (4 2 4 1,5) 0,15 (4 6 4 4) 0,5a = − − − =
(тыс. ед. ), где
• i = 3 − номер технологии 1-го предприятия;
• j = 2 − номер технологии 2-го предприятия.
Аналогично вычислим все коэффициенты платёжной матрицы, в ней:
• стратегии A1 - A3 – представляют собой решения о технологиях производ-
ства продукции предприятием 1;
• стратегии B1 - B3 – решения о технологиях производства продукции пред-
приятием 2;
• коэффициенты выигрышей aij – представляют собой разницу прибыли
предприятия 1 и предприятия 2.
Это платёжная матрица или матрица выигрышей, отражающая борьбу двух
предприятий за рынок продукции региона.
Вычислим элементы матрицы выигрышей для данной задачи (табл. 1.5).
Таблица 1.5 ‒ Матрица выигрышей для предприятия 1, в зависимости от страте-
гий, выбираемых предприятием 2
B1
B2
B3
min aij
А
1
0,17
0,62
0,24
0,17
А
2
3 -1,5
-0,8
-1,5
А
3
0,9
0,5
0,4
0,4
max aij
3
0,62
0,4
В матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий, поэтому для
обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства
15
продукции.
Далее следует определить минимальные элементы строк матрицы. Для
предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гаранти-
рованного выигрыша при выборе соответствующей стратегии.
Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения:
0,17 -1,5 0,4.
Теперь определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов имеет значение максимально гарантирован-
ного проигрыша при выборе соответствующей стратегии.
Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения:
3 0,62 0,4.
Определим оптимальные стратегии. Заметим, что нижняя цена игры в матрице равна 0,4, верхняя цена игры также равна 0,4. Они совпадают, а это значит,
что имеется седловая точка, т.е. пара технологий производства продукции, они
же стратегии, являющиеся оптимальными для обоих предприятий в условиях
данной задачи (табл. 1.6).
Таблица 1.6 ‒ Оптимальные стратегии предприятия 1 и предприятия 2 в мат-
рице выигрышей, с нижней и верхней ценами игры
B1
B2
B3
min aij
А
1
0,17
0,62
0,24
0,17
А
2
3
-1,5
-0,8
-1,5
А
3
0,9
0,5
0,4
0,4
max aij
3
0,62
0,4
Эта технология III, которая соответствует:
• стратегии А
3
предприятия 1;
• стратегии B
3
предприятия 2.
Стратегии А
3
и B3 – чистые оптимальные стратегии в данной задаче.
Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно, то есть предприятие 1 выиграет в
данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке
будет реализовано 5 тыс. ед. продукции.
Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е.:
• для 1-го предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е.;
• для 2-го предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1 д.е.
Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции,
которую приобретёт у него население.
16
1.4 Специальные виды игр, не являющиеся матричными
Весь набор ситуаций, возникающих в ходе изучения конфликтных ситуаций, очевидно, не исчерпывается только матричными играми. Помимо них в экономике активно применяется еще несколько типов игр, где функция выигрышей
имеет не табличный вид, как в матричных играх, а аналитический.
Бесконечные игры. Такие игры сводятся к играм следующего типа:
• [0, 1] − единичный интервал, из которого делают выбор;
• x − число, выбираемое 1 игроком из интервала;
• y − число, выбираемое 2 игроком из интервала;
• F (x, y) = F1(x, y) − функция выигрыша 1 игрока;
• F2(x, y) = - F1(x, y) − функция выигрыша 2 игрока.
или
• y − объем выпуска предприятия в 1-м районе;
• (1 - y) − объем выпуска предприятия во 2-м районе;
• x − спрос в 1-м районе;
• (1 - x) − спрос во 2-м районе.
•
x
y
− напряженность работы предприятия в 1-м районе;
•
11xy−
−
− напряженность работы предприятия во 2-м районе.
• F (x, y) = max {
x
y
,
11xy−
−
} − вид функции выигрыша 1-го игрока.
Выпуклые игры. Имеют выпуклые непрерывные функции выигрыша:
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x
+ +
, где (1.3)
• x1, x
2
− любые две точки из интервала (a, b);
• λ1, λ
2
− неотрицательные числа, сумма которых равна 1;
• k1 − доход на 1 руб. дополнительных затрат средств игрока с 1 рынка;
• k2 − доход на 1 руб. дополнительных затрат средств игрока со 2 рынка;
• s − капитал для проведения операций, выделяемый каждой фирмой;
• x − объем средств (стратегия), выделяемый 1 фирмой на 1 рынок;
• (s - x) − объем средств, выделяемый 1 фирмой на 2 рынок;
• y − объем средств (стратегия), выделяемый 2 фирмой на 1 рынок;
• (s - y) − объем средств, выделяемый 2-й фирмой на 2-й рынок;
•
22
( ) [ ( )]k y x k s x s y− = − − −
− соотношение доходов компаний на 2 рынке; (1.4)
•
1
2
( ),
( , )
( ),
k x y x y
F x y
k y x x y
−
=
−
− вид функции выигрыша 1-го игрока. (1.5)
Значит, оптимальная стратегия 1-го игрока − концентрация всех средств на
17
одном из рынков сбыта, а вероятность выбора рынка обратно пропорциональна
его важности (чем важнее рынок, тем больше средств вложит противник, тогда
другой рынок проще занять – на него меньше средств остается).
