Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
2. Отыскиваем соответствующие им z-преобразования:
1
iii
AA
T
1
ez
() (1 ) .
21
1
zSTz
() ()d
yt ut t
m
0
∑
1
=
,
+
s
если
()
Gs
=+
ss
()
Gs
⎧⎫
Z
то
⎨⎬
s
⎩⎭
3.
Согласно уравнению для системы имеем
HG z z Z
=− =
AA
=+
−
1
Gs
⎧⎫
1
−
⎨⎬
⎩⎭
m
0
∑
1
−
z
=
i
∏∏
()
s
ii
i
.
T
0
1
T
−
i
−
1
TT
mm
11
==
00
⎛⎞ ⎛⎞
TT
ii
⎜⎟ ⎜⎟
1(1)1
ez z A ez
−+− −
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
m
11 1
−− −
∑
1
=
i
m
⎛⎞
⎜⎟
1
−
∏
⎜⎟
1
=
i
⎝⎠
T
0
T
−
i
ez
i
1
Определим коэффициенты G(z) для различных значений такта
квантования при m = 3; К = 1; Т
= 10 с; Т2 = 7,5 с; Т3 = 5 с. Можно
1
отметить, что с увеличением такта коэффициенты изменяются следующим образом:
а) абсолютные значения параметров a
б) значения параметров b
в) сумма коэффициентов Σb
увеличиваются;
i
= 1 + Σai возрастает.
i
уменьшаются;
i
При больших значениях такта квантования справедливы неравенства: |a
| << 1 + Σai и |b3| << Σbi. В силу этого коэффициенты a3 и b3
3
можно считать нулевыми. Практически это означает, что полученная
модель объекта имеет не третий, а второй порядок.
Еще один метод расчета HG(z) по G(s) основан на приближенном
соотношении, введенном Тастином:
≈
−
.
+
0
Для вывода этой приближенной формулы рассмотрим интегральное уравнение
t
1
=
∫
T
0
,
которому соответствует преобразование Лапласа
71
() 1
us Ts
() ( 1) ( 1);
.
() ( 1)
(1)
() [() ( 1)];
( 1) [ ( ) ( 1)];
( ) ( 1) [ ( ) ( 1)];
ys
= . (4.33)
()
Если идеальный интеграл заменить численной операцией интегрирования по формуле прямоугольников, то при малых значениях Т
справедливы следующие соотношения:
k
T
0
() ( 1);
≈−
yk ui
(1) (1);
yk ui
yk yk ui
∑
T
i
=
1
k
−
1
T
−≈ −
0
∑
T
i
=
1
T
−−≈ −
0
T
T
−−
11
()[1 ] () ;
yz z uzz
−≈
0
T
−
1
()
yz
uz Tz
Tz T
00
≈=
Tz
−
(1 )
−
1
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(4.34)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎭
Учитывая, что при малых тактах квантования уравнения (4.33) и
должны практически совпадать, можно записать:
(4.34)
0
Более точного приближения можно достичь с помощью операции
интегрирования по формуле трапеций:
yk ui ui
yk ui ui
yk yk ui ui
Следовательно, при малых значениях T
72
1
sz
→−
T
0
k
T
1
0
≈+−
∑
T
2
=
i
1
−
k
1
T
1
−≈ + −
−−≈ +−
0
∑
T
2
=
i
1
T
2
yz z
uz Tz
T
() 1
≈
() 2 1
.
0
T
+
0
.
−
имеет место зависимость
0
21
1
zsTz
0
Ts
ze
ln ...
⎡
⎢
⎣
() ()
Xz Gz
()
z
1
1
*( ) .
z
→
−
.
+
0
Этот же результат можно получить, ограничиваясь первым чле-
ном разложения в ряд функции
121(1)
sz
=≈ + +
TTz
00
= :
3( 1)
z
+
2
2
zz
−−
1
+
⎤
.
⎥
⎦
4.2. Анализ качества и точности импульсных
систем
Качество
дискретных систем в переходном режиме оценивается
прямыми и косвенными показателями, причем первые из них принято отождествлять с показателями переходной характеристики, а вторыми могут служить дискретные аналоги интегральных оценок –
суммарные оценки.
