Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
что дискретная функция точно отобразит непрерывную функцию,
1, 2, ...,
yt y m n
TTq
1
3c
1KTs
1
KBT
0,85 c
т.е. потери информации при квантовании не будет:
2
π
m
() ,
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
где
2
ω
.
На основании этого имеется возможность задавать минимум пе-
риода квантования T
таким образом, чтобы восстанавливались
0min
компоненты сигнала с частотами вдвое большими максимальной
частоты ω
:
ср
2
ππ
==
0min
2
ω
ср
. (5.37)
Выбор величины θ в выражении (5.36) является в некоторой степени произвольным. Приняв значение θ = 31, обеспечим восстановление сигнала на выходе объекта с достаточно высокими гармоническими составляющими.
Пример 5.1. Определить оптимальный период квантования в системе НЦУ с ПИ-регулятором, параметры которого равняются
K
= 1,22; TИ = 30 с. Частотная передаточная функция объекта регу-
P
лирования имеет вид
K
1
,
= 30 с.
1
W
=
O
jT
ω+
где K = 0,7038; T
При этом необходимо обеспечить точность регулирования в установившемся режиме ε = 2 %.
Решение
1.
Определим T
T
30
1
T ===.
0
10 10
2.
Применим для определения метод B-характеристик. По таблице
по приближенному критерию:
0
находим для звена
1
мальный период квантования:
(0,02 30)
T
0min
ε⋅
== =
B
max
0,7038
значение
+
= . Далее находим мини-
max
.
131
1
() 0,02
2,2 c.
(1)
(1)(1)
(1)
21
17,32
1,154; 0, 289
7,978 8c.
3. Определим период квантования согласно критерию Джури. Для
этого определим частотную передаточную функцию замкнутой системы:
⎛⎞⎛⎞
1
1
K
+
⎜⎟⎜⎟
P
jT jT
()()
Dj W j
ωω
O
1()()
Dj W j
+ω ω
=
()(1)
KK T T jT KK
O
KK jKK T
−ω+ +
P1ИИP
==
11
K
++
+ω
PPИ
2
ωω+
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
P
⎝⎠⎝⎠
H1
1
jT jT
ωω+
,
K
1
K
H1
откуда получим
22 22 2
KK KKT
+ω
yj
ω= =
()(1)
KK T T T KK
P1
PP
−ω+ +
22 2 2
ИИP
Решая полученное уравнение, находим частоту ω
И
.
= 1,425, после
k
чего оптимальный период квантования по критерию Джури будет
равен
Tπ==
0
ω
H
Пример 5.2. Определить оптимальный период квантования в сис-
теме НЦУ, если объект управления имеет передаточную функцию
KTs
+
W
=
O
1
Ts Ts
++
23
в которой K = 0,7038, T
,
= 5, T2 = 30, T3 = 10.
1
Решение
Представим W
()
Ws
=
O
где
TTT==,
Ts Ts
23
в следующем виде:
О
KbTs
22
+
+ν +
ν= = = =
,
TT
23
2
TT
T
1
b
.
Решая уравнения при θ = 31 определяем q = 6,82. Тогда мини-
мальный период квантования будет равняться
T
132
T
0min
ππ⋅
q
17,32
6,82
5.7. Алгоритмы синтеза регуляторов НЦУ
() ()
() 1 () ()
DsW s
Gs DsW s
1()
() 1 ()
Hs
Ws Hs
() ( )
s
В
практике автоматического регулирования металлургическими
процессами обычно используют дискретные эквиваленты непрерывных ПИ- и ПИД-регуляторов. Рассмотрим контур управления, не
принимая во внимание различия между непрерывной и дискретной
формами представления информации. Для непрерывного регулятора
используется преобразование Лапласа, а для дискретного варианта
используется z-преобразование с целью получения дискретной передаточной функции.
Передаточная функция замкнутой системы H(s) по каналу «уставка регулятора G – выходная величина Y» определяется согласно выражению
()
Hs
Ys
==
()
+
O
.
O
Если H(s) задана при исходных данных для проектирования, то
основная формула синтеза регулятора имеет вид
()
Ds
==
O
−
. (5.38)
Эта формула справедлива для любой системы по отклонению. Передаточная функция H(s) должна быть выбрана таким образом, чтобы регулятор был физически реализован (при H = 1 D = ∞ и регулятор реализовать невозможно).
Основная формула синтеза (5.38) чаще всего используется для
проектирования аналогового регулятора и эквивалентного цифрового
регулятора.
Аналоговые регуляторы. Время «чистого» запаздывания τ процесса должно быть скомпенсировано временем запаздывания в передаточной функции H(s), чтобы избежать «предсказывающих» элементов в D(s). Если H(s) выбрано в виде апериодического звена с
«
чистым» запаздыванием, то выходная координата y(t) при переход-
ном процессе имеет апериодический характер:
λ
−τ
.
