Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Решение
t
xt e
() , 0,1,2,...
0
() ( )
xt xkT
() ()d
xt wt t
000
() ().
xkT Tw T
000
() ( ) [ ( ), ]
xt xkT fwT T
000
(( 1) ) ( )
xk T TwT
00 0
(( 1) ) ( ) ( )
xk T xkT wkT
(1) () ()
xk axk bwk
() ( 1) ( 1)
а) В результате квантования непрерывная функция времени
−α
()
=
преобразуется в дискретную по времени функцию (1 = kТ
kT
−α
xkT e k
0
==
.
):
0
Таким образом, эти функции связаны явным соотношением:
=
T
.
б) Операция интегрирования
t
1
=
∫
T
0
выполняется численно путем аппроксимации функции w(t) ступенчатой функцией. При этом интеграл заменяется суммой:
1
k
−
1
=ν
∑
T
ν=
0
Поскольку функция x(kT
) зависит от второй дискретной функции,
0
то в этом случае результат записывается в неявной форме:
==νν.
T
Для представления результата в явной форме рассмотрим следующий пример.
3.25. Из выражения, полученного в предыдущем примере, следует
соотношение
1
k
−
+= ν
1
∑
T
ν=
0
.
После вычитания имеем
+− =
или
++ = .
11
Уменьшив k на 1, приходим к окончательному соотношению:
xk axk bwk+−=−.
11
Это – линейное разностное уравнение первого порядка.
T
0
T
41
3.26. Преобразовать в разностное уравнение следующее диффе-
()
Twt
() ( 1) ()
xk xk wk
() ( 1) ()
x k xk xk
(1)() ()
xk xk wk
n
fn e
n
e
e
||
n
fn e
||
n
Fn e
n
e
e
e
11(1)
[] [] [] ;
ренциальное уравнение:
d()
xt
d
t
.
=
Решение
Заменяя дифференциал левой разностью, полученной при такте
квантования T
−−=
, получим выражение
0
T
0
.
T
Если для дискретизации применяется правая разность
′
Δ=+−
,
то получается уравнение
T
+− =
0
.
T
α
[]
3.27. Задана функция
=
. Найти сумму F[n].
Решение
Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии,
получаем:
−α
1
−
,
−α
1
−
[]
Fn e
здесь e
1
n
−
k
α
==
∑
k
0
=
–α
– знаменатель прогрессии.
3.28. Дана функция
[]
α
, где n – любое целое действитель-
=
ное число, n = 0, ± 1, ± 2, …; α > 0. Найти сумму
Решение
Выполним суммирование по отдельности для положительных и
отрицательных значений аргумента n:
−
1
n
k
Fn e
[]
+
Fn e e
[]
−
−α
==
∑
k
=
0
−∞ ∞
kk
===
α−α
∑∑
11
kk
=− =
−α
1
−
;
−α
1
−
α
e
,
−α
1
−
для положительных значений n = 0, 1, 2, … найдем
nn
−α −α −α −α −
ee ee
Fn F n F n
=+= + =
+−
42
−−−
−α −α −α
ee e
−− −
11 1
[]
=
(1)
∑
k
n
=−∞
α
.
для отрицательных значений n = –1, –2, … имеем
[] .
e
(2)
[] .
Fn k n
2
Fn k
111111
333223
[] .
Fn n n n n c
0,0
[ ] ( 1 ) ( 1 ) ( 1)(2 1).
n
n
Fn e e
== =
∑∑
=−∞ =−
kkn
∞
α−α
kk
α
e
−α
−
1
3.29. Для решетчатой функции f[n] = n, где n принимает значения
0, 1, 2, …,
найти первообразную функцию F[n].
Решение
1
n
−
(1)
nn
== =
∑
k
0
=
−
2
3.30. Пусть f[n] = n
2
. Найти первообразную.
Решение
1
n
−
Для нахождения суммы
[]
=
воспользуемся определением
∑
k
0
=
первообразной, в соответствии с которым
ΔF[n] = f[n] = n
2
.
Будем искать функцию, удовлетворяющую этому условию. Вычислим разности:
2
Δn
= (n + 1)2 – n2 = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n3 = 3n2 + 3n + 1;
2
= 2n + 1;
Δn
Δn = 1.