Показатели качества импульсных систем определяются с помо-
щью передаточных функций замкнутых систем:
Mz
()
=
()
Dz
, (4.35)
где
Mz
()
()
Dz
=Φ
.
Следовательно, для оценки качества импульсных систем необходимо получить выражение для переходного процесса системы. Это
можно осуществить двумя способами.
Переходная характеристика замкнутой системы h(iT
) определяет-
n
ся как реакция этой системы на дискретную единичную функцию:
()1(),или
yiT iT y z
==
nn
1
−
−
Она может быть вычислена непосредственно по разностному
уравнению
h(iTn) + c1h[(i – 1)Tn] + ... + cnh[(i – n)Tn] = b0 1(iTn) + ... + bm 1[(i – m)Tn]
c
0
73
при нулевых начальных условиях или с помощью любого из приемов
1
()
Wz
z
() () d
xnT X zz z
1
() .
xnT X zz
()
Xz
z
1,368 0,368
()()1()
Wz
Wz
определения обратного z-преобразования от изображения:
***
() () ()
zxzWz
Φ= =
*
. (4.36)
−
1
−
Для определения характеристик переходного процесса по выра-
жению (4.35) воспользуемся формулой обратного z-преобразования:
1
=
∫
2
j
π
σ
1
k
−
, (4.37)
где σ – контур интегрирования в плоскости z, охватывающий особые
точки подынтегрального преобразования.
Вычисление обратного z-преобразования можно выполнять различными способами: на основе теоремы вычетов, разложением на
простые дроби и некоторыми другими способами. Рассмотрим первые два.
С помощью теоремы Коши значение интеграла (4.37) определяется в виде суммы всех вычетов внутри контура:
k
−
Функцию
() Выч
=
∑
по всем
полюсам
z
i
можно разложить на простые множители и, при-
(4.38)
меняя обратное дискретное преобразование Лапласа, получить x(kT).
Пример 4.11. Построить переходный процесс для замкнутой импульсной системы.
Решение
Определим функцию W(z):
⎡⎤
==
()
Wz Z
10,632
⎢⎥
⎣⎦
+
(0,1 1)
ss
2
zz
−+
z
.
Замкнутая передаточная функция системы находится по следующему выражению:
z
Φ=
+
откуда
74
,
0,632
0,736 0,368
1
zZsz
1
zz
z
() 1
() ;
0,964 ( 0,632 0,482 )
jj
() ,
0,964 (0,632 0,482 )
jj
( ) 1 cos0,92
xkT e k
()
Xz
z
; 1, 0,5, 0,5,
()
z
Φ=
zz
2
−+
z
. (4.39)
Будем считать, что управляющее воздействие g(t) = [1], тогда дис-
кретное z-преобразование имеет вид
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
. (4.40)
−
С помощью выражений (4.39) и (4.40) формулу для определения
выходного сигнала запишем в виде
=⋅
Xz
()
0,632
2
0,736 0,368
zz
−+
.
−
Теперь определим характеристики переходного процесса в им-
пульсной системе двумя способами.
1-
й способ. Найдем x(kT), для чего вычислим вычеты по z
1
k
Выч
Xzz
1
z
=
1
Выч
0,368 0,482
zj
=+
2
Выч
0,368 0,482
zj
=−
2
−
= ;
Xzz
Xzz
(0,5 0,92) 1
jk
1
k
−
0,632
=
−+ +
e
−+
(0,5 0,92) 1
jk
0,632
1
k
−
=
−+ +
e
+
, z2 и z3:
1
откуда
=−
.
0,5
k
−
Подставляя в эти выражения значение k = 0, 1, 2, … получаем пе-
реходный процесс x(kT) в тактовые моменты времени.
2-
й способ. Разложим функцию
Xz A
( ) 0,632
==+
zz
zz z
( 1)( 0,736 0,368)
++ ==−=−
0,368 0,482 0,368 0,482
zjzj
−+ −+
2
−− +
BC
на простые множители:
1
−
AB C
откуда
75
() .
