Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
() () ... () ()
() () ... () ().
mm
yk yk yk yk
xk xk xk xk
() (1) ( )
xk xk n r
n
r
() ( 1) () (1) ()
xk E xk E xk
αΔ +α Δ + +αΔ +α =
mm
mm
=β Δ +β Δ + +βΔ +β
mm
1
−
110
−
1
−
110
−
(3.3)
Прямой и обратный разностные операторы. С помощью урав-
нений в конечных разностях оперируют с функциями дискретной
переменной. Оператор сдвига E определяется в виде
E[x(k)] = x(k + 1).
Последовательное применение этого оператора дает выражение
E
2
[x(k)] = E[Ex(k)] = x(k + 2),
или, в общем случае, выражение вида
E
n
[x(k)] = x(k + n), (3.4)
для любого положительного целого числа n.
Разностный оператор Δ определяется как Δx(k) = x(k + 1) – x(k),
поэтому можно записать:
Δx(k) = (E – 1)x(k),
где операторы Δ и E связаны соотношением
Δ = E – 1. (3.5)
Δx(k) называется первой разностью функции x(t). Разности
высше-
го порядка определяются следующим образом (графическая иллюстрация приведена на рис. 3.3):
2
Δ
Δ
x(k) = Δ[Δx(k)] = x(k + 2) – x (k + 1) + x(k);
3
x(k) = Δ[Δ2x(k)] = x(k + 3) – x(k + 2) + x(k + 1) – x(k)
или, в общем случае, соотношением
n
∑
r
=
0
где
nr
Δ=− +−
⎛⎞
означают биномиальные коэффициенты.
⎜⎟
⎝⎠
Выражение (3.6) совместно с уравнениями (3.4) и (3.5) позволяет
получить выражение для определения разности n-го порядка:
nn rnr
Δ=− =−
n
⎛⎞
⎜⎟
r
⎝⎠
n
∑
r
=
0
n
⎛⎞
⎜⎟
r
⎝⎠
, (3.6)
−
.
11
Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация конечных разностей
( ) ( ) ( 1) ( 2) ... ( 1) ( ),
xn xn k Cxn k C xn k xn
(1)( 1)
.
d
dpt
Операторы E и Δ подчиняются обычным законам алгебры:
Δ[cx(k)] = cΔx(k);
m
Δ
Δ
[x(k) + z(k)] = Δmx(k) + Δmz(k);
m Δn
x(k) = Δn Δmx(k) + Δ
m+n
x(k),
где c – постоянная величина; m и n – положительные целые числа.
Уравнение (3.6) остается справедливым при замене оператора Δ
на E. Операторы коммутативны между собой, но в общем случае не
коммутативны с функциями:
Δ[x(k)z(k)] ≠ x(k)Δz(k).
Преобразовать вид разностного уравнения можно с
помощью
формул:
=
0,1, 2,...,
k
1
k
+= +Δ ++Δ
( ) () () ... ();
xn k xn C xn xn
k k
Δ=+− +−+ +−−+−
kk k m
где
m
C
k
−⋅⋅⋅ −+
=
12
kk
m
!
k
Оператор Δ для дискретных функций является своего рода аналогом дифференциального оператора
= для непрерывной функ-
ции f(t), производная от которой равна
12
0
d()()
txtTxt
d()
txt
d()
txt
[ ( ) ( )] ( 1) ( ) ( ) ( );
() () () () ()
.
х kzk xk zk zk xk
pxt xttc x K
0
t
⎡
⎣
→
+−
.
=
lim
T
d
tT
Если функция рассматривается только в дискретные моменты
времени x = nT (n = 0, 1, 2, …), оператор сдвига и разностный оператор определяются в виде
Ex(t) = x(t + T); Δx(t) = x(t + T) – x(t),
тогда
mm
mm
d
tT
Δ
=
lim
0
→
T
,
или, в общем случае,
mm
mm
d
tT
Δ
=
lim
0
→
T
.