+λ
133
()
Hs
Ys e
()
==
Gs s
[(1 )]
s
()
A
sA
A
KA s
KA
1TA
()
s
sA
() ( ) ()
ut ut Aet
{[( 1) ] [( 1) ]}
При этом алгоритм управления регулятора имеет вид
s
−τ
Ds
e
==
()
Ws
()
O
λ
se
+λ −
. (5.39)
−τ
Запаздывание τ в числителе (5.39) компенсируется запаздыванием
в передаточной функции WО объекта, однако в знаменателе (5.39) все
же содержится параметр e
–τs
, что осложняет реализацию аналогового
регулятора. Если τ = 0 (процесс первого порядка), то алгоритм управления определяется следующим образом:
()
Ws K
Ds
=
O
λ
() 1
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
;
+
,
что соответствует ПИ-закону регулирования с коэффициентом усиления
λ
K
Р
и временем интегрирования
=
.
=
И
Цифровой эквивалент аналогового регулятора. Цифровой регулятор с дискретизатором и экстраполятором нулевого порядка используется для замены аналогового регулятора. Алгоритм регулятора
НЦУ может быть получен посредством разностной аппроксимации
уравнения регулятора; например, при передаточной функции объекта
−τ
()
Ws K
O
Ae
=
, (5.40)
+
путем подстановки уравнения (5.40) в (5.39) можно записать дифференциальное уравнение аналогового регулятора:
ut et
d() d()
+λ − −τ = +
dd
tKAt
Это уравнение можно записать в разностной форме:
[][(1)]
unT u n T
−−
00
T
0
⎧⎫
enT e n T
λ
=+−
⎨⎬
KA T
⎩⎭
где N – наибольшее целое число периодов квантования T
134
λ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
un T un N T
+λ − − − − =
[][(1)]
−−
00
0
00
[( 1 ) ] ,
Ae n T
.
0
по времени τ.
0
(5.41)
Решая уравнение (5.41) относительно u[nT
[](1 )[(1)] [( 1)]
[1 (1 ) ) ]
Tz Tz KA
() () ()[ () ()],
Yz DzW z Gz Yz
() { () ()}
Wz ZWzWz
()
()
Yz
Gz
⎡
⎢⎥⎣
1
], получаем алгоритм
0
управления регулятора НЦУ:
unT Tun T Tun N T
=−λ − +λ − − +
00 00 0
λ
{ [ ] (1 ) [( 1) ]}.
enT AT e n T
+−−−
KA
000
(5.42)
Применяя к (5.42) z-преобразование, получим дискретную переда-
точную функцию регулятора НЦУ:
1
[1 (1 ) ]
()
Dz
=
λ− −
−−λ λ
00
Этот алгоритм хорошо работает при T
−−−
−
AT z
0
11
N
≤ 0,2/A, λ ≤ 0,4/ T0.
0
. (5.43)
Метод прямого синтеза регулятора НЦУ. Рассмотрим техноло-
гические процессы с самовыравниванием. Проектирование системы
управления включает в себя определение алгоритма цифрового регулятора, который обеспечивает желаемый переходный процесс в контуре НЦУ. Для разомкнутой части контура можно записать уравнение
где
ПЭO
=
=−
П
.
Это уравнение решается относительно дискретной передаточной
функции регулятора, аналогично выражению (5.39):
Dz
1()
=
()
W
П
()1
Gz
Yz
−
. (5.44)
⎤
⎦
Для многих металлургических процессов нежелательным является
колебательный переходный процесс управляемой переменной Y (например, температуры горячего дутья и содержания влаги в воздухе
печи, а также содержания углерода и температуры металла в сталеплавильных печах и др.). Поэтому предполагается, что в динамическом режиме желательный переходный процесс в контуре НЦУ является апериодическим, т.е. при подаче на уставку регулятора единичного ступенчатого возмущения замкнутый контур НЦУ ведет себя как непрерывная модель первого порядка с запаздыванием. Применив к выражению (5.43) z-преобразование, получим уравнение
T
() (1 )
Yz e z
=
()
Gz
−λ
−
1
ez
−
−λ
N
−−
0
T
, (5.45)
−
1
0
135
11
[1 (1 ) ]
() .
(1)
11
(1 )
0
()
NT
111
[1 (1 ) ]( )
Kez e z ccz
где λ – параметр, равный обратной величине от постоянной времени
замкнутого контура НЦУ (T
общ
).
Если подставить уравнение (5.45) в (5.44), то получим алгоритм
НЦУ в следующем виде:
T
()
Dz
1(1)
=
Wz
П
()
−λ −λ
ez e z
−−−
−λ
ez
−
TT
−−−
00
N
−−
1
0
.