( ) 1 cos0,92
xkT e k
1
(1 )[1 (1 ) ]
zkz
*1
() ( )
zhnTz
Xz
1
−
z
zz z
=− −
0,5 0,5
0,5 0,92 0,5 0,92
−− −+
−−
ze ze
jj
(4.41)
Применяя к выражению (4.41) обратное z-преобразование, получаем
0,5
k
−
=− . (4.42)
Подставляя значение k = 0, 1, 2, … определяем переходный процесс по формуле (4.42) в тактовые моменты времени.
Пример 4.12.
1. Разностное уравнение в z-изображениях для переходной харак-
теристики записывается так:
*
Φ
(z) – (1 – k) z–1 Φ*(z) = k z–1 y*(z),
или в оригиналах при x(iT
h (nT
изображение переходной характеристики для этого примера
2. z-
) = k 1[(n – 1)Tn] + (1 – k) h [(n – 1)Tn].
n
) = 1(iTn):
n
равно
1
−
*
()
Φ=
z
kz
−−−
.
−
С другой стороны, по определению
∞
Φ=
∑
n
=
0
−
и, следовательно, можно записать
–1
k z
= (1 – z–1)[1 – (1 – k)z–1][h (0) + h (Tn) z–1 + h(2Tn) z–2 + ...].
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и
правой частях равенства, нетрудно получить значения h(nT
), совпа-
n
дающие с результатом решения уравнения, полученного предыдущим способом.
При выполнении условий бесконечной степени устойчивости переходный процесс в системе заканчивается за конечное, вполне определенное число периодов T
. Это выполняется и для переходной
n
характеристики, с учетом, что указанные условия имеют место, если
все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой систе-
76
*
m
bbz bz
0
k
bfc
1*1
z
() () () ()...
мы D
(z) = 0, кроме c0, равны нулю, т.е. передаточная функция соот-
ветствует выражению
1
−−
*
z
()
Φ=
1
1
−
+++
01
1
−
z
...
m
c
0
,
или
f
+ f1z–1 + ... + fmz–m = (1 – z–1)[h(0) + h(Tn) z–1 + h(2Tn) z–2 + ...],
0
где принято обозначение
.
=
k
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, можно за-
писать:
= h(0); f1 = h(Tn) – h(0);
f
0
= h(2Tn) – h(Tn); ... ; fm = h(mTn) – h[(m – 1)Tn];
f
2
0 = h[(m + 1)T
] – h(mTn), или h[(m + 1)Tn] = h(mTn).
n
Таким образом, при бесконечной степени устойчивости переходная характеристика принимает установившееся значение за конечное
число периодов m, количественно равное порядку полинома числителя передаточной функции системы. Так, в рассмотренном примере
условие бесконечной степени устойчивости k = 1, при этом справедливо выражение
−
()
Φ=
z
z
1
−
−
и переходная характеристика принимает установившееся значение за
один период.
Динамическую ошибку в импульсных системах можно рассчитывать двумя методами.
1
метод.
По аналогии с непрерывными системами, сигнал ошибки как
функцию времени можно представить в виде ряда по производным
входного сигнала, взятым в дискретные моменты времени t = nT:
nT C g nT C g nT g nT
ε= + + +
01
′′′
C
2!
2
. (4.43)
77
Применяя к полученному соотношению преобразование Лапласа,
() ... ()
EnT C C Gs
()
s
(0), 1, 2,...
()
s
[ (1) (1) (1)];
0
d()
z
получаем выражение
**
⎛⎞
=+++
⎜⎟
01
⎝⎠
C
2
, (4.44)
2!
