Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Из приведенных соотношений следует, что во всех случаях для
()
()( 1)
1d()
et
Tt
⎡
⎢⎥⎢⎥⎣
получения нулевой статической ошибки должно выполняться условие
lim ( )
Gz→=∞
R
z
1
.
Это условие удовлетворяется, если передаточная функция регуля-
тора имеет полюс в точке z = 1:
=
′
Pzz
Qz
,
−
G
R
т.е. в том случае, когда регулятор обладает интегрирующей характеристикой. Если же используется пропорциональный регулятор, а в
передаточной функции объекта содержится полюс z = 1, то при
и u
w(k) = 1(k)
(k) = 1(k) происходит уменьшение статической ошиб-
v
ки. Однако для постоянного возмущения n(k) = 1(k) это условие не
выполняется.
Аналогичные требования могут быть сформулированы для обеспечения нулевой установившейся ошибки при подаче в систему линейно или квадратично изменяющихся задающих сигналов. В этом
случае регулятор должен содержать двукратный или трехкратный
полюс в точке z = 1.
5.2. Дискретное представление
дифференциальных уравнений непрерывных
ПИД-регуляторов
Идеализированное уравнение ПИД-регулятора имеет вид
t
=+ττ+
() () ()d
ut K et e T
∫
1
0
D
⎤
, (5.5)
d
⎦
где К – коэффициент передачи; T
постоянная дифференцирования.
Для малых тактов квантования Т
зовать в разностное с помощью дискретизации, заключающейся в
замене производной разностью первого порядка, а интеграла – суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено интегрированием по методу прямоугольников или трапеций:
– постоянная интегрирования; ТD –
1
это уравнение можно преобра-
0
101
() () ( 1) (( ) ( 1))
k
⎡
⎢⎥⎣
(1) (1) (1) ((1)(2))
() ( 1) () ( 1) ( 2)
12 ;
T
=+ −+ −−
ut K et ei ek ek
0
∑
TT
i
=
0
10
T
D
⎤
. (5.6)
⎦
В этом случае получается нерекуррентный алгоритм управления.
В соответствии с ним для формирования суммы ситема управления
должна «помнить» все предыдущие значения сигнала ошибки e(t).
Поскольку каждый раз значение управляющего сигнала u(k) вычисляется заново, этот алгоритм называют позиционным.
Однако для программирования на ЭВМ более удобны рекуррентные алгоритмы. Эти алгоритмы отличаются тем, что для вычисления
текущего значения управляющей переменной u(k) используются ее
предыдущее значение u(k – 1) и поправочный член. Для получения
рекуррентного алгоритма достаточно вычесть из уравнения (5.6) следующее уравнение:
1
k
uk K ek ei ek ek
−= −+ −+ −− −
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
−
T
0
∑
TT
0
i
=
10
T
D
.
В результате получим соотношение
uk uk qek qek qek−−= + −+ −, (5.7)
01 2
где
qK
=− + −
qK
1
⎜⎟
0
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
qK
2
T
0
⎝⎠
T
D
TT
01
T
D
=
.
T
0
⎛⎞
T
D
1;
=+
⎫
⎪
⎪
⎪
T
⎪
0
(5.8)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
Теперь достаточно вычислить только текущее приращение управляющей переменной:
Δu(k) = u(k) – u(k – 1),
и поэтому этот алгоритм называют скоростным.
Следует отметить, что после небольшой модификации способа
интегрирования в уравнении (5.6) под знаком суммы можно использовать значения e(k–1) вместо e(k). При этом коэффициенты q
102
и q1
0
изменятся и не будут соответствовать коэффициентам для больших
() (1) () (()(1))
() ( 1) () ( 1) ( 2)
1;
12 ;
d
Gz z
() ,
Pz p pz pz
μ
тактов квантования.
Если для аппроксимации интеграла использовать метод трапеций, то на основании уравнения (5.5) можно получить следующее
соотношение:
1
k
∑
=
i
−
0
T
D
.
⎡⎤
=−+ + + −−
uk K ek ei ek ek
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
T
(0) ( )
−
eek
0
⎜⎟
TT
⎝⎠
2
10
Вычитая из него соответствующее уравнение для u(k – 1), получаем другое рекуррентное выражение, описывающее динамику дискретного закона управления:
uk uk qek qek qek=−+ + −+ −
01 2
,
где
⎛⎞
T
=++
qK
0
qK
=− + −
1
qK
0
⎜⎟
TT
2
=
2
10
T
D
TT
01
T
D
.