Выразим из этих равенств функцию n
nnn n n
=Δ − − +
23 3 2
=Δ −−=Δ − Δ − −=
1111
⎛⎞
32
nnnn
⎜⎟
3232
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
2
через первые разности:
откуда определим
1111
32
=−−++
3232
Постоянную c найдем из условия F[1] = 0:
1111
cc=−−++ =
.
3232
Искомая сумма определяется формулой
11111 1 1
Fn n n n n n n nn nn n=−−+= −− −= − −
32 2
32323 2 6
43
3.31. Найти двойную сумму
[] ( ).
Fn l k k
(3)
( 1)(2 1 3) ( 1)( 2) .
nn n nn n n
KK
Ts a s
K
TT
at
gt Ke
1
az
0,1333; 0,5866
{
}
() [ ]{ ()}] {()}
Gz Z L Gs ZGs
0
a
KKz
11 1 1
nl n n
−− − −
== = −
∑∑ ∑ ∑
00 0 0
kl k k
== = =
(1) 1
kk
−
22
2
Решение
11 1
[] ( 1)(2 1) ( 1)
Fn nn n nn
11 1 1
=−−−=−−=
26 6 3!
⎡⎤
=−−−−=
⎢⎥
26 2
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
3.32. Найти дискретную передаточную функцию для апериодиче-
ского звена без экстраполятора.
Решение
Апериодическое звено с передаточной функцией
()
Gs
==
1
++
1
где
==
aK
()
′
,
−
′
=
Подставим в это выражение t = nT
′
,
,
имеет импульсную переходную функцию
.
, получим дискретную переда-
0
точную функцию
∞
aT
q
−
∑
q
=
0
0
Gz K e z
() ( )
′
===
′
Kz
aT
−−
ze
0
−
b
0
1
+
1
.
Вычислим параметры этой передаточной функции при K = 1,
T = 7,5 c, T
bK a e
01
= 4 c:
0
K
′
=== =− =−
aT
−
0
T
.
Описанное выше преобразование можно условно выразить как
переход
1
==
−
=
tkT
0
.
Под символом Z{X(s)} подразумевается, что функция x(z), соответствующая x(s), отыскивается непосредственно по таблице zпреобразований, следовательно, можем записать
′′
() { ()}
Gz ZGs Z
== =
⎧⎫
⎨⎬
+
as
⎩⎭
ze
.
T
−
−
44
Если на входе непрерывной системы стоит экстраполятор нулево-
1()
zsas z a
(1 ) 0,4134.
[] 4 [] 5 [] 2[] 0
[] 4 [] 4 [] [] 0
[] 3 [] 3 [] [] 1
[] 2 [] [] 2
n
6
n
го порядка, дискретная передаточная функция импульсной системы
меняется следующим образом:
Ts
−
HG z Z H s G s Z g s z Z
== =− =
() { () () () 1
⎨⎬⎨⎬
⎩⎭
zGs
1()
−
⎧⎫
⎧⎫
=
Z
⎨⎬
zs
⎩⎭
.
0
−
eGs
ss
()
⎧⎫
−
1
⎩⎭
3.33. Найти дискретную передаточную функцию для апериодиче-
ского звена с экстраполятором.
Решение
Воспользуемся уравнением (3.25) и таблицей z-преобразований:
aT
−
()
HG z Z
(1 )
==
()
ze
−−−
== =
aT
−
−
eK
aT
−−
−
⎨⎬
()
⎩⎭
0
′
bz
1
0
a
−
1
+
−
az
1
1
.
1
′′
⎧⎫
11(1)
zKz ezK
zze
−−
(1)( )
0
aT
−
0
Подставив в полученное выражение значения параметров из пре-
дыдущего примера, получим:
aT
−
0
aT
K
0
0,5866;
′
a
ae
=− =−
1
be
=− =
1
3.34. Определить порядок разностного уравнения:
32
а)
fn fn fn fnΔ+Δ+Δ+ =;
432
б)
fn fn fn fnΔ+Δ+Δ−=;
32 3
в)
fn fn fn fn nΔ+Δ+Δ+=+;
32
г)
fn fn fnΔ+Δ+Δ=;
432
д)
[] 4 [] 6 [] 5 [] 2[] sin
fn fn fn fn fn
Δ+Δ+Δ+Δ+ = .
3.35. Задана решетчатая функция f[n] = a, где a – постоянная ве-
личина. Найти первую разность данной функции.
Решение
Δf[n] = f[n + 1] – f[n] = a – a = 0,
т.е. первая разность от постоянной величины равна нулю.
