Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
;( ); ( );
ac
2
02
xt x xt xt
2
() 0,5()
xiT x xiT x iT
22 2
() () [(1)] 0,5()
[ ( 1) 0,5 ( 1) ( 0,5) ;
n
xxi T xi T xTxi T
(1 ) (1 ) ...
2
11 (1)
kk
k
−
00
DDaDcDaDcDc
==−=−−
01101220211
cc c
DacD
2
00 0
⎛⎞
1
=−
⎜⎟
kjkj
⎜⎟
c
0
⎝⎠
11
k
∑
j
1
=
.
−
Пример 4.15. Оценить точность системы в установившемся режиме при условии, что огибающая задающего воздействия х(iT
проксимируется функциями:
) ап-
n
() () 0,5
=+ + ;
=+ + .
01 2
nnn
Решение
Конечные разности дискретного задающего воздействия определяются соотношениями:
Δ=
() ();
xiT xiT
0
nn
Δ=−−=++ −
x iT x iT x i T x x iT x iT
1012
nn n n n
−+ − + − = + −
01 2 1 2
() () [(1)] ;
xiT xiT x i T xT
Δ=Δ−Δ−=
211 2
nn nn
() ()...0.
xiT xiT
Δ=Δ==
nn
34
nn n
2
2
Для определения коэффициентов ошибок можно записать:
*1
Qz z
() 1
*112
WDDzDz
== =+−+−+
ε
*1
() 1 ( 1)
Dz k z
−
−
+−
01 2
−
−−
.
Переменная χ определяется с помощью соотношения
откуда после сравнения коэффициентов при χ
χ = [k + χ(1 – k)](D
+ D
χ + D2χ + ...),
0
1
0
, χ1, χ2, χ3 величины Di
определяются так:
0; ; ;
DD D D
== = =
01 2 3
k
−−
23
kk
Этот же результат можно получить и по формуле (4.55) для коэффициентов:
ˆˆˆˆ
0; 1; ; 1aack
====−.
0101
с
.
91
Ряд ошибки (4.54) для рассматриваемого примера запишется в виде
1
iT x
k
| ()| () d | ()| () d,
zSzzz zSzzz
()mSz
()nSz
(), ()
zz
wzw
| ()| () d | ()| () d
11
jv S jv v jv S jv v
11
ε= +− − =
() (0,5)
iT x T x i T x T
TT
nn
=+ − +
kk k
⎡⎤
nn n n
xxiT T
12 2
⎣⎦
kk
⎡⎤
12
(0,5) .
⎢⎥
⎣⎦
22
−
k
nn
k
−
1
Установившаяся ошибка нарастает со временем в результате ускорения сигнала, не компенсируемого системой с одним дискретным
интегратором. Это нарастание тем интенсивнее, чем больше период
и ускорение x2 и чем меньше коэффициент преобразования, кото-
T
n
рый по условиям устойчивости меняется в пределах 0 < k < 2. Если
ускорение x
= 0, то можно записать:
2
()
ε=ε=
уст
T
n
.
В заключение рассмотрим способ вычисления средней квадратической ошибки при воспроизведении случайного сигнала импульсной системой. Дисперсия дискретного сигнала ошибки определяется
по формуле
11
2*2*1 *2*1
ε= Φ + Φ
ππ
22
*
где
– спектральная плотность полезной составляющей входно-
го сигнала;
jj
εε
∫∫
zz
==
||1 ||1
*
– спектральная плотность помехи;
−−
mn
ΦΦ –
**
ε
импульсные передаточные функции, определяющие влияние входного сигнала и помехи на ошибку системы соответственно.
Для того чтобы определить интеграл в формуле для вычисления
ошибки, целесообразно перейти к z -преобразованию и использовать
известные формулы из теории непрерывных систем. Производя за-
1
мену переменных
+
=
и учитывая уравнение контура интегри-
1
−
рования, получаем
∞∞
1212
2*22 *22
ε= Φ + Φ
22
ππ
ε
∫∫
−∞ −∞
mn
22
++
vv
.
92
Для вычисления интегралов в этом выражении целесообразно вос-
2
c
() ( )
HjvH jv
|()| 2 ,
1[()1,8()0,2]()
vjvjvjvHjv
22
21,25.
cc
TT
пользоваться таблицей вычисления интегралов.
