Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Эти же неравенства справедливы и для регуляторов первого по-
()(1) (1) (()2(1)(2)
()(1) (1) (()2(1)(2),
рядка. Если задано достаточно малое значение u(0) и в результате
система становится сильно «задемпфированной», то в выражении
для квадратичного критерия оптимизации можно задать r = 0.
Если значение параметра q
определено на основании ограниче-
0
ний, наложенных на u(0), то в выражении для регулятора второго
порядка могут быть оптимизированы только два параметра, а для
регулятора первого порядка – только один параметр. Это приводит к
уменьшению объема необходимых вычислений. Конечно, такой подход к проектированию регуляторов не позволяет построить систему,
в которой учтены ограничения, накладываемые на управляющую переменную, обусловленные всеми возмущающими воздействиями.
Рассмотренный способ задания параметра q
является приемом про-
0
ектирования, в результате которого ограничения, накладываемые на
управляющую переменную, связанные лишь с одним возмущающим
воздействием, становятся превалирующими.
5.5. Модификации дискретных алгоритмов
управления
уменьшения значительных изменений управляющей пере-
Для
менной при резких изменениях задающего сигнала задающее воздействие w(k) исключают из дифференцирующего члена регулятора, в
результате чего вместо обычного алгоритма ПИД- регулятора
() ( 1)
uk uk
−−=
⎡⎤
= − −+ −+ − −+ −
Kek ek ek ek ek ek
⎢⎥
⎣⎦
T
0
TT
10
T
D
используется модифицированный алгоритм
−−=
() ( 1)
uk uk
⎡⎤
= + −+ −+ − + −− −
Kek ek ek yk yk yk
⎢⎥
⎣⎦
T
0
TT
10
T
D
где e(k) = w(k) – y(k).
Дополнительного уменьшения амплитуды управляющей переменной добиваются, оставляя значения задающего сигнала только в
интегрирующем члене алгоритма:
(5.22)
(5.23)
111
()(1) (1) (()2(1)(2).
−−=
[() ( 1) ( 2) ( 3)]
() ( 1)
uk uk
⎡⎤
Kyk yk ek yk yk yk
=− + −+ −+ − + −− −
⎢⎥
⎣⎦
T
0
TT
10
T
D
(5.24)
Рассмотренные модифицированные алгоритмы менее чувствительны к высокочастотным составляющим сигнала, поэтому параметры регуляторов, полученные в результате оптимизации для возмущений определенных типов, например для возмущений на входе
объекта и на входе системы, будут отличаться незначительно. Существенные изменения управляющей переменной могут быть также
уменьшены путем ограничения скорости изменения задающей и
или) управляющей переменной. Поскольку такие ограничения ока-
(
зываются эффективными для возмущений всех типов, их применение
предпочтительнее использования модифицированных алгоритмов
управления, описываемых уравнениями (5.23) и (5.24).
Отличительные особенности других модификаций алгоритмов
управления заключаются в различных способах реализации дифференцирующей части. Часто регулируемая переменная содержит относительно высокочастотный шум, который не измеряется, что приводит к нежелательным существенным колебаниям управляющей
координаты, если дифференцирующая часть алгоритма сформирована с использованием первой разности в нерекуррентной или в рекуррентной форме.
Введение дифференцирующего члена в алгоритм управления часто может быть необходимым для улучшения качества процессов
управления при наличии среднечастотных шумов не слишком высокого уровня, поскольку в этом случае происходит приближенное сокращение полюсов объекта, что приводит к расширению областей
устойчивости и возможности увеличения коэффициента передачи.