π
45
3.36. Дана решетчатая функция f[n] = an + b, где a и b – постоян-
n
fn e
22
[] ( 1);
[] ( 1) ( 1).
[] ( 1)
k
k
[ ] ( 1)...[ ( 1)]
( 1) ( 1)...[ 1 ( 1)] ( 1)...[ ( 1)]
2() ( 1) ( 1) ( 2)
(1) .
ные величины. Определить первую разность этой функции.
Решение
Δf[n] = f[n + 1] – f[n] = a(n + 1) + b – an – b = a.
Итак, первая разность от линейной решетчатой функции есть постоянная величина. Вторая разность от функции f[n] = an + b равна
нулю:
2
Δ
f[n] = Δa = 0.
3.37. Определить разности решетчатой функции f[n] = an
2
.
Решение
Δf[n] = (n + 1)
2
f[n] = Δf[n + 1] – Δf[n] = 2(n + 1) + 1 – 2n – 1 = 2;
Δ
3
f[n] = 0.
Δ
Таким образом, вторая разность от степенной решетчатой функ-
2
ции n
есть постоянная величина, а разности более высокого порядка
2
– (n)2 = 2n + 1;
равны нулю.
3.38. Определить конечные разности экспоненциальной функции
α
[]
= .
Решение
(1)
nnn
fn e e e e
Δ= −= −
Δ=−Δ= −
α+ α α α
fn e e e e
αααα
nn
Продолжая процесс вычисления разностей, находим следующую
формулу для разности порядка k:
n
fn e e
Δ= −.
αα
3.39. Задана факториальная решетчатая функция
()
fn n nn n m==− −−
m
, где m ≥ 1 – некоторое целое число.
Вычислить разности факториальной функции.
Решение
Первая разность равна
()
m
n n nn n m nn n m
Δ =+ − +− −− − − −=
(1)
m
nn n m n n m mn
= − −− +−−− =
( 1)...[ ( 2)]{ 1 [ ( 1 )]} .
−
Далее получим
mm m m
nmnmnmmn
Δ=Δ =Δ =−
−− −
46
Для всех значений k, удовлетворяющих условию k ≤ m – 1, найдем
() () ()
(1)...[(1)] .
k
!
nmn
!
nm
[] [ 1] [] []
cn cn cn c n
([][]) [] [ ]
ϕψ
ψ
mmkkmk
nmm mkn mn
Δ=− −− =
−−
В частности, при k = m–1 имеем
1()
mm
−
Δ=.
При k = m получаем
()
mm
Δ=.
Разности более высокого порядка, очевидно, равны нулю.
Таким образом, формулы для определения разности для факториальных функций имеют тот же вид, что и формулы для определения
производных для обычных степенных функций.
Отметим, что определение конечных разностей является линейной операцией. Это следует непосредственно из определения конечной разности. Действительно,
kk kk
Δϕ=ϕ++ϕ=Δϕ
∑∑ ∑∑
ii ii ii i i
11 11
== ==
ii ii
где c
(i = 1, …, k) – постоянные коэффициенты.
i
,
Рассмотрим теперь разность от произведения двух решетчатых
функций ϕ[n], ψ[n]:
Δ(ϕ[n]ψ[n]) = ϕ[n + 1]ψ[n + 1] – ϕ[n] ψ[n].
Для разности произвольного порядка k справедлива следующая
формула:
k
k
⎛⎞
kk
nn n n
Δ
=ΔϕΔ
∑
ν=
0
ν−ν
⎜⎟
ν
⎝⎠
+ν
.
47
4. АНАЛИЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
ys K K
us Ts a s
1
az
0
a
zae
() ( 1) ()
yk ayk Kuk
4.1. Устойчивость линейных дискретных систем
Подобно
анализу непрерывных систем управления, анализ дис-
кретных систем заключается в исследовании их работоспособности,
основными показателями которой являются прежде всего устойчивость и качество управления.
Задача исследования устойчивости для дискретных систем, описываемых линейными разностными уравнениями, определяется на
основании поведения переходной функции общего решения однородного разностного уравнения исследуемой системы.
Линейная система называется асимптотически устойчивой, если
после конечного однократного воздействия она возвращается к своему положению равновесия. Для исследования устойчивости системы целесообразно применить способы, использующиеся в аппарате
непрерывных систем, основой которых является метод, базирующийся на анализе влияния расположения полюсов передаточной
функции на переходные процессы системы.