Существуют различные формулы, подобные обычным формулам
дифференцирования, но не идентичные им, например следующие:
Δ=+Δ+Δ
⎡⎤
xk zk xk xk zk
Δ=
⎢⎥
zk zkzk
() ()( 1)
⎣⎦
Оператор, аналогичный интегральному оператору ∫, имеет вид
1
−
[()] ()d ()d
=+=λλ+
∫∫
где c и K – постоянные интегрирования. Нижний предел t
вольный и формирует часть постоянной интегрирования, а именно:
cK xtt
=−
Выражение
y(t) = p
является общим решением уравнения
px(t) = x(t).
Δ−Δ
+
t
t
0
⎤
∫
()d
–1
[x(t)]
.
t
=
⎦
,
– произ-
0
13
Соответственно
() [() ( 1) ... (0) ]
xk xn K
⎡
⎢⎥⎣
() () ( 1)
xk xn c xn c
(1)
(1)!
pp
По аналогии обратный разностный оператор Δ
–1
x(t) = x(t).
–1
должен иметь та-
кой вид, чтобы выражение
x(k) = Δ
–1
f(k)
являлось общим решением уравнения
Δy(k) = f(k) (3.7)
или, соответственно, чтобы удовлетворялось равенство
Δ Δ
–1
x(k) = x(k). (3.8)
Так как
1
k
−
⎡⎤
xn K xk xk x K
Δ+=+−+++−
∑
⎢⎥
0
n
=
⎣⎦
[ ( 1) ... (0) ] ( ),
−−+++=
xk x K xk
то обратный разностный оператор, удовлетворяющий уравнениям
(3.7) и (3.8), имеет вид
1
k
1
−
() ()
Δ= +
∑
n
−
0
=
⎤
.
⎦
Обратный оператор можно переписать так:
1
nk nk
1
−
Δ= +=−+
=− =
∑∑
00
nn
==
Выполняя аналогичные выкладки, можно получить формулу для
суммы произвольной кратности m:
k
−
1
n
−
3
⋅⋅⋅ =
∑∑∑
000
kkk
===
21
m
Понятия разности и суммы вводятся без изменения и для смещен-
ных решетчатых функций; в этом случае
Δx[n, ε] = x[n + 1, ε] – x[n, ε];
14
.
1
1
k
−
2
k
m
+
n
1
m
.
+
1
[,] [,]
Xn xk
() ( 1)... (1) ()()
xk n a xk n axk axk Fk
...
β
β
n
−
ε= ε
∑
0
k
=
.
Разностные уравнения называют также рекуррентными формула-
ми. Неоднородное разностное уравнение можно переписать в виде
+=− +−++ ++ −
1
[]
110
n
−
a
n
. (3.9)
Используя этот алгоритм можно последовательно найти решение
уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение n-го порядка содержит
n линейно независимых решений.
В общем виде решение уравнения (3.9) можно представить как
x
– произвольные постоянные, не зависящие от k.
где C
i
= C1x1(k) + C2x2(k) + … + Cnxn(k),
0
Общее решение уравнения (3.9) имеет вид
x = x
+ xч.
0
Физический смысл частного и вспомогательного решений.
Пусть взаимосвязь между входом и выходом системы задается разностным уравнением
A(E)x(k) = B(E)y(k) = F(k).
Вид вспомогательного решения зависит только от параметров
системы, в частности, от корней характеристического уравнения
A(β) = 0.
В случае различных значений корней β
, β2, …, βn вспомогатель-
1
ное решение
xC C=
011 22
kk
+
+
неограниченно возрастает при стремлении k к бесконечности в том
случае, если хотя бы один из корней имеет значение, большее единицы. Если корни характеристического уравнения представить на комплексной плоскости, то корни внутри и вне единичного круга, проведенного вокруг начала координат, отвечают составляющим, стремящимся соответственно к нулю и
к бесконечности при неограничен-
ном увеличении k. Простые корни на единичном круге соответству-
15
ют составляющим постоянной величины, а кратные корни на еди-
()
xt
()pxt
ничном круге соответствуют неограниченно возрастающим составляющим.