N
При этом получаем параметр настройки λ, инвариантный к изме-
нению периода квантования T
.
0
Рассмотрим вариант, когда динамическая модель объекта пред-
ставлена апериодическим звеном первого порядка с запаздыванием:
s
−θ
Ws
O
Ke
=
Ts
1
+
Из этого уравнения определим импульсную передаточную функ-
цию ПНЧ объекта; после преобразования получим
N
()
где параметры c
aa
−−−
=− = − =−
1; ;здесь 1
cecee a
12
Wz
O
и c2 определяются по уравнениям:
1
TTT
000
TTT
211
Kc cz z
()
=
−−−
+
12
T
0
−
T
1
ez
−
, (5.46)
−
1
θ−
.
T
0
При этом Т – наибольшее целое число, получаемое при делении θ
на T
. При выводе уравнения (5.46) рассматривается случай
0
NT
≤ θ ≤ (n + 1)T0, т.е. когда запаздывание превышает несколько пе-
0
риодов квантования. Выражение для дискретной передаточной
функции регулятора НЦУ в этом случае имеет следующий вид:
T
0
−λ
T
()
Dz
=
−−− +
(1 )[1
−λ −λ
TT
−−−−
00
0
eez
−−
−
T
−
1
1
N
12
. (5.47)
Заметим, что дискретная передаточная функция регулятора НЦУ
(5.43)
при λ ≤ 1 является частным случаем более общего уравнения
регулятора (5.47). Величина λ физически аналогична в (5.43) и (5.47)
и может быть использована как параметр настройки. Время запаздывания τ должно равняться времени запаздывания в объекте.
Рассмотрим характеристическое уравнение дискретной переда-
точной функции (5.47). Если один из полюсов передаточной функ-
136
ции (5.47) будет находиться в окрестности z = –1, то при апериодиче-
1
( )[1 (1 )](1 )
Kc c N e z
( )[1 (1 )](1 )
(1 ) ( 1)
1.
(1 )
ском переходном процессе выходной координаты в контуре НЦУ в
управляющем воздействии будут проявляться затухающие колебания, которые являются крайне нежелательными для исполнительного
механизма. Для алгоритма эти затухающие колебания могут быть
результатом проявления любого значения коэффициента в знаменателе, коэффициент (c
z = – c
Коэффициент [1 – (e
+ c2z–1) при этом имеет полюс
1
.
–λT
)z–1] может быть записан следующим обра-
0
2/c1
зом:
TT T
−λ −λ −λ
−−−− −
1111
[(1 ) (1 ) ] (1 )[1 (1 )
00 0
ez ez z ez
−−− =−+−+
−λ −λ
(1 ) ... (1 ) ].
ez ez
+− ++−
N
TT
−−
2
00
N
Предполагаемые запаздывания колебаний в управляющем воздействии в общем случае можно исключить, если подставить z = +1 в
коэффициенты знаменателя полученного выражения. Алгоритм
управления в этом случае имеет следующий вид:
T
0
T
−λ
()
Dz
=
(1 )[1 ]
++− −
12
0
eez
−−
−
−λ
T
1
−
1
T
0
.
−
Рассмотрим теперь настройку коэффициентов регулятора НЦУ,
работающего по данному алгоритму. Если подставить значение коэффициентов c
и c2 в полученное уравнение, то его можно выразить
1
в следующем виде:
T
0
−λ
T
()
Dz
==
Kc c N e z
(1 )( 1 1)
==
=+
T
−
T
Ke N e z
( 1)[1 (1 )](1 )
T
−
T
Ke N e
(1)[1(1 )]
(1 )(1 )
++− −
12
−λ
T
0
eez
−−+−
0
1
−+ − −
ee
−−
0
1
−+ −
0
eez
−−
T
0
−
T
1
−λ
T
0
−
T
−
1
1
−λ
T
0
−
1
−λ
T
0
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−λ
T
0
⎝⎠
−
1
−
1
T
0
−
T
1
−
1
z
−
(5.48)
137
(1 )
⎡
⎢
⎣
(1)[1(1 )]
(1)
(1)(1)
Общее представление дискретной передаточной функции в форме
z-
преобразования пропорционально-интегрального регулятора НЦУ
имеет следующий вид:
() 1
=+
Dz K
P
T
Tz
И
⎤
0
−
. (5.49)
⎥
1
−
⎦
Сравнение соответствующих коэффициентов в выражениях (5.48)
и (5.49) приводит к соотношениям для определения значений коэффициента усиления и времени интегрирования дискретного ПИрегулятора как функции от коэффициента усиления объекта, постоянной времени, периода квантования и времени чистого запаздывания:
T
λ
K
P опт
=
Ke N e
T
0
(1 )
T
0
−
T
1
−+ −
=
опт
0
e
−
T
0
T
−
e
. (5.51)
0
T
1
−
; (5.50)
T
−λ
0
Посредством цифрового моделирования контура НЦУ по определенной программе установлено, что при настройках в соответствии с
выражениями (5.50), (5.51) управляющее воздействие u(t) при изменении динамического режима объекта совершает монотонный переходный процесс. Таким образом, на основе «прямого» синтеза регулятора НЦУ показано, что для управления объектом первого порядка
с запаздыванием в режиме НЦУ оптимальным является ПИрегулятор, коэффициенты которого определяются в соответствии с
выражениями (5.50), (5.51).