Сепарабельные игры. Пусть есть m технологий, i =1,..., m, для выпуска n ви-
дов продукции, j =1,..., n; aij − объем товара j, идущего на выпуск ед. товара с
технологией i; bij – объем товара j, выпускаемого с технологией i.
В данной игре решение ищут в виде набора смешанных стратегий:
• производителя товаров, x = (x1, x2, ... , xi , ... , xm) − относительные интен-
сивности технологий,
1...,0
21
=+++
mi
xxxx
.
• собственника ресурсов, y = (y1, y2, ... , yj , ... , yn) − относительные цены
продукции (узлов и комплектующих),
1...,0
21
=+++
nj
yyyy
.
Производство расширенное, если в конце периода верно неравенство:
11
,( 1, )
mm
ii
ij i ij i
b x a x j n
==
=
, где (1.6)
ξ − показатель расширенного производства (>1).
Сумма слева − объем выпуска товаров каждого вида, сумма справа – объем
потребляемых товаров. Соответственно, объем выпускаемых товаров больше по-
требляемых, т.е. выполняется условие расширенного производства.
В стоимостном выражении это условие имеет вид:
==
m
i ji
jiijjiij
n
j
yxayxb
1 ,1
)1(,
(1.7)
С другой стороны, слишком большой выпуск товаров (перепроизводство)
снижает прибыль. Значит, необходимо ограничить выпуск.
Пусть η − степень заинтересованности производства (η > 1), показывает, во
сколько раз можно увеличить выпуск товаров по отношению к их потреблению,
его применяют в дополнительных условиях расширенного производства:
= =
=
n
i
n
i
jijjij
miyayb
1 1
),1(,
(1.8)
а по всем технологиям:
= ===
n
j
n
j
ijij
m
i
ijij
m
i
xyaxyb
1 111
)1(,
(1.9)
Тогда функция выигрыша производителя товаров имеет вид:
= =
= =
=
min
j
jiij
min
j
jiij
yxa
yxb
yxF
1 1
1 1
),(
(1.10.)
Дифференциальные игры. Связь объема выпуска в городе товара х,
18
численности населения у и ренты z описывается следующей системой дифферен-
циальных уравнений (здесь х, у, z − особые функции выигрыша):
),(
321
xayaa
dt
dx
−=
),(
321
ycxcc
dt
dy
−=
,21zbxyb
dt
dz
−=
где (1.11)
• a1 − коэффициент зависимости темпа роста выпуска от спроса;
• a2 − спрос товара на душу населения;
• a3 − доля предложения продукта внутри города;
• (a
1
y - a
3
х) − избыток спроса, влияющий на темп роста выпуска;
• c2 − доля спроса на рабочую силу для выпуска единицы продукта;
• c2x − спрос на городском рынке труда;
• c3 − доля жителей, работающих в городе;
• c
3
у − предложение на рынке труда;
• (c1х - с
3
y) − избыток занятых, влияющий на темп миграции жителей;
• b1 − коэффициент связи ренты с влиянием выпуска и населения;
• b2 − часть ренты, которая получена не от промышленности;
• b1ху − показатель положительного влияния х и у на рост ренты.
Вопросы для самоконтроля
1. Ситуация (точка) равновесия, ее определение и свойства, седловая точка,
ее понятия, случаи использования и связь с ситуацией равновесия, способы зада-
ния функции выигрыша, ее табличный, матричный и аналитический виды, самый
простой вариант выражения функции выигрыша в аналитическом виде и более
сложный вариант, формальный аппарат, примеры.
2. Коммерческая борьба за рынок смартфонов компании Samsung и основ-
ного ее конкурента корпорации Apple как пример принятия решений при плани-
ровании деятельности предприятия в условиях конфликта, экономический показатель, взятый за основу формирования функции выигрыша, ее вид и стратегии
игроков как аргументы.
3. Этапы формирования графика типа «седло»: базовая форма траектории
результатов продаж производственной компании на трехмерном графике, отра-
жающая характер сбыта продукции, ее видоизменение в зависимости от марке-
тинговых действий компании конкурента, момент, когда эти действия перестают
давать эффект, механизм получения «седла» на основе совокупности всех трехмерных графиков, иллюстрирующих процессы конкурентной борьбы и образования седловой точки как наилучшего результата в наихудших условиях конку-
рентной борьбы.
