Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
KT
0
[ ] [( 1) ] [ ] [( 1) ] [( 2) ]
unTunTAenTAenT Aen T
12
12
bbz bz
az a z
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣
00
TTT
aeae
11
1
AAz Az
z
AT=
P Д
2
0
основное уравнение позиционного регулирования принимает вид
=−+ + − + −
0001 0 2 0
, (5.28)
который удобен для программирования в ЦВМ. Оценка коэффициентов А
, А1, А2 эквивалентна оценке величин KP, TИ, TД при постоянном
0
T
.
0
Рассмотрим импульсные передаточные функции типовых цифровых регуляторов. Применяя к уравнению (5.28) дискретное преобразование Лапласа (z-преобразование), получаем формулу
−−
++
()
Dz
01 2
=
−−
1
++
12
, (5.29)
в которой
T
0
bK e
=++ −
0P
⎡⎤
bK e
1P
⎢⎥
=−+ − + −+
12 12
22
⎢⎥
⎣⎦
bK e
=+−+
2P
T
11
TT
22
TT
00
TT TT
И 0 И 0
TT
Д
TTT
0
⎛⎞
⎜⎟
1;
=− − =
12
⎜⎟
⎝⎠
Д
0
И 0
TT
ДД
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
T
0
−
⎛⎞
T
Ф
⎜⎟
⎝⎠
T
0
−
⎛⎞
T
Ф
−−
ФФ
T
0
1
⎜⎟
2
⎝⎠
И 0
⎛⎞
T
⎤
−
T
Ф
⎥
;
⎥
⎦
;
⎤
Д
⎥
;
⎥
⎦
T
.
Если постоянная времени фильтра Т
= 0, то дискретная переда-
Ф
точная функция регулятора имеет вид
Dz
Если подставить вместо А
()
01 1
=
, А1, А2 их численные значения, то по-
0
1
−
−
.
−−
++
лучим дискретную передаточную функцию ПИД-регулятора НЦУ:
121
1
() 1 (1 )
⎡
⎢
⎣
() 1 (1 )
⎡
⎢
⎣
−
(1 )
+
Tz
=+ +−
Dz K z
P
0
2(1 )
Tz
−
И
T
Д
1
−
T
0
⎤
−
1
, (5.30)
⎥
⎦
которая соответствует конечно-разностному уравнению ПИДрегулятора НЦУ. Если дискретная составляющая ПИД-регулятора
НЦУ имеет вид (5.27), то дискретная передаточная функция принимает следующий вид:
T
=+ +−
Dz K z
P
0
(1 )
Tz
−
И
T
Д
1
−
T
0
⎤
1
−
. (5.31)
⎥
⎦
Из выражений (5.30), (5.31) можно получить дискретные переда-
точные функции П-, ПИ-, ПД-регуляторов НЦУ, если устремлять
T
→ ∞, ТД → 0.
И
Таким образом, использование позиционного алгоритма предполагает, что ЦВМ рассчитывает полную величину положения исполнительного механизма на заданном временном интервале. Кроме того, эта величина управляющего воздействия должна быть передана к
исполнительному механизму как аналоговый сигнал. Поэтому при
позиционном алгоритме для каждого отдельного вида управляющего
воздействия должен быть предусмотрен отдельный цифроаналоговый преобразователь, в результате чего при реализации многих контуров НЦУ увеличиваются аппаратурные затраты.
На основании полученных зависимостей для конкретных условий
работы данного контура НЦУ рассчитывается с помощью ЦВМ
управляющее воздействие, которое проверяется на ограничение по
максимуму и минимуму:
u
Если это условие выполняется, то значение u[nТ
≤ u[nТ0] ≤ u
min
max
.
] передается на
0
ЦАП и далее на исполнительный механизм.
Скоростной алгоритм. Скоростной алгоритм отличается тем,
что выходной сигнал НЦУ представляет собой производную или скорость изменения Δu управляющего воздействия u. Скоростной алгоритм является результатом дифференцирования позиционного алгоритма и реализуется посредством совместной работы регулятора и
исполнительного устройства, при котором интегрирование выполняется исполнительным механизмом, например интегральным усилителем или шаговым двигателем. В этом случае не требуется специ-
122
ального ЦАП и количество цифровых операций, выполняемых на
[][(1)]
{[ ] 2[( 1) ] [( 2) ]},
{[ ] 2[( 1) ] [( 2) ]}.
