Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
где
0,8 0, 2
0,8 0,2
0,8 0,2
0,8 0,2
i
C
i
C
0
1
0, 5; 2, 5; 5
0, 5; 2,5; 5
0,3; 10; 30
0,3; 10; 30
2
0,2
2
() 1
() 0,2
Φ= ⋅ ⋅
Φ= ⋅⋅
() 0,2
Φ=
Φ=
Wz z
z
1()
Wz
+
() 1
Ww w
w
+
1()
Ww
() ( 1)
()
ε
()
ε
Wz zz
z
1()
Wz
+
w
1()
Ww
+
1(1)
2
zz
−+
2
ww
++
+
2
zz
−+
+
2
++
ww
−
ww
+
;
.
;
;
Для известных передаточных функций коэффициенты ошибки C
,
вычисляются по формулам (4.46), (4.49) и (4.53) соответст-
венно (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Результаты вычислений коэффициентов ошибок для передаточных функций
Значения коэффициентов ошибок
При воспроизведении сигнала g1(t) При воспроизведении сигнала g2(t)
CCC===
000
CCC===
111
CCC=− =− =−
222
CCC===
000
CCC=− =− =−
111
CCC===
222
,
i
Для рассматриваемого случая проверим справедливость прибли-
женных формул (4.50), (4.52), (4.53).
Для коэффициентов C
0,5 = 2,5 ⋅ 0,2.
Для коэффициентов C
≠ 10 ⋅ 0,04,
0,3
хотя справедлива формула (4.51):
0,3 30
=⋅
Однако соотношение (4.52) не выполняется:
≠ 10 ⋅ 2
30
Это объясняется тем, что период квантования T = 0,2 с не является
малым.
Найденные значения коэффициентов ошибки позволяют записать
выражение для ошибки в виде ряда как для непрерывного, так и дис-
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
2
.
справедливо соотношение
1
формула (4.50) не выполняется:
2
81
кретного входного сигналов. Если входной сигнал непрерывный, то
( )0,5( )0,15() ( )0,5()
kT g kT g kT g kT g t
( ) 50[ ( ) ( )] 125 ( 2 ) 252,5 ( )
() [( ) ( )] ( );
Qz enT e nT e nT
*1
lim ( ) lim ( )(1 )
iT z z
выражение для ошибки определяется в виде ряда (4.43) и соответствует в рассматриваемом случае следующему выражению:
ε= − + − =
0,5 0,15 0,5 0,25 0,40.
kT kT kT
=−+−=−
′′ ′
1122
Для случая дискретного входного сигнала выражение для ошибки
записывается в виде ряда через разности значений входного сигнала:
kT g kT T g kT g kT T g kT
() 2,5[( ) ()]125[ ( )0,5 ()]
ε=− +− +Δ +−Δ +
g kT g kT T g kT g kT T g kT T
+− +− = +− ++
22 2 1 1
127,5 ( ) 50 ( ) 51 ( ).
+−++
g kT g kT T g kT
11 2 11
12 2
′
Таким образом, косвенными оценками, учитывающими как длительность, так и форму процесса в переходном режиме, могут служить суммарные оценки. Наиболее общей из них является квадратичная суммарная оценка – аналог интегральной квадратичной оценки в теории непрерывных систем:
*22
e(iT
где e(nT
) – ошибка, а e
n
∞∞
=− =
∑∑
00
nn
==
n
(nTn) и e
уст
уст пе р
) = x(nTn) – y(nTn),
(nTn) – ее установившаяся и пере-
пер
ходная составляющие соответственно.
Качество дискретных систем в переходном режиме. Рассмот-
рим последовательность вычисления суммарной оценки:
находится z-изображение ошибки
1)
*
e
*
где W
(z) – передаточная функция ошибки;
e
x
установившееся значение ошибки определяется в соответствии
2)
(z) = x*(z) W*(z),
с выражением
ε= ε = ε −
уст
и его z-изображение ε
ii
→∞ →∞
*
уст
n
(z) = Z{ε
уст
};
−
82
3) ошибка в переходном процессе определяется в соответствии с
()
() 21 .
w
⎡
⎢
⎢⎥⎣
1
x
z
1
12
(1 )
yT z
выражением e
обходимо определить записывается e
4)
квадратичная суммарная оценка может быть определена с по-
*
(z) = e*(z) – e
пер
*
(z) и после подстановки в нее и не-
уст
*
(W) (рис. 4.4);
пер
мощью таблиц интеграла Парсеваля так:
*
пер
1
⎤
⎥
w
+
⎦
*
Φ=
z
ε
Рис. 4.4. Геометрическая интерпретация ошибки дискретной системы
Недостатком этого критерия является то, что при вычислении
*
(z) знак разности может получиться как положительным, так и
e
пер
отрицательным, что часто вызывает затруднения при дальнейших
вычислениях. Иногда в выражении для передаточной функции вместо ошибки ε(iT
) могут быть использованы выходные y(iTn) или ка-
n
кие-либо другие координаты системы, если их установившиеся значения легко вычисляются.