4. Суть игр с ненулевой суммой, характер выигрышей в рамках конфликтов
такого типа, постановка классической задачи «дилемма заключенных», условия,
в которых действуют игроки А и Б. Возможные последствия их действий в виде
их выигрышей (и соответственно выигрышей), матрица выигрышей обоих игро-
ков, оптимальные для них стратегии.
5. Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух
19
конкурирующих производителей: виды производимой продукции и их цены, технологии выпуска продукции и связанные с этим затраты, эконометрическая функ-
ция объемов спроса на продукцию в зависимости от примененных технологий
обоих производителей, таблица всех ее значений в зависимости от всех сочетаний
стратегий применения технологий выпуска.
6. Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух конкури-
рующих производителей: зависимость доли спроса от общего на продукцию
предприятия 1 от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия
2, таблица значений долей для сочетания стратегий обоих предприятий, какие
три проблемы последствий применения предприятиями своих стратегий име-
ются, экономический смысл коэффициентов в матрице выигрышей задачи.
7. Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух конкури-
рующих производителей: способ расчета коэффициентов матрицы выигрышей
на основе прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции,
факторы, от которых она зависит, формула, по которой определяют разницу при-
были предприятий для платёжной матрицы, ее аргументы, пример вычисления
элемента такой матрицы.
8. Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух конкури-
рующих производителей: описание стратегий предприятия 1 и предприятия 2 и
их связь с технологиями предприятий, назначение коэффициентов выигрышей
платёжной матрицы, ее смысл, вид матрицы.
9. Типовая задача принятия решений в условиях конфликта двух конкури-
рующих производителей: анализ платежной матрицы − проверка доминируемые
и дублирующие стратегии, поиск минимальных элементов строк и максимальных элементов столбцов матрицы, определение оптимальных стратегий, седло-
вая точка в этой матрице, смысл найденной пары оптимальных стратегий, выигрыши предприятий в случае применения ими оптимальных стратегий.
10. Описание важнейших типов игр, с аналитической функцией выигрыша:
бесконечные игры − игра на интервале, напряженность работы предприятий, вид
функция выигрыша 1-го игрока; выпуклые игры − игры с выпуклыми непрерывными функциями выигрыша, соотношение доходов компаний на 2 рынке, вид
функции выигрыша 1-го игрока, его оптимальная стратегия.
11. Описание важнейших типов игр, с аналитической функцией выигрыша:
сепарабельные игры − технологии выпуска продукции и ее виды, коэффициенты
задействования товаров и технологий в выпуске, вид стратегий, в котором ищут
решение, условие расширенного производства, его стоимостное выражение, дополнительные условия расширенного производства, функция выигрыша произ-
водителя; дифференциальные игры − система дифференциальных уравнений,
описывающая связь объема выпуска в городе, численности населения и ренты
как показателей особых функций выигрыша.
20
2. Смешанные стратегии в игровых ситуациях
2.1 Планирование профилактики на энергопредприятиях
В электроэнергетике профилактические мероприятия являются основой
поддержания надёжного электроснабжения, от которого зависит экономическое
состояние других участников рынка.
Ограниченность ресурсов энергопредприятий не дает обеспечить профилактику всех видов энергооборудования одновременно. Возникает задача выбора
состава профилактических мероприятий с учётом его стоимости и величины
ущерба от возможной аварии. Ущерб будет причиняться тогда, когда набор профилактических мероприятий окажется недостаточным для предотвращения возможной аварии. Заранее условия эксплуатации энергооборудования неизвестны.
Состав профилактических мероприятий x рассматривается как чистая стратегия
1 игрока (например, главного инженера) в игре со 2 игроком (природа), стратегии
которой обозначаются y.
Выигрыши 1 игрока, формируемые затратами на профилактические меро-
приятия и ущерб от аварии, могут быть записаны в таблице (табл. 2.1).
Таблица 2.1 ‒ Платежная матрица результатов профилактических мероприятий
в зависимости от условий эксплуатации
Состав профилактических мероприятий
Условия эксплуатации
Облегчённые
Нормальные
Тяжёлые
1
x
(упрощенный набор мероприятий)
40 млн руб
30 млн руб
10 млн руб
2
x
(обычный набор мероприятий)
30 млн руб
50 млн руб
20 млн руб
3
x
(специальный набор мероприятий)
0 млн руб
60 млн руб
80 млн руб
Тогда для 1 игрока упрощенная матрица выигрышей A не содержит седловой точки и будет иметь вид:
А =
40 30 10
30 50 20 .
0 60 80
(2.1)
Оптимальная стратегия 1 игрока оказывается смешанной, а решение игры в
этом случае будет:
x0 =
22 18 5
, , ,
45 45 45
y0 =
25 9 11
, , ,
45 45 45
v = 31,5 млн. руб.
Смешанная стратегия x0 задаёт вероятности, с которой 1 игрок выбирает
свои чистые стратегии.
Эта смешанная стратегия имеет вероятностную реализацию. Для этого ис-
пользуются датчик случайных чисел и интервалы их попадания в рамках единич-
ного отрезка:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]