Следовательно, при введении дифференцирующего члена в алгоритм
управления следует, учитывая сказанное выше, выбирать значения
его параметров для обеспечения допустимого компромисса. Можно
также сгладить дифференцирующие свойства алгоритма, используя
четыре последовательных значения сигнала ошибки для формирования первой разности. Для этого сначала оценивается среднее значение ошибки:
112
1
k
kk k kε= ε +ε−+ε−+ε−
4
,
после чего все аппроксимации первой производной усредняются по
() ( 1) ( 2) ( 3)
[() 2( 1) 6( 2) 2( 3) ( 4)]
() 1 ,
Ts Ts
⎡
⎢
⎣
2( 1)
(1)
() ( 1) ( 2) () ( 1) ( 2)
4;
c
21
12
c
12( ) (12 )
⎡
⎢⎥⎣
отношению к ошибке. Дифференцирующий член, представленный в
нерекуррентной форме, в этом случае может быть представлен в следующем виде:
T
ε ε −ε ε − −ε ε −ε − ε −ε −
kkkkk
T
Д
TTT T T
000 0 0
T
Д
=ε+ε−−ε−−ε−
6
T
0
⎡⎤
kk k k
Д
=+++=
⎢⎥
41,5 0,5 0,5 1,5
⎣⎦
[() 3( 1) 3( 2) ( 3)].
kk k k
Для рекуррентной формы представления дифференцирующего
члена имеем
T
Д
kk k k k
ε+ε−−ε−+ε−+ε−
6
T
0
.
Еще один подход, применимый лишь при выборе малых тактов
квантования в системе, заключается в использовании дифференцирующего члена, такого как в непрерывной передаточной функции
Ts
=++
Gs K
и применении соотношения
1
1
ИИ
z
Tz
0
−
+
s
→
⎤
Д
+
⎥
⎦
для аппроксимации непре-
рывных зависимостей. В результате такой подстановки получим из
приведенного непрерывного закона управления следующий дискретный алгоритм:
uk puk puk q k q k q k=−+−+ε+ε−+ε−
12 012
,
параметры которого следующие:
c
И
qK
=
0
=−
p
1
1
p
++++
c
=−
2
+
cc c
ИД И
+
(1 2 )
+
И
−
И
;
И
c
t
2
с
И
⎤
⎦
;
113
4( )
⎡
⎣
(2 ) 2 1
⎡
⎢⎥⎣
00
,, .
T
TT T
() () () () ()
Ys W sU s W sLs
() () ()
Us DsEs
() () ()
Es Gs Ys
где
=
qK
1
с cc
qK
=
2
ccc
−+
ИД
t
+
(1 2 )
−+ +−
ИД
t
+
(1 2 )
⎤
⎦
с
И
с
И
;
c
⎤
t
2
⎦
,
T
И
== =
ccc
ИД
T
0
t
t
Д
Другие возможности улучшения работы системы управления связаны с осуществлением фильтрации регулируемой переменной y(k) с
помощью фильтров, включаемых в систему перед регулятором и поэтому влияющих на все компоненты ПИД-алгоритма.
Анализ типового контура НЦУ (непосредственного цифрового
управления). Для удобства анализа контура НЦУ экстраполятор W
э
(s)
и регулируемый объект объединяют вместе. Такое объединение называют приведенной непрерывной частью (ПНЧ), передаточные
функции которой имеют вид
W
где W
(s), WL(s) – передаточные функции объекта управления соот-
о
(s) = Wэ(s)Wо(s),
п
ветственно по управляющему и возмущающему воздействию; G(s),
U(s), L(s) –
соответственно задающее, управляющее и возмущающее
воздействие в форме преобразования Лапласа.
Выражение для регулируемой координаты Y(s) запишется следующим образом:
где U
=+,
*
(t) – дискретное преобразование Лапласа от управляющего
*
И
L
воздействия U(t), которое составляет
***
= .
При этом
114
***
=−,
*
() () () () ()
Ys WsUs WsLs
() () () () () ()
Es Gs WsUs WsLs
() () () () () () ()
Es Gs W sDsEs WsLs
() () ()
1()()
Gs WsLs
WsDs
() () () ().
WsDs WsLs
() ().
Gs Ls
где Е
(s), G*(s), Y*(s) – дискретное преобразование Лапласа соответ-
ственно от ошибки регулирования, задающего воздействия и регулируемой переменной; D
*
(s) – передаточная функция цифрового регу-
лятора.