T
0
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Для малых тактов квантования параметры q
числить используя параметры К, Т
⎫
T
D
⎪
⎪
⎪
T
⎪
0
(5.9)
⎬
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
, q1 и q2 можно вы-
0
, и ТD аналогового ПИД-
1
регулятора в соответствии с соотношениями (5.8) или (5.9).
Параметрически оптимизируемые дискретные алгоритмы
управления низкого порядка. Дискретная
передаточная функция
объекта управления экстраполятором нулевого порядка имеет вид
1
1
−
() ( )
P
yz Bz
()
== =
()
uz
()1 ...
Az az a z
bbz bz
−−−
11
−−
+++
01
+++
...
1
m
−
m
m
. (5.10)
m
Обобщенная дискретная передаточная функция линейного регулятора записывается как
1
1
−
() ( )
Gz
R
uz Qz
== =
()
ez
() ...
qqz qz
−−−
11
01
−−ν
+++
01
...
ν
+++
(5.11)
μ
103
при этом алгоритм может быть реализован, если p
qqz qz
() ( 1) () ( 1) ... ( )
≠ 0. Однако соот-
0
ношение порядков числителя и знаменателя может быть различным:
ν ≤ μ
или ν > μ. Обычно в таких регуляторах q
≠ 0, а значение p0 вы-
0
бирается равным 1.
В структурно оптимизируемых регуляторах порядки числителя и
знаменателя передаточной функции μ и ν являются функциями соответствующих порядков модели объекта.
Например, для апериодических регуляторов ν = m и μ = m + d.
Однако в параметрически оптимизируемых регуляторах порядок регулятора может быть меньше порядка модели объекта: ν ≤ m и
μ ≤ m + d.
Следовательно, параметрически оптимизируемые регуляторы требуют меньших затрат машинного времени в процессе эксплуатации.
При выборе структуры параметрически оптимизируемых регуляторов обычно необходимо гарантировать, чтобы изменения задающей переменной w(k) и возмущений u
(k) и n(k) не приводили к появ-
ν
лению статической ошибки по сигналу e(k). На основании теоремы zпреобразования о конечном значении для выполнения этого условия
необходимо, чтобы передаточная функция регулятора имела полюс
z = 1.
Следовательно, простейшие алгоритмы управления ν-го поряд-
ка будут иметь следующую структуру:
1
1
−
Qz
Gz
()
R
()
==
−−
11
Pz z
() 1
−−ν
+++
01
...
−
ν
. (5.12)
При ν = 1 и соответствующем выборе параметров получаем регулятор типа ПИ, при ν = 2 – типа ПИД, при ν = 3 – типа ПИД
Разностное уравнение, описывающее регулятор с передаточной
функцией (5.12), имеет следующий вид:
uk uk qek qek qek
=−+ + −++ −ν.
01
Для получения хорошего качества процессов управления значения
параметров q
, q1, q2, …, qν должны выбираться с учетом характери-
0
стик объекта. Расчет значений этих параметров может быть выполнен следующим образом:
а) на основе метода, при котором используется модель объекта
управления, в результате минимизации критерия качества с использованием параметрической оптимизации, причем аналитическое
104
и т.д.
2
ν
решение возможно лишь для объектов и регуляторов очень низкого
порядка; в остальных случаях следует применять численные методы;
б) с использованием алгоритмов параметрической настройки, позволяющих получить значения параметров регулятора, близкие к оптимальным для некоторого критерия. Обычно для этого необходимо
оценивать либо параметры переходного процесса в системе при ступенчатом задающем воздействии, либо критическое значение коэффициента усиления и период колебаний на границе устойчивости
системы;
в) путем последовательного увеличения значений параметров от
малых начальных значений до тех пор, пока процесс в замкнутой
системе не приобретет значительной колебательности. После этого
следует понемногу уменьшать значения параметров (метод проб и
ошибок).
Если к системе управления не предъявляется каких-либо специфических требований и если ее переходный процесс отличается простотой и малым временем установления, то для оптимизации параметров регулятора достаточно использовать методы б) и в). Если же
требования строги или переходный процесс оказывается сложным,
медленным или существенно изменяющимся, то следует применять
метод а). Этот метод также пригоден для автоматизации проектирования регуляторов.
Оценка качества процессов управления должна выполняться с
учетом требований, предъявляемых к конкретным объектам управления. Однако и в этом случае оценка оказывается несколько субъективной. Существует много способов оценки качества управления,
которые зависят как от характера прилагаемых возмущающих воздействий, так и от свойств рассматриваемого объекта и регулятора.
Для упрощения процессов настройки параметров регуляторов и более наглядного сравнения различных систем управления часто используют ступенчатое изменение возмущающих воздействий и задающего сигнала.