[][][(1)] {[][(1)]}
{[][(1)]} {[]2[(1)]
ЦВМ, может быть уменьшено. При скоростном алгоритме на каждом
периоде квантования определяется приращение управляющего воздействия:
Δu[nT
] = f{e[nT0]}.
0
Аналогично позиционному алгоритму пропорциональная состав-
ляющая приращения управляющего воздействия имеет вид
Δu
[nT0] = uП[nT0] – uП[(n – 1)T0] = KP{e[nT0] – e[(n – 1)T0]}.
П
Найдем выражение для приращения интегральной составляющей:
[] [] [(1)]
unT unT u n T
Δ= −−=
И 0 И 0 И 0
KT enT e n T
T
⎧⎫
P0 0 0
⎨⎬
⎩⎭
И
+−
2
При скоростном алгоритме выражение для сигнала на выходе иде-
ального дифференцирующего звена можно записать так:
[] [] [(1)]
unT unT u n T
Δ= −−=
Д 0 Д 0 Д 0
KT
P
Д
=−−+−
enT e n T e n T
T
0
000
а при реальном дифференцирующем звене в виде
T
unT u n T
Δ= −+
[] [(1)]
Д
0 Д 0
KT
P
Д
+−−+−
enT e n T e n T
T
0
000
Ф
TT
+
Ф 0
.
При применении методики дифференцирования «по четырем точкам» приращение управляющею воздействия за период квантования
составляет
unT unT u n T K enT e n T
Δ= −− = −−+
00 0P0 0
KT
P0
+−−+ +−−
enT e n T enT e n T
TT
И 0
00 0 0
6[( 2) ] 2[( 3) ] [( 4) ]}.
en T en T en T
−−+−+−
000
KT
P
6
Д
Необходимо отметить особенность скоростного алгоритма, которая заключается в том, что операция дифференцирования не является
123
обязательной. Однако всегда требуется операция интегрирования,
2 {2[][][(1)]} {[]2[(1)]
поскольку после записи скоростного алгоритма при G = const в виде
[ ] { [( 1) [ ]]}
unT K y n T enT
Δ= −− +
0P 0 0
KT
P0
+−−−+−−−+
GnT ynT yn T ynT yn T
TT
И 0
00 0 0 0
6[( 2)]2[( 3)] [( 4)]}
yn T yn T yn T
+−− −−−
000
KT
P Д
6
можно видеть, что задание параметра G регулятора присутствует
только в приращении интегральной составляющей, и если ее исключить, то невозможно избежать дрейфа регулятора.
5.6. Методы выбора периода квантования
в системах НЦУ
построении системы НЦУ одной из основных проблем явля-
При
ется оптимальное расходование машинного времени, затрачиваемого
на каждый контур НЦУ.
В системах НЦУ ввод сигналов с датчиков и выдача управляющих воздействий на объект проводится в дискретные моменты времени, между которыми объект остается нерегулируемым и совершает вынужденное движение под действием сигнала u[nT
] и возмуще-
0
ний f(t).
Сущность методов выбора значения T
сводится к нахождению
0
зависимости точности регулирования от величины периода квантования управляемой переменной и управляющих воздействий. При
больших значениях T
ухудшается качество регулирования и снижа-
0
ется устойчивость системы, а при малом – увеличивается загрузка
ЦВМ и неэкономно расходуется машинное время. Поэтому возникает проблема поиска компромиссного решения, удовлетворяющего
этим противоречивым требованиям. Известны следующие рекомендации для выбора значений T
, которые приняты на основе опыта
0
эксплуатации систем НЦУ: при регулировании уровня и давления
T
= 10…20 с; при регулировании температуры T0 = 10…30 с; при
0
регулировании расхода T
продукта T
= 20…60 с.