Применим к выражению для выходного сигнала дискретное пре-
образование Лапласа:
*** *
=+
П
L
.
После подстановки выражения для ошибки получим:
** ** *
=− −
П
L
.
Используя выражение (5.24), преобразуем последнюю формулу к
виду
***** *
Решая уравнение (5.23) относительно Е
=− −
П L
*
(s), получаем выражение
. (5.25)
для ошибки регулирования:
**
*
=
−
**
+
П
L
.
Объединяя приведенные выше уравнения, получаем
**** *
() () () () () ()
Ys WsDsEs WsLs
=+=
П
** *
=+
П
**
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
−
() () ()
Gs WsLs
1()()
L
**
WsDs
+
П
L
L
Приведем это соотношение к общему знаменателю:
*
()
Ys
=+
**
⎡⎤⎡⎤
() () ()
WsDs Ws
П
⎢⎥⎢⎥
1()() 1()()
WsDs WsDs
++
ПП
⎣⎦⎣⎦
П
==
** **
**
1()()
WsDs
+
П
**
*** *
() () () () ()
WsDsGs WsLs
Используем z-преобразование. Принимая
преобразуем последнее уравнение к следующему виду:
+
L
L
sT
ez0= и W
*
(s) = W(z),
115
() () ()
Yz Gz Lz
⎡⎤⎡⎤
() () () ()
Wz ZWzWz Z Ws
()
Ws
s
{
}
() () { ()}
ZW s F zZF s
ez
() ()
Ws Ws
() () ()
Yz Gz Gz
() () ()
WzDz Wz
П
=+
⎢⎥⎢⎥
1 () () 1 () ()
WzDz WzDz
++
ПП
⎣⎦⎣⎦
L
. (5.26)
Импульсная передаточная функция ПНЧ может быть представлена следующим образом:
sT
−
⎧⎫
==
П oo
{}
э
1
⎨⎬
⎩⎭
0
e
−
.
s
Полагаем W
(s) = F1(s)F2(s), где
П
sT
−
1
sT
−
() 1 ; ()
Fs e Fs
=− = =
12
0
0
e
−
sT
−
0
e
o
.
При исследовании импульсных систем, если одна из функций
F
(s) представляет собой рациональную дробь относительно exp(sT0),
1
а вторая функция F
то для вычисления z-преобразования W
(s) является дробно-рациональной функцией от s,
2
(z) от функции WП(s) можно
П
пользоваться формулой
в которой
() ( )
Fz Fe
11
sT
=
0
=
П 12
.
sT
0
=
,
Поэтому основное расчетное соотношение для вычисления дискретной передаточной функции ПНЧ будет иметь вид
1
z
() (1 )
Wz Z e Z
П
⎧⎫⎧⎫
=− =
⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭
sT
−
oo
0
szs
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Если принять L(z) = 0 (помеха отсутствует), то уравнение (5.26)
можно привести к виду
Ws
z
−
1
⎛⎞
⎡⎤
WzDz
() ()
П
==
⎢⎥
1()()
WzDz
+
П
⎣⎦
⎜⎟
zs
⎝⎠
1
z
−
⎛⎞
1()
+
⎜⎟
zs
⎝⎠
()
⎧⎫
o
ZDz
⎨⎬
()
⎩⎭
()
Ws
⎧⎫
o
ZDz
⎨⎬
⎩⎭
.
Отсюда определим дискретную передаточную функцию замкнутого контура НЦУ по каналу «задание регулятора – выходная регулируемая переменная»:
116
()
()
1()
ZDz
ZDz
Ts
Es Ts Ts
1d()
et
Tt
⎡
⎢⎥⎢⎥⎣
Ws
1
z
−
⎛⎞
() ()
() 1 () ()
Gz W zDz
()
Yz
== =
()
Hz
WzDz
П
+
П
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
⎧⎫
o
⎨⎬
zs
⎩⎭
()
Ws
1
z
−
⎧⎫
o
⎨⎬
zs
⎩⎭
,
где G(z), Y(z) – соответственно z-преобразование от задающего воздействия и от выходной регулируемой координаты.