При синтезе параметрически оптимизируемых систем для оценки
качества управления удобно использовать какой-либо единственный
показатель. В частности, для непрерывных систем таким показателем
с большим успехом может служить интегральный критерий качества
(
для дискретных систем вместо интеграла берется сумма). Следует
отметить, что критерий суммы квадратов ошибок управления предпочтительнее с математической точки зрения, кроме того, он может
быть интерпретирован как средняя мощность и в связи с этим ис-
105
пользоваться в других методах проектирования регуляторов. Таким
() ()
Sekruk
uk uk u
()
[()]
uMuk
() ()
Sek ek
() ()
Suk uk
2
e
S
2
u
S
2
eu
S
0
образом, далее для параметрической оптимизации будут использоваться квадратичные критерии качества, представленные в следующем виде:
M
22 2
=+Δ
()
∑
eu
k
0
=
где e(k) = w(k) – y(k) – ошибка управления;
,
() ()
Δ= −
– откло-
нение управляемой переменной от установившегося значения
uu=∞
ожидания
для ступенчатых возмущений или от математического
= для стохастических возмущений; r – весовой
коэффициент при управляющей переменной.
В этом квадратичном критерии качества соотношение среднего
квадрата ошибки управления
M
M
1
∑
1
+
k
=
0
22 2
==
e
и усредненного квадратичного отклонения управляющей переменной, или средней входной мощности
M
M
1
∑
1
+
k
=
0
22 2
=Δ = Δ
u
определяется выбором значения весового коэффициента r. Если значение r мало, то малая величина
большой величине
2
(k), тем меньше изменяется входной сигнал и больше становится
Δu
ошибка управления, т.е. система управления становится более инерционной. При оптимизации параметров регулятора значения параметров q
T
= [q0q1…qν] должны выбираться таким образом, чтобы дос-
тавить минимальное значение
вия
Для объектов высокого порядка следует использовать численные
методы оптимизации.
106
может быть получена при весьма
. Чем больше весовой коэффициент r при
, т.е. обеспечить выполнение усло-
2
d
S
eu
=
.
q
d
5.3. Алгоритмы управления первого и второго
12
1
qqz qz
z
() ( 1) () ( 1) ( 2)
0;
0,
012 0 1 2
()(1) (1) (1).
uk uk q q q k q kq k q
012 1 01
() ( 1)
2: 0,
().
uk uk k q q q q q q
порядков
Рассмотрим
сначала алгоритмы управления второго порядка. Ал-
горитмы первого порядка будут получены затем путем упрощений.
Задав ν = 2 в уравнении (5.12), получим
−−
++
()
Gz
R
01 2
=
−
−
1
.
Запишем следующее соотношение:
uk uk qek qek qek=−+ + −+ −. (5.13)
01 2
Рассматривая единичное ступенчатое изменение сигнала ошибки
1 для
k
для
≥
k
<
ek k
() 1()
==
⎧
⎨
0
⎩
сформируем систему уравнений для последовательных значений выходного сигнала регулятора u(k), следующих из (5.13):
(0) ;
uq
=
0
(1) (0) 2 ;
u u qq qq
=++=+
(2) (1) 3 2 ;
uuqqqqqq
=+++=++
01 01
012 0 12
...............................................................
=−+++=+ ++−
В случае когда u(1) < u(0), дискретный регулятор соответствует
непрерывному ПИД-регулятору с дополнительной задержкой сигнала на один такт. Если параметр регулятора q
следующие соотношения для параметров q
при (1) (0) 0, или ;
uu qq qq
при
<+<<−
<− ≥ ++> >−+
01 1 0
для
> 0, то можно записать
0
, q1, q2:
0
Для положительного значения коэффициента передачи регулятора
выполняется условие q
> q2. Таким образом, обобщая допустимые
0
диапазоны изменения параметров регулятора, получаем
q
> 0; q1 < – q0; –(q0 + q1) < q2 < q0.
0
Определим следующие коэффициенты, характеризующие свойства регулятора:
или
107
.
⎫
0101
ˆˆ ˆ
T
TT
.
1
[1 ( 1) ]
1
Kcz
z
Kq q
=− −
02
q
2
=−
c
D
K
++
qqq
012
=−
c
D
K
коэффициент передачи;
коэффициент опережения;
коэффициент интегрирования
⎪
⎪
⎪
(5.14)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Коэффициенты (5.14) при малых значениях такта квантования
связаны с соответствующими коэффициентами непрерывных ПИДалгоритмов управления:
T
KKc c
;;
== =
D
D
. (5.15)
Из (5.15) видно, что для малых тактов квантования коэффициенты
передачи регуляторов тождественно равны нулю. Коэффициент опережения равен отношению постоянной дифференцирования к такту
квантования, а коэффициент интегрирования – отношению такта
квантования к постоянной интегрирования.