Пример 4.14. Определить квадратичную суммарную оценку качества переходного режима в системе для условий примера 4.1, полагая, что на вход замкнутой системы подаются:
1)
дискретная единичная функция x(iT
*
()
yz
2)
дискретная линейная функция y(iT
*
()
yz
Решение
В рассматриваемом примере
) = x0 1(iTn) или
n
=
1
=
;
−
−
) = y1 (iTn) или
−
1
n
.
−
z
−
n
83
1*
()()1()
kz P z
zQz
() 1 ( 1)
1 1 (1)1 (1)
lim(1 ) 0
(1 )
wkk
10
β
β
2(2 )
wkk
(2 )
kk
*
Wz
−
==
−
1*
−
и, следовательно, передаточная функция ошибки
*1
() 1
Qz z
*
()
Wz
==
ε
z-
изображение ошибки в случае дискретной единичной функции
*1
Dz z k
−
−
−
+−
.
имеет вид
1
−
*
()
z
ε= = =
xz x
−− −
zzk zk
−+−+−
1
−
11 1
,
а установившееся значение ошибки определяется выражением
1
ε= − =
уст
z
→
−
z
0
x
−
1
1(1)
+−
zk
.
Изображения переходной составляющей ошибки определяются по
выражению
**
() или ()
ε= ε =
zw
пер пер
xxw
1
−
zk
1(1)
+−
+
(2 )
−+
.
Отсюда следует, что
*
()
w
ε
пер
1(2)
==
ww kk w
+−+
x
α
0
.
+
Пользуясь таблицами для определения табулированных интегра-
лов для I = 1, можно записать:
⎡⎤
αα
00
I
⎢⎥
1
β+β −
10
⎣⎦
=
2
,
и квадратичная суммарная оценка может быть определена в соответствии с выражением
*
2
==
QI
1
x
.
−
Для случая дискретной линейной функции аналогично получают-
ся соотношения:
84
() ; ; () ;
1
T
ww kk k
1*2
1;21;.DCDC
() ;
0,8 0,2
() 0,2 .
0,8 0,2
n
22
yT
1
y
1
k
n
1
−
*
ε= ε= ε =
zyT z
1
n
(1 )[1 ( 1)] 1
*
ε= = =⋅
() ; *
z
пер
−+− −
yy
11
−
13
+−
zk k
1(1)
В обоих случаях Q
k = 2,
соответствующих границе устойчивости системы, теряет
z
11 1
−− −
zzk z
TT
nn
kk
*
()
ε
w
пер
+−+ −
1(2) 2
*
принимает бесконечные значения при k = 0 и
yT
n
1
уст уст
k
и Q
смысл (становится отрицательной) при k < 0 и k > 2, когда система
неустойчива. При k = 1 (бесконечная степень устойчивости) квадратичная суммарная оценка в обоих случаях минимальна.
Так как коэффициент k безразмерен, х
живаемого параметра, а х
случаях размерность Q
– его скорости, то в обоих рассмотренных
1
*
соответствует квадрату размерности входно-
имеет размерность отсле-
0
го сигнала.
По аналогии с непрерывными системами можно ввести понятие
добротности по скорости, по ускорению и т.д. для импульсных систем. Коэффициенты добротности следующим образом зависят от коэффициентов ошибки:
⎧
*
=
ω
⎪
⎪
⎪
⎨
ε
=
⎪
⎪
⎪
⎩
В свою очередь, для определения добротности можно использовать логарифмические характеристики разомкнутой системы в функции псевдочастоты ν.
Обратимся к примеру 4.1 и воспользуемся передаточными функциями:
w
Φ=
ε
Φ=
1(1)
1()
Ww
+
w
ww
ww
+
2
ww
++
1
w
−
2
++
85
Первой передаточной функции соответствует передаточная функ-
() 0,2 ,
w
ww
() 5 .
w
w
2220,20,4,
20,4
() () ()
n
yiT yiT y iT
ция разомкнутой системы вида
11
Ww
=
1
+
1
−
второй – функция вида
1
Ww w
2
+
=
1
−
Добротность по скорости при передаче сигнала g
12
при передаче сигнала g
**
DKv
=== = =⋅ =
ε
C
C
1
1
(nT):
2
*
Dv
ω
=− =−
k
k
.