0
= 0,1…1 с; при регулировании состава
0
Эти стандартные рекомендации по выбору значений периода
квантования основаны на типовых временных характеристиках контуров управления, а рекомендуемые значения находятся в очень широких интервалах изменения, что может привести к большим затра-
124
там машинного времени, с одной стороны, или к низкому качеству
01
110TT
00 0
() () [ ], ( 1)
tytynTnTtn T
ψ
()() ...
ψ
управления, с другой. Например, при регулировании давления в сосуде малого объема и большом расходе при T
= 10 с качество регу-
0
лирования будет низкое, а с другой стороны, при большом объеме и
малом расходе машинное время будет расходоваться неэкономно при
использовании рекомендуемого значения периода квантования.
Существует приближенный критерий, который позволяет рассчи-
тать T
на основании использования соотношения
0
= , где T
–
1
основная постоянная времени объекта управления. Однако этот критерий является весьма приблизительным для расчета T
, так как при
0
этом не учитываются остальные постоянные времени объекта и время запаздывания.
Рассмотрим критерий выбора T
, основанный на условии обеспе-
0
чения требуемой точности управления. Степенью неопределенности
положения объекта ψ(t) относительно его положения в момент nT
служит разность
=− <<+
.
В системах НЦУ область неопределенности положения объекта
должна быть ограничена, т.е. |ψ(t)| ≤ ε, где ε – постоянная величина,
определяющая точность регулирования.
Для расчета T
сти изменения управляемой переменной у за время T
необходимо знать величину максимальной скоро-
0
. Для этого
0
представим координату у(t) в виде разложения в ряд Тейлора:
d() d ()
yt T yt T
+= + + +
00
yt yt
d2
t
2
d
2
T
0
2
t
Принимая во внимание только первые два члена разложения в
ряд, получим:
0
() ( ) ()
tytTyt T
=+− ≈ ≤ε
max 0 0
Отсюда вытекает ограничение, накладываемое на величину периода квантования для стационарных объектов:
d()
yt
d
t
.
125
max
max
d()
()cos( )
ϕ
AB
() ()
T
0min
≤
ε
d()
yt
d
t
, (5.32)
где
– максимальная скорость изменения управляемой
dytt
переменной y(t).
Таким образом, для определения периода квантования необходимо знать возможные скорости изменения управляемой координаты
объекта. Пусть на входе объекта действует гармонический сигнал
u(t) = sinωt,
тогда выходной сигнал объекта определяется следующим
образом:
y(t) = A(ω)sin(ωt + ϕ),
где A(ω) – амплитудно-частотная характеристика объекта.
Скорость изменения y(t) во времени в этом случае будет иметь
гармонический характер:
d()
yt
d
At
=ω ω ω +
t
.
Амплитуда скорости будет составляет
d()
yt
d
=ω ω = .
t
max
()
Посредством изменения частоты u(t) можно построить зависимость максимальных скоростей изменения выходной переменной от
входного сигнала:
Полученная B-характеристика может интерпретироваться как
верхняя граница возможных или ожидаемых скоростей на выходе
объекта. B-характеристика, найденная по передаточной функции
объекта, является относительной величиной. Для того чтобы выразить эту характеристику в физических единицах, надо умножить ее
на базовое значение размерной величины u
т.д.):
126
yt
d()
d
t
max
B
ω= ω. (5.33)
(расход сырья, топлива и
0
B*( ω) = B(ω)u0, (5.34)
()()
1()()
Dj W j
k
где индекс «*» обозначает размерную величину.
Для определения минимального значения T
согласно (5.32) необ-
0
ходимо вычислить максимальное значение В-характеристики, т.е.
В
, которое находится путем дифференцирования функций
max
B(ω) = ωA(ω)
относительно частоты, с последующим решением
уравнения (dB(ω))/(dω) = 0.
Тогда на основе (5.32), (5.33), (5.34) можно определить
T
0min
≤ ε/(B
maxu0
).
Для типовых звеньев САР получены и сведены в таблицу, приведенную ниже, выражения для В-характеристик и формулы для расчета В
, необходимые для вычисления T
max
0min
.