в котором ряд, заключенный в скобках, есть разложение передаточной функции ошибки
*
Φ по степеням переменной s. Следова-
ε
тельно,
*
i
d()
s
Φ
Ci
1
ε
==Φ=
i
d
s
s
*( )
i
ε
0
=
. (4.45)
При анализе импульсных систем, как правило, используют им-
*
пульсную передаточную функцию
енты ошибки C
вычисляются по формулам:
i
C
CT
1
CT
1
CT
1
(1);
=Φ
0
ε
′
(1);
=Φ
ε
2
′′ ′
[ (1) (1)];
=Φ+Φ
=Φ+Φ+Φ
εε
3
′′′ ′′ ′
Φ
. В этом случае коэффици-
ε
εε ε
⎫
⎪
⎪
⎪
(4.46)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
где
i
z
i
(1)
Φ=
ε
Φ
ε
i
d
z
.
=
При таком методе определения ошибки в установившемся состоянии предполагается, что при анализе импульсной системы известен
входной сигнал и его производные. Однако на вход системы могут
поступать лишь дискретные значения сигнала, огибающая которого
неизвестна. В этом случае не удается определить производные входного сигнала и воспользоваться формулами (4.43) – (4.46).
метод.
2
Предполагается разложение ошибки ε(nT) в ряд по разностям
входного сигнала. В этом случае вместо первой производной входного сигнала записывается разность первого порядка и т.д. В результате дискретный аналог выражения (4.43) имеет вид
78
() () () ()...
() ( 1) ( 1) ... ()
Ez C C z z Gz
( 1), 0,1, 2,...
1
zsT
() ( 1) ( 1) ... ()
Ez C z z Gz
( 1) , 0,1, 2,...
2
esT
() ... ()
Ew C Cw w Gw
C
2
2!
2
. (4.47)
nT C g nT C g nT g nTε= +Δ +Δ +
01
Применяя преобразование Лапласа к последнему выражению, по-
лучаем соотношение
⎛⎞
=+ −+ −+
⎜⎟
01
⎝⎠
C
2
2
(4.48)
2!
в котором ряд, заключенный в скобках, можно рассматривать как
разложение передаточной функции Φ
(z) в ряд по степеням (z – l).
ε
Коэффициенты разложения при этом вычисляются по формуле
i
d()
z
Φ
Ci
i
ε
==Φ=
i
d
z
z
()
i
ε
=
1
. (4.49)
С другой стороны, при малых значениях T справедливо условие
−
≈
и
⎡⎤
CC
=+ −+ −+
⎢⎥
⎣⎦
12
0
T
2!
1
2
T
2
,
откуда
==Φ =
ii
ε
. (4.50)
()
iii
CCT Ti
Кроме того, для малых значений T справедливо соотношение
sT
1
w
−
=≈
sT
1
e
+
и возможно определение коэффициентов ошибки при разложении
импульсной передаточной функции W
ким образом, при малых значениях T справедливо равенство
⎡⎤
=++ +
⎢⎥
01
⎣⎦
C
2!
2
(w) в ряд по степеням w. Та-
ε
2
, (4.51)
79
где
(0), 0,1,2,...
2
i
T
2
i
T
11
1() 1
z
WH z zz
11
1
i
d()
w
Φ
Ci
i
ε
==Φ=
i
w
d
w
()
i
ε
1
=
.
При этом
⎛⎞
CC
=
ii
, (4.52)
⎜⎟
⎝⎠
или, с учетом выражения (4.47):
⎛⎞
CC
=
ii
. (4.53)
⎜⎟
⎝⎠
Разложение в ряд позволяет для нахождения коэффициентов
ошибки воспользоваться логарифмическими характеристиками и
функциями псевдочастоты. Рассмотрим пример.
Пример 4.13. Для заданной системы определить ряд ошибок при
воздействии возмущения f(t) = 1(t).
Решение
Преобразуем исходную систему к виду, удобному для расчета,
при этом
sT
−
110
e
Ws Hs sT
0
−
() ; () 0,5; 0,2
===
2
s
s
.
с
Замыкая внутренний контур, получаем импульсную передаточную функцию одноконтурной системы в виде
или, переходя к переменной w:
() 0,2
Ww
=
w
ww
Изображение сигнала ошибки для такой системы вычисляется по
формуле
ε
80
()
Wz
() 0,2
Wz
+
.
0
==
+−
0
−
)()()()()(
zGzzGzzE Φ−Φ=
E(z),
21
+
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]