Рассмотрим вариант, когда динамическая модель объекта управления аппроксимируется апериодическим звеном второго порядка с
«
чистым» запаздыванием:
s
−θ
Ws
()
O
=
Ke
Ts Ts
++
12
.
138
В этом случае дискретная передаточная функция ПНЧ объекта
11
[1 ][1 ]
ez ez
() ,
[1 (1 ) ]( )
(1 )[1 (1 ) (1 ) ... (1 ).
управления, определенная на основе уравнения (5.32), после преобразований будет иметь вид
11
N
()
Kc cz z
()
Wz
П
=
34
TT
−−
TT
−−
−−−
+
00
−−
12
. (5.52)
В этом случае дискретная передаточная функция регулятора НЦУ
примет вид
TT
00
−λ
T
Dz
=
(1 )(1 )(1 )
Kez e z ccz
−−− +
где 1;
с e
4
0
eezez
−− −
−λ −λ
TT
−−−−
111
00
с
=+
3
TT
00
−−
TT
12
=+
−−
TT
−−
11
12
N
34
TT
00
−−
TT
21
Te Te
−
22
TT
−
12
TT
00
−−
TT
21
Te Te
−
22
TT
−
12
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(5.53)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
Рассмотрим характеристическое уравнение дискретной передаточной функции (5.53). Так же как и при управлении объектами первого порядка для алгоритма НЦУ (5.53) в переходном процессе могут возникать затухающие колебания. Эти колебания вызываются
полюсами характеристического уравнения в окрестности z = –1, связанными с любыми коэффициентами в знаменателе (5.53). Коэффициент (c
+ c4z–1) может обусловить существование полюса
3
z = –c
4/c3
.
Запишем второй коэффициент знаменателя (5.47) следующим образом:
TT
−λ −λ
−−−
11
[1 (1 ) ]
−−− −
112
zezez ez
=− +− +− ++−
00
ez e z
−−− =
TT T
−λ −λ −λ
00 0
N
Это выражение имеет корень z = + 1. Приравнивая в знаменателе
выражения (5.53) z = + 1, можно получить алгоритм управления, свободный от затухающих колебаний в управляющем воздействии:
.
N
139
() ,
11 .
ee
() [1
.
0
[]
TeiT
() 1 (1 )
⎡
⎢
⎣
TT
00
−λ
T
Dz
(1 )(1 )(1 )
=
0
eezez
−− −
[1 (1 )](1 )
Kc N e z
5
⎛⎞⎛⎞
при этом
⎜⎟⎜⎟
с
=− − =+
534
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
−−
TT
−−
11
12
−λ
T
+− −
−−
0
TT
00
TT
12
−
1
сс
⎫
⎪
⎪
⎪
(5.54)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Посредством подстановки выражений для c
и c4 преобразуем
3
уравнение (5.54) к следующему виду:
TT
00
⎛⎞
TT
12
⎜⎟
ee e
+− −
⎜⎟
=+
Dz
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
11
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
++
TT TT
00 00
⎛⎞⎛⎞
TT TT
12 12
⎜⎟⎜⎟
ee z ee
+− − +−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
TT
00
⎛⎞⎛⎞
TT
12
⎜⎟⎜⎟
11[1(1)]
Ke e N e
−−+−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
TT
00
−−
TT
12
ee
2(1 ) 2
2(1 )
−
1
T
−λ
0
−
(1 )
z
−
−λ
T
0
⎤
⎥
1
⎥
⎥
(5.55)
⎥
⎥
⎥
⎦
Если представить интегральную составляющую как
T
0
n
∑
И
i
1
=
,
то общее представление дискретной передаточной функции ПИДрегулятора НЦУ в форме z -преобразования примет вид
=+ +−
Dz K z
P
Tz
(1 )
И
На основе выражений (5.55), (5.56) можно заключить, что для управления объектом второго порядка с запаздыванием в режиме НЦУ оптимальным является ПИД-регулятор НЦУ. Сравнение соответствующих
коэффициентов в выражениях (5.55) и (5.56) дает основные соотношения для оптимальной настройки ПИД-регулятора НЦУ.
140
T
0
−
T
Д
1
−
T
0
⎤
1
−
. (5.56)
⎥
⎦
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]