В случае отсутствия внешних источников вспомогательное решение совпадает с общим решением, поэтому его называют свободным,
или невынужденным движением. Если вспомогательное решение
неограниченно возрастает, т.е. если корни характеристического
уравнения лежат вне единичного круга, а
кратные – на единичном
круге, то система неустойчива.
Произвольные постоянные во вспомогательном решении зависят
от начальных или граничных условий, характеризующих предысторию системы, и от входного сигнала. Они могут быть вычислены
лишь после нахождения вспомогательного и частного решений.
Вид частного решения зависит от входного сигнала, поэтому его
называют также вынужденным движением.
Если все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, то вспомогательное и частное решения совпадают соответственно с переходным и установившимся процессом.
Решетчатая функция
физически нереализуема: она служит
δ
лишь удобной формой представления последовательности реальных
импульсов
. Введение идеального квантователя, формирующего
δ-импульсы, позволяет значительно упростить математический аппарат, используемый для описания процессов прохождения дискретных
сигналов через линейные динамические звенья. На рис. 3.4 приведена структурная схема системы с импульсным элементом (квантователем). Предполагается, что площади реальных и соответствующих
им идеальных импульсов одинаковы.
Рис. 3.4. Структурная схема системы с импульсным элементом
Таким образом, эффективный математический метод описания
дискретных функций основывается на замене последовательности
импульсов х
(t) решетчатой функцией, состоящей из идеальных им-
р
пульсов. Идеальный импульс определяется как
16
0 при
0;
0,
()d 1c
0
() () () ( )
xt xt xth tkT
00
() () ( )( )
xt xth xkT t kT
00
() ( ) ( )
xt xkT t kT
()()()
Zs
Ns
⎧
δ=
⎨
∞=
⎩
tt≠
,
при
а его площадь равна
∞
tt
δ=
∫
−∞
.
Если продолжительность замыкания ключа значительно меньше
такта квантования, т.е. hKТ
импульсы последовательности хp(t),
0
имеющие площадь х(t)h, можно приближенно заменить идеальными
импульсами δ(t) той же площади:
∞
≈= δ−
p
δ
∑
k
=
0
. (3.10)
Учитывая, что последовательность идеальных импульсов опреде-
лена лишь в моменты времени t = kТ
, k = 0, 1, 2, ..., уравнение (3.10)
0
можно переписать в виде
∞
=δ−
δ
∑
=
k
0
.
При анализе динамических систем с одинаковыми, синхронно работающими ключами на входе и выходе продолжительность замыкания h не учитывается. Фактически эта величина не влияет на конечный результат, если за ключом стоит экстраполятор. Поэтому ее
можно выбрать произвольно, например, положить для простоты
h = 1 с. В этом случае последовательность идеальных
импульсов опи-
сывается выражением
∞
*
=δ−
∑
0
k
=
. (3.11)
В уравнении (3.11) выходные сигналы квантователя умножаются
на идеальные импульсы δ(t – kТ
При выводе этого уравнения использовались следующие допущения:
а) h << Т
;
0
б) выходной сигнал квантователя поступает на линейную реализуемую систему
Gs
= .
).
0
17
3.3. Дискретное преобразование Фурье
2
T
kjt
kjt
() d () d
xte t xt e e t
⎡
⎢⎥⎢⎥⎣
k
TT
2СT
2
T
Частотный спектр конечной последовательности x[nT] на периоде
ω≤
π
Д
в дискретных точках может быть получен с использованием
дискретного преобразования Фурье.
Немодулированную последовательность импульсов можно запи-
сать в виде
2
∞∞
()
xt kT e
−=
∑∑
0
kk
==−∞
1
T
π
T
или для дискретного набора данных:
*
() ()
xt xt e
Умножим обе части равенства на e
1
=
T
k
T
∑
=−∞
.