(nT) равна
1
Качество дискретных систем в установившемся режиме при
регулярных воздействиях. После
окончания переходных процессов
в системе наступает установившийся режим, качество которого в основном зависит от точности отработки задающих воздействий и степени фильтрации помех. В теории дискретных систем удобным способом оценки качества является оценка точности, т.е. анализ ошибок
управления. Эти ошибки зависят от параметров системы, ее структуры, от характеристик воздействий и в плане математическом определяются вынужденной составляющей решения разностного уравнения
M
где y
(iTn) и yvj(iTn) – выходные координаты, определяемые соответ-
x
=+
nxn vjn
∑
j
0
=
,
ственно задающим и возмущающим воздействиями, в случае если
принято, что на линейную систему поступает М помех.
Для следящих систем ошибка управления представляет собой
разность
e(iT
т.е. в установившемся режиме она составляет
86
) = x(iTn) – yв(iTn),
n
() () ()
M
n
eiT e iT y iT
lim ( )
n
iT
lim(1 ) ( )
zz
() ()
1() ()
xz z
Wz xz
где y
(iTn) = x(iTn) – yx(iTn) – ошибка отработки задающего воздейст-
x
вия (динамическая ошибка) и e
щающего воздействия (флюктуационная ошибка, если ν
=+
xn vjn
∑
j
0
=
(iTn) = –yν(iTn) – ошибка от возму-
ν
,
(iTn) – слу-
i
чайный процесс).
По этой формуле производится оценка качества установившегося
режима, и для большинства систем (в том числе для всех следящих)
этот режим является основным, определяющим выполнение системой поставленной задачи. Как и в теории непрерывных систем, исследование точности дискретных систем в установившемся режиме
производят для регулярных и случайных процессов, описывающих
как задающие, так и возмущающие воздействия. Регулярными функциями времени можно аппроксимировать некоторые виды задающих
и возмущающих воздействий или их математические ожидания.
Методика расчета ошибок при регулярных воздействиях справедлива (при определенных предпосылках) для процессов любого происхождения. Оценка качества при регулярных задающих воздействиях x(iT
), которыми часто аппроксимируют процессы, соответствую-
n
щие наиболее вероятному режиму работы (т.е. при известном регулярном воздействии), может быть произведена следующим образом.
По отношению к установившемуся режиму дискретные системы,
как и непрерывные, делятся на статические и астатические ν-го по-
рядка, где ν = 1, 2, ... . Ошибки установившегося режима для астати-
ческих систем ν-го порядка определяются как реакция на типовые
воздействия вида x(t) = x
tν или x(iTn) = xν(iTn)ν.
ν
Установившееся значение ошибки в этом случае определяется как
и для дискретной системы может быть найдено по z-изображению
*
ε
(z) в соответствии с выражением
или для рассматриваемой системы – по соотношению
−−
lim(1 ) ( ) lim(1 ) ; ( )
ε= − = − =
уст
zz
→→
11
1* 1 *
zWxz z Wz
ε= ε
уст
t
→∞
1*
ε= − ε
уст
z
→
εε
−
1
**
**
+
ε
,
87
где
*
W
() .
(1)(1)[ (1)...(1)]
0
0
b
a
zk
ν
1
x
z
lim(1 ) .
xx
kk
lim(1 ) 0.
– передаточная функция ошибки.
ε
Порядок астатизма дискретной следящей системы определяется
количеством суммирующих звеньев или, что одно и то же, количеством сомножителей вида (1 – z
–1
) в передаточной функции разомкну-
той системы:
11
*
Wz
ν
*
()
Wz
==
−ν − −ν+ − −ν
11 11 1
−−+−++−
zzaaz az
bb z b z
+−++ −
01
νν+
−−
(1 ) ... (1 )
1
В этом случае при значении z = l функция K
m
*
(z) примет значение,
ν
m
n
n
равное коэффициенту преобразования разомкнутой системы:
Wk
==
νν
,
и, следовательно, можно записать:
*
()
ε= −
lim(1 )
уст
→
z
1
что позволяет определять ε
11
−ν+
z
для системы с различным порядком
уст
xz
−ν
1
−+
(1 )
,
астатизма при воздействиях типа
x(t) = x
ν
tν.