Типовые алгоритмы НЦУ и их машинная реализация. Во
многих случаях при построении алгоритмов управления динамическими процессами на базе ЦВМ в первую очередь исходят из
принципов действия хорошо исследованных линейных аналоговых
регуляторов пропорционального (П), интегрального (И), пропорционально-интегрального (ПИ), пропорционально-интегральнодифференциального (ПИД), хотя ЦВМ в режиме НЦУ и позволяют применять более сложные и эффективные законы управления и
регулирования.
Рассмотрим передаточную функцию аналогового ПИД-регулятора
с низкочастотным фильтром в канале дифференцирования:
() 1
Ds K
Us
==++
() 1
() 1
⎛⎞
⎜⎟
P
⎝⎠
где U(s) – выходной сигнал регулятора (регулирующее или управляющее воздействие); Е(s) – отклонение регулируемой величины от
заданной, К
янная времени интегрирования, Т
цирования, Т
– коэффициент усиления ПИД-регулятора; ТИ – посто-
P
– постоянная времени дифферен-
Д
– постоянная времени низкочастотного фильтра в
Ф
дифференциальной составляющей.
Применив к этому уравнению обратное преобразование Лапласа и
приняв Т
= 0, получим
Ф
() () ()d
ut K et et t T
=+ +
РД
t
∫
И
0
Заменим непрерывные функции е(t) и u(t) функциями е[nT
u[n
Т
], после чего получим соотношение
0
Д
+
ИФ
,
⎤
.
d
⎦
0
117
],
[][] [(1)][]
unT K enT
⎡
⎢⎥⎣
000
[( 1) ] [ ]
TeiTeiT
[ ] [ ] ( 1, 2,3, ..., )
unT K eiT i n
00
e
TT
[ ] [ ] ...
0 Р 0
⎧
=+ ++ +
⎨
⎩
⎡⎤
enT e n T
T
+
⎢⎥
Д
⎣⎦
+−
[][(1)]
00
T
0
T enT enT e n T enT
00 0 0 0
T
И
+−+
22
⎫
⎪
.
⎬
⎪
⎭
⎤
⎦
Представим полученное выражение в виде П-, И-, Д-составляющих:
u[nT
] = uП[nT0] + uИ[nT0] + uД[nT0].
0
Для представления действий ПИ-, П-, ИД-законов регулирования
в дискретной форме применяются два следующих алгоритма.
Позиционный алгоритм. Этот алгоритм отличается тем, что ре-
гулятор НЦУ должен выполнять расчет полной выходной величины
управляющего воздействия
u[nT
] = ϕ(e[nT0]),
0
где
e[nT
] = G[nT0] – y[nT0].
0
Рассмотрим алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора, проанализировав каждую из его составляющих в отдельности.
Пропорциональная составляющая u
[nT0] может быть рассмотре-
П
на автономно в алгоритме позиционного управления:
u
[nT0] = KPe[nT0].
П
Интегральная составляющая в позиционном алгоритме, исходя из
трапецеидального правила для численного интегрирования, может
быть представлена в следующем виде:
n
1
=
−+
2
,
unT K
=
[]
0P
∑
T
i
И
или
n
T
==
0P 0
0
∑
T
1
i
=
И
.