–st
, после чего проинтегрируем
2
π
∞
их в пределах от нуля до бесконечности:
2
k
∑
=−∞
∞
π
⎤
jt
T
⎦
,
∞∞
∫∫
00
−−
*
st st
=
1
T
k
откуда следует соотношение
∞
12
*
Xs Xs j
=+
()
⎛⎞
∑
⎜⎟
⎝⎠
k
=−∞
π
.
При определении частотного спектра дискретного сигнала необ-
ходимо произвести симметричную замену переменных.
В соответствии с теоремой Котельникова спектр конечного дискретного сигнала полностью определяется последовательностью
своих отсчетов в частотной области, взятых с интервалом Δω, где
На основании последнего соотношения для дискретного сигнала
длительности T
= NT можно определить минимально достаточное
С
количество равноотстоящих отсчетов спектра на периоде
18
Δω ≤
π
.
π
ω≤
Д
:
::.
N
ω
( ) () () () ,
( ) ( ) , 0,1, ..., 1.
22 22
ππ π π
Д
Следовательно, на периоде ω
== =
TT TNT
Δω
С
непрерывный спектр X(e
Д
jωt
) конеч-
ной последовательности длины x[nT] полностью определяется после-
jXeω
довательностью своих
ω
. По этим отсчетам гарантируется возможность точного восста-
Д
Д
равноотстоящих отсчетов на периоде
новления непрерывного спектра.
Это позволяет заменить в преобразовании Фурье вычисление непрерывного спектра X(e
в N дискретных точках на периоде ω
−−−
NNN
Δω − Δω
jT jkTn
Xe xnT e xnTe xnTe
=−
0,1,..., 1.
kN
111
===
∑∑∑
===
nnn
000
jωt
) на интервале ∞ < ω < ∞ его вычислением
:
Д
22
ππ
−−
jk Tn j nk
NT N
Построение частного спектра проиллюстрировано на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Частотный спектр дискретного процесса
В практических расчетах дискретных спектров применяется нормированное время, переход к которому позволяет записать следующее соотношение:
2
N
−
jT
Δω
Xe xne k N
1
==−
∑
=
0
n
π
jnk
−
N
Дискретным преобразованием Фурье называется пара взаимно
однозначных преобразований:
19
– прямое преобразование (ДПФ)
() () , 0,1,..., 1
[ ] ( ) , 0,1,..., 1
k
()
1
N
−
Xk xnW k N
==−
∑
=
0
n
–
обратное преобразование (ОДПФ)
xn X kW n N
N
−
1
==−
∑
N
=
k
nk
N
1
0
nk
−
N
;
,
где
x[n], n = 0, 1, …, N – 1 –
(
вещественная или комплексная);
X(k), k = 0, 1, …, N – 1 –
последовательность во временной области
дискретные коэффициенты Фурье (вещественные или комплексные) – один период последовательности в
частотной области; k – номер отсчета последовательности X(k), соответствующий частоте kΔω;
π
2
nkNj
−
nk
eW
= – поворачивающий множитель, получивший свое
N
2
π
jn
−
название в связи с тем, что аргумент экспоненты
N
e
отображает
угол поворота на единичной окружности комплексной z-плоскости.
Последовательности x[n] и X(k) называют N-точечными. Отсчеты
последовательности X(k) называют отсчетами ДПФ.
ДПФ описывает алгоритм вычисления N-точечной последова-
тельности X(k) в частотной области, а ОДПФ – алгоритм вычисления
N-
точечной последовательности x[n] во временной области.
ДПФ справедливо как для периодической, так и для конечной последовательности, причем результат вычислений в обоих случаях
будет одинаковым, однако его трактовка – различной, а именно:
•
в случае периодической последовательности:
– N-
точечная последовательность x[n] – это один период данной
последовательности;
– N-
точечная последовательность X(k) – это N комплексных гар-
моник периодического спектра на периоде;
•
в случае конечной последовательности:
– N-
точечная последовательность x[n] – конечная последовательность длины N (формально это один период периодической последовательности);
– N-
точечная последовательность X(k) – N равноотстоящих отсче-
jT
тов непрерывного периодического спектра
Xe
ω
на периоде ωД.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]