Полюса передаточной функции. Влияние расположения полю-
сов на плоскостях s и z на характер переходных процессов может
быть исследовано следующим образом.
Действительные полюса. Апериодическому звену с передаточной функцией
()
() 1
++
()
== =
Gs
′
,
на входе которого нет экстраполятора, соответствует дискретная передаточная функция
с полюсом в точке
Разностное уравнение, описывающее эту систему, имеет вид
48
Gz
()
xz z z
T
== .
11
−
−−=
1
() ()
yz K z K
== =
()
′′
−
−
1
1
′
−
1
.
С учетом того, что сигнал на входе системы отсутствует, т.е.
() ( 1) 0
(2) (1) (0);
.................................
0
a
zae
12
()()
() ( )( )
xs ssss
11,21
asaj
12
() ( )( )
xz ssss
0
a
u(k) = 0, k ≥ 0,
и начальное значение выходного сигнала y(0) ≠ 0, сис-
тему можно описывать однородным разностным уравнением
yk ayk−−=
1
и последовательность выходных сигналов имеет следующий вид:
(1) (0);
yay
=
1
yayay
==
yk a y
11
() (0).
k
=
1
2
Переходный процесс в системе сходится к нулю, а сама система,
следовательно, асимптотически устойчива только при условии
|a
| < 1. Полюса передаточных функций системы по различным аргу-
1
ментам s и по z связаны соотношением
== .
11
T
−
Из этого соотношения следует, что полюсам на плоскости s, расположенным в области –∞ < a < ∞, на плоскости z соответствуют полюса ∞ > z
тельный полюс, соответствующий отрицательному значению z
> 0. Таким образом, на плоскости s отсутствует действи-
1
.
1
Комплексно-сопряженные полюса. Система второго порядка с
передаточной функцией
22 22
Ka Ka
()
ys K
()
Gs
== = =
22 2 2
Ts DTs s a
21()
++++ω
+ω +ω
11
−−
1
,
где
D
=ω= =−±ω
2
,,
T
1
22
TD
−
(1 )
, без экстраполятора ну-
левого порядка на входе обладает дискретной передаточной функцией
22
⎛⎞
αω
()
yz
== =
()
Gz
⎜⎟
⎝⎠
222
−α ω +α+ω
zTz
Введем обозначение
+ω
a
1
KTz
(2 cos )
α=
sin
ω
1
10 1
10
Te−
.
Полюса этой дискретной передаточной функции определяются
соотношением
b
1
−−
.
49
10
T
() (2 cos )( 1) ( 2) 0
10
yy T
() cos )(0)
yk kT y
0
() ( )
12 0
() ( )
zTjTe
[cos ) sin
=α ω ± ω =α ,
1,2 1 0 1 0
±ω
а соответствующее ей разностное уравнение имеет вид
yk T yk yk=α ω −+α − =.
10
2
Решение этого уравнения при начальных условиях
(0) 0 и (1) 2 cos
==αω
имеет вид
2
=α ω
10
.
При отрицательных α переходные процессы носят колебательный
характер. Следует, однако, иметь в виду, что на плоскости s соответствующие этим значениям полюса не существуют.
Из вышесказанного следует, что непосредственное использование
оценки влияния характера расположения нулей и полюсов дискретной передаточной функции на вид переходного процесса не позволяет судить об устойчивости системы.
Дискретная система является устойчивой, если с течением времени x
(iTn) стремится к нулю, т.е. устойчивость системы определяется
n
по поведению переходной составляющей. При i → ∞ x
равна нулю, если все корни z
*
D
(z) = 0 по модулю будут меньше единицы: |zk| < 1.
характеристического уравнения
k
(iTn) будет
n
Поскольку построение переходных характеристик часто сопряжено со значительными трудностями, то в практических случаях наиболее приемлемыми являются частотные критерии, аналогичные известным частотным критериям для непрерывных систем, для построения которых используют амплитудно-фазовые частотные характеристики.
Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульсных
систем. Амплитудно
-фазовые частотные характеристики импульс-
ных систем строятся путем замены в передаточных функциях аргумента s на jω:
*
Wj Wj jk
1
ω= ω+ ω
T
и
∞
*
50
Wj WWj jk
1
ω= ω+ ω
∑
T
=−∞
k
∑
k
∞
(4.1)
=−∞
. (4.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]