Сигнал на выходе идеального дифференциального звена для позиционного алгоритма в дискретной форме будет иметь вид
KT
P Д
=+−=
[] {[][(1)]}
118
unT enT e n T KT
000P0
Δ
. (5.27)
Дифференциальная составляющая в (5.27) при скачкообразных
()
du t
dt dt
[] [] [(1)]
unT KT unT u n T
[] [(1)] [][(1)]
unT unT enTenT
00 0 0
[][(1)][(2)][(3)]
ynT y n T y n T y n T
[][(1)][(2)][(3)][][(1)]
[ ] [( 1) ] [( 2) ] [( 3) ]
приращениях е[nТ
] и малой величине Т0 может при резком измене-
0
нии возмущения принимать большое значение. Для фильтрации высокочастотных шумов применяется реальное дифференцирующее
звено с постоянной времени Т
. Сигнал на его выходе в аналоговой
Ф
форме при позиционном алгоритме описывается уравнением
()
/
()
ut KT T
=−
Д
de t
P ДФ
/
Д
,
а в дискретной форме оно принимает вид
⎧⎫
[][(1)]
enT e n T
///
Д
=−−−
0PДД0 Д 0
⎨⎬
⎩⎭
−−
00
TT
00
T
Ф
{}
,
или после преобразований
Д
() ()
TT TT
++
Ф 0 Ф 0
T
Ф
=−+ −−
0 Д 000
KT
P Д
{}
.
Чтобы уменьшить влияние помех при вычислении первой разно-
сти (5.27), кроме введения постоянной времени фильтра Т
, разрабо-
Ф
тана методика дифференцирования «по четырем точкам», которая
заключается в следующем. Пусть средняя величина выходной регулируемой переменной за четыре опроса (точки) составляет
*
Y
=
+−+− +−
4
Тогда
ynT ynT yn T ynT enTenT
−−+− +− −−
00 0 000
TT
00
ynT Y y n T Y Y y n T Y y n T
1,5 0, 5 0, 5 1,5
*** *
−−−−− −−
00 0 0
++ +
TT T T
00 0 0
==
6
1
[ ] [( 3) ] 3 [( 1) ] 3 [( 2) ]
=−−+−−−=
ynT y n T y n T y n T
{}
6
T
0
1
=−−
6
T
00 0 0
[][(3
enT e n
{}
0
0
)]3[( 1)]3[( 2)].TenTenT+−−−
00 0
.
=
119
Влияние помех снижается вследствие учета предыстории измене-
0P0 0 0
[] [] [][(1)]
unT KenT enT e n T
{
}
[ ] [( 1) ] [ ] 2 [( 1) ] [( 2) ] ,
P00
1 [( 1 ) ] [( 2) ].
KenTenT
T
TT
T
TT
ния управляемой переменной у.
Для применения в режиме НЦУ ПИД-алгоритм должен быть
представлен в форме, которая легко может быть запрограммирована
на ЦВМ. Для этого имеется несколько способов. Рассмотрим один из
них, при этом предполагается, что е(t) измеряется только в дискретные моменты времени, которые разделены интервалом времени Т
0
, а
управляющее воздействие остается постоянным в течение периода
квантования:
u(t) = u[nT
], nT0 ≤ t ≤ (n + 1)T0 .
0
Управляющее воздействие при позиционном алгоритме выражается так:
n
[][(1)]
KT eiT e i T
=+ + +−
P0 0 0
∑
TT
1
=
i
И 0
+−
2
Вычтем из обеих частей уравнения величину u[(n – 1)Т
KT
P Д
], в ре-
0
.
зультате чего получим уравнение
unT u n T K enT e n T
KT
P0
+−−+ −−+−
enT e n T enT e n T e n T
{}{}
TT
2
И 0
00 0 0 0
−− = −− +
[][(1)] [][(1)]
00P00
KT
P Д
которое можно преобразовать к виду
unT u n T K enT
=− + ++ +
[][(1)] 1 []
00P 0
TKT
⎛⎞
+−+ − − + −
⎜⎟
2
⎝⎠
2
T
0
TT T
Д P Д
И 00
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
T
T
2
Д
0
TT
И 0
После введения обозначений
⎛⎞
120
AK
=++
0P
AK
=− − + −
1P
T
1
⎜⎟
2
⎝⎠
⎛⎞
1
⎜⎟
2
⎝⎠
0
И 0
T
0
И 0
Д
,
2
Д
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]