При u(1) > u(0) алгоритм управления первого порядка аналогичен
непрерывному ПИ-алгоритму без дополнительной задержки. Если
коэффициент q
> 0, то выполняется условие q0 + q1 > 0, или q1 > –q0.
0
Определим следующие характерные коэффициенты алгоритма
первого порядка:
Kq
=−
0
()
qq
01
c
=−
1
Для ПИ-алгоритма с положительными коэффициентами
c
Подставляя введенные коэффициенты в выражения для передаточной функции получаем
Если параметр q
тор интегрирующего типа с передаточной функцией
108
коэффициент передачи;
+
коэффициент интегрирования
K
> 0.
1
−
1
−
. (5.17)
1
=
+−
−
()
Gz
R
выбран равным нулю, то будет получен регуля-
0
⎫
⎪
(5.16)
⎬
⎪
⎭
111
1
qz
z
−
() ( 1) ( 1)
() ()
Gz q uk qek
() () ( 1)
() 1 () ()
wz GzGz
()(...)]()
( )(1 ... ) ( ).
qqz qzbz bzzuz
qqz qz az azwz
()
Gz
R
=
−
−
и соответствующим разностным уравнением
uk uk qek=−+ −.
1
Другими частными случаями являются регулятор пропорциональ-
ного типа, передаточная функция которого
() или
==
R
получена из (5.17) при c
00
>0, и регулятор пропорционально-
1
дифференциального типа с передаточной функцией
1
() или
Gz q qz uk qek qek
=+ = − −,
R
полученной при c
02 0 2
= 0.
1
−
5.4. Алгоритмы управления с заданным
начальным значением управляющей
переменной
Передаточная функция замкнутой системы управления, описывающая связь между задающей и управляющей переменными, записывается следующим образом:
()
()
uz
Gz
=
R
+
RP
.
Используя передаточные функции объекта управления первого
порядка и регулятора второго порядка и полагая, что b
11
−− −
[(1 )(1 ... )
zaz az
−+++ +
++ + ++ =
01 2 1
=+ + + ++
01 2 1
1
121
−−− −−
12 1
−− − −
m
m
md
m
m
m
= 0, получаем
0
Запишем полученное выражение в виде разностного уравнения,
разрешив его относительно управляющей переменной:
109
() (1 )( 1) ( )( 2) ...
() ( )( 1) ( )( 2) ....
(1) (2 ) ,
uq qbq
01
(1) 2 .
uqq
10 01
(1 ),
qq qb
uk a uk a a uk
=− −+ − − +−
112
( 1) ( ) ( 2) ...
qbuk d qb qb uk d
−−−−+ −−++
01 02 11
qwk qa q wk qa qa q wk
+++−+++−+
0011 02112
(5.18)
Первые два значения управляющей переменной при подаче на
вход системы ступенчатого задающего воздействия w(k) = 1(k) будут
определяться следующими соотношениями:
а) при d = 0
(0) ;
uq
=
0
=− +
0011
⎫
(5.19)
⎬
⎭
б) при d ≥ 1
(0) ;
uq
=
=+
⎫
0
(5.20)
⎬
⎭
Как видно из последних соотношений, величина u(0) при ступенчатом изменении входного сигнала определяется только значением
параметра q
регулятора и не зависит от постоянного запаздывания d.
0
Поэтому для того чтобы задать начальное значение управляющей
переменной u(0), следует зафиксировать параметр q
регулятора.
0
Соотношение между начальным значением управляющей переменной и параметром q
может быть использовано в процессе проек-
0
тирования регулятора для задания допустимого диапазона изменения
управляющей переменной. Для этого необходимо выбрать рабочую
точку контура управления и задать максимальное приращение сигнала u(0) на входе объекта управления при ступенчатом изменении на
величину w
этого положить q
ляющей переменной было меньше u(0), параметр q
задающей переменной w(k) (или ошибки e(k)) и после
0
= u(0)/w0. Для того чтобы значение u(1) управ-
0
регулятора сле-
1
дует выбирать с учетом определенных неравенств. Из уравнений
(5.19)
и (5.20) следует, что для выполнения условия u(1) ≤ u(0) пара-
метры регулятора должны удовлетворять следующим неравенствам:
а) при d = 0
≤− − (5.21)
б) при d ≥ 1
q
110
≤ – q0.
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]