Критерий Джури для выбора периода квантования основан на
частотной характеристике выходной величины. Если при G(jω) = 1
абсолютное значение выходной величины оценивать функцией частоты вида
Dj W j
ωω
Yj
ω=
()
+ω ω
то всегда можно выбрать значение частоты ω
0
,
0
, при котором |Y(jω|
k
принимает малое значение ε, так как система сглаживает высокочастотные составляющие сигнала. Величина ε определяет точность, которую необходимо обеспечить на выходе системы; обычно
ε = 0,01…0,05.
Значение периода квантования определяется по фор-
муле
Tπ=
0
,
ω
которая согласуется с теоремой Котельникова, так как за ошибку
системы принимается амплитуда наивысшей гармоники в спектре,
Вышеприведенные критерии выбора T
ными для систем НЦУ объектами, передаточные функции которых
содержат динамику в числителе или дифференциальные составляющие, описываемые дифференциальными уравнениями, содержащими
производные в правой части.
оказываются непригод-
0
127
1KTs
1
K
T
K
T
(1)
1
21
ξ
2
(1 ) (2 )KTT
1
T
2KT
ξ
K
B(∞)
max
B
max
∞
0 K K
2
T ω
В-характеристика для типовых звеньев САР
B(ω) ω
W(s)
ω
ω+
K
22
T
K
22
T ω+
22 2
−ω +ξω
+
K
sTs+
+
K
22
Ts Ts+
(21)
ξ
2
(1 ) ( 2 )KTT
2
12
ξ
2
ξ
ξ
2
K
(1)(1)
(1)(1))
1
1
T
1
1
TT
21
ξ
2
(1 ) ( 2 )
T
2
TT
2
T
2
T ω
K
12
TT⋅ω
τ
129
Окончание таблицы
−
K
2
+
–
21
−
1
T
2
T
2(12)
TT
22 2 4
422 224
τ+ξ−
2(12)
−τ + τ − τ +ω ξ +
T
ω
22 2
−ω −ξω
+
K
12
TT
22 22
ω+ω +
22 2
(1)
222
ωωτ+
+
−ω −ξω
1
K
22
sT s Ts+
K
12
Ts T s++
s
τ+
22
+
Ts Ts
(1)
21
(1 )
Kjbq
qjq
11
2
2
Рассмотрим критерий расчета T
, который способен обеспечить
0
восстановление сигнала на выходе такого объекта с определенной
требуемой частотой. Это является актуальным для систем с высоким
коэффициентом затухания, для которых второстепенные постоянные
времени определяют дополнительное затухание. Пусть передаточная
функция объекта имеет вид
()
Ws
O
KbTs
=
22
Ts Ts
+
+ν +
, (5.35)
где ν – коэффициент затухания; (1/bT) – «нуль» числителя.
Представим через ω
= q/T наивысшую частоту сигнала в рад/с,
ср
которую необходимо восстановить на выходе системы; принимаем
> (1/bT), ωср > (1/T).
ω
ср
Передаточная функция (5.35) при s = jω для частоты ω = ω
ср
мо-
жет быть представлена следующим образом:
()
Wj
ω=
O ср
+
2
12
−+ν
.
При прохождении сигнала через объект с заданной частотой для
подобной передаточной функции гармоническая составляющая сигнала с частотой ω
обозначим через θ. Сигналы с частотой ω > ω
ослабляется на определенную величину, которую
ср
имеют коэффициент
ср
ослабления, больший в θ раз, а величина модуля амплитуднофазовой характеристики объекта в этом случае будет меньше, чем
предварительно выбранная величина (1/θ). Приравнивая значение
модуля |W
(jωср| к величине (1/θ), получаем
О
22
bq
K
12 4
+
22 22
−++ν
qq q
, (5.36)
=
θ
затем определяем по полученному выражению величину q. В этом
случае все компоненты с частотами ω > (q/T) будут ослабляться
больше чем в θ раз.
Период квантования выбирается таким образом, чтобы при квантовании, по возможности, не терялась информация, содержащаяся в
непрерывной функции. Согласно теореме Котельникова, если полезный сигнал y(t) не содержит составляющих с частотой выше ω, то
осуществив квантование с шагом
130
Tπ=
0
можно быть уверенным,
ω
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]