При подаче на вход статической системы (ν = 0) воздействия
х(t) = х
1(t), где х0 – постоянная величина с размерностью процесса
0
х(t), можно определить:
*
()
xz
0
=
1
,
−
−
при этом установившаяся ошибка в системе принимает значение
1
ε= − =
уст
z
→
−
z
1
(1 )
−
1
00
−
1
11
++
z
Если такой же сигнал подать на систему с астатизмом первого порядка (ν = 1), то
x
12
−
88
ε= − =
уст
z
z
→
1
0
−−
11
zzk
1(1)
−−+
1
1
При подаче на эту систему воздействия x(t) = x
12
(1 )
lim(1 ) .
n
Tz x xT
k
11
() ,
22
2
.nxT
k
!
xt
ν
ν
2
xT
k
ννν
11
1
!
xt
ν
ν
(t), где x1 – постоян-
1
ная с размерностью скорости сигнала х(t), имеющего z-изображение
1
−
*
()
xz
Tz
n
=
−
,
−
z
выражение для ошибки примет вид
1
−
ε= − =
уст
→
z
1
12
z
−
11
−−
12 1
−−+
(1 ) (1 )
zzk
1
1
n
1
Аналогично можно показать, что при подаче сигналов x(t) = x
x(t) = x
1(t) на систему с астатизмом второго порядка (ν = 2) устано-
0
(t) и
1
вившаяся ошибка будет равна нулю. Если воздействие задано в виде
() или
где х
– постоянная с размерностью ускорения функции х(t), то уста-
2
xt xt xiT==
2
2
n
новившееся значение ошибки составляет
ε=
уст
2
2
Полученные результаты нетрудно обобщить для систем с астатизмом любого порядка и убедиться, что при подаче на систему с
астатизмом ν-го порядка воздействия вида
ν
()
xt
=
установившаяся ошибка будет составлять
ε=
уст
.
Астатические системы ν-го порядка не будут иметь ошибок установившегося режима при подаче на них воздействий вида
если ν
< ν.
1
()
xt
ν
=
,
89
В том случае, когда регулярные воздействия описываются более
( ) (1 ) (1 ) ...
()()()
z
xz
... ( ... )( ...)
χ
χ
χ
общими выражениями, для анализа ошибок установившегося режима
удобно, как и для непрерывных систем, использовать коэффициенты
ошибок. Методика решения задачи заключается в следующем.
Передаточная функция ошибки K
11
−−
(1 ) ... (1 )
aa z a z
* 112
Wz D D z D z
ε
+−++−
01
==+−+−+
cc z c z
+−++−
01
11
−−
(1 ) ... (1 )
n
n
*
(z) представляется в виде ряда
ex
n
01 2
n
−−
,
который сходится, если z→1 (i→∞), т.е. если рассматривается уста-
*
новившийся режим. Так как
*
Wz
ε
ε
=
, то можно определить
*
изображение ошибки
ε
*
(z) = D0 x*(z) + D1(1 – z–1) x*(z) + D2(1 – z–1)2 x*(z) + ...
и ее оригинал
ε(iT
) = D0 x(iTn) + D
n
Обратное z-преобразование от изображения вида (1 – z
ответствует k-й конечной разности D
x(iTn) + D
1Δ1
x(iTn) + ... . (4.54)
2Δ2
x(iTn). Составляющие этого
kΔk
–1
)kx*(z) со-
вида в выражении (4.54) являются ошибками по k-й конечной разности, а коэффициенты D
– коэффициентами ошибок по соответст-
k
вующей конечной разности. Ряд ошибки сходится, если конечные
разности убывают по абсолютной величине с ростом номера их порядка. Практическое применение ряда ошибки имеет смысл, если его
составляющие убывают быстро (можно ограничиться лишь несколькими первыми членами), что имеет место при «медленных» значениях функции х(iT
), т.е. в том случае, когда огибающая является мед-
n
ленно меняющимся воздействием.
Таким образом, предпосылками описываемого метода расчета
ошибок являются наличие установившегося режима и узкополосность спектра воздействия, а суть его сводится к вычислению конечных разностей Δkх(iT
) и коэффициентов ошибок Dk. Для упрощения
n
вычислений вводят подстановку
χ = 1 – z
–1
,
и тогда можно записать:
aa a cc c DD D+χ++χ=+χ++
01 01 0 1 2
nn
nn
+
2
+
+ . (4.55)
Сравнивая в выражении (4.55) коэффициенты при одинаковых
степенях χ, можно определить:
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]