Пример 4.16. Определить ошибку воспроизведения входного сиг-
нала в виде дискретного «белого шума» со спектральной плотностью
*
()
SzT=
m
для замкнутой системы.
Решение
Для вычисления дисперсии ошибки подынтегральное выражение
в формуле для вычисления ошибки необходимо представить в виде
()
Gjv
n
nn
−
.
Для рассматриваемого случая
22 42
2()()
*2
Φ=
ε
cc jvjv
jv
TT
232
++++−
−
n
здесь n = 3 и можно определить дисперсию ошибки в виде
11
2
ε= =
−−
21(0,2 1,8)
⋅⋅ −
93
5. СИНТЕЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
5.1. Принцип регулирования с помощью ЦВМ
Использование
цифровых методов обработки информации в сис-
темах автоматического управления позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления и обеспечивать их быструю сменяемость.
Кроме того, цифровые устройства, как правило, более надежны в работе и имеют меньшие габаритные размеры и массу. Автоматические
системы, полностью построенные на цифровых элементах, называются цифровыми САУ (ЦСАУ).
Одноконтурная система автоматического управления структурно
представляет собой замкнутую систему, состоящую из объекта и регулятора. Основной классификационный признак регулятора в теории автоматического управления — вид закона регулирования, т.е.
тип уравнения, которым описывается связь между регулирующим
воздействием и ошибкой регулирования, представляющей собой разность между измеренным и заданным значениями регулируемой величины. Широкое распространение в промышленности получили
линейные законы регулирования семейства ПИД-законов, которые
реализуются посредством П-, ПИ- или ПИД-регуляторов.
Для реализации П-, ПИ- или ПИД-закона регулирования вычислительные операции могут выполняться как непрерывно, так и в дискретные моменты времени. В первом случае регулятор называют непрерывным, во втором – дискретным. В отличие от непрерывных
дискретные регуляторы обеспечивают изменение регулирующего
воздействия только в дискретные моменты времени.
Между этими моментами регулирующее воздействие остается постоянным. Если интервал времени между соседними изменениями
регулирующего воздействия (такт квантования) выбрать очень малым (стремящимся к нулю), то такой регулятор часто называют непрерывным несмотря на дискретный способ его реализации, поскольку статические и динамические характеристики системы с таким регулятором и области устойчивости практически полностью
совпадают с аналогичными характеристиками системы с непрерывным регулятором. В том случае, когда дискретный регулятор реализуются на базе цифровой вычислительной техники (обычно на базе
микро-ЭВМ), его называют цифровым регулятором. Один цифровой
регулятор, как правило, может выполнять функции нескольких ана-
94
логовых регуляторов. При программной реализации закона управле-
1/ 1 ,
ния легко корректируется структура и параметры регулятора как в
предпусковой период, так и в процессе его эксплуатации.
Регулирующее воздействие x
(kТ0), (0, 1, 2, …) вычисляется по
р.д
запрограммированному в ЦВМ алгоритму, входными величинами
для которого служат дискретные значения задающего сигнала
х
(kТ0) и регулируемой переменной х(kТ0). Поскольку в настоящее
з.д
время в основном применяются датчики, усилители и линии связи
аналогового типа, на входе цифрового регулятора необходимо использовать аналого-цифровой преобразователь. Для того чтобы цифровой регулятор мог приводить в действие исполнительное устройство с аналоговым входом, он должен быть снабжен цифроаналоговым преобразователем, на входе которого имеется фиксатор
экстраполятор нулевого порядка), сохраняющий значение управ-
(
ляющей переменной х
в промежутках между моментами квантова-
р.д
ния. Преобразование последовательности импульсов на входе экстраполятора нулевого порядка в ступенчатый сигнал описывается передаточной функцией
хр
()
где Т
– период квантования; р – изображение по Лапласу.
0
W рре
()
эк
з.д
==− (5.1)
хр
.д
р
()
()
Тр
−
()
0
Выбор такта квантования для дискретных регуляторов. При
выборе такта квантования необходимо учитывать следующие факторы:
–
–
–
–
–
–
–
ления;
–
Задание такта квантования приводит к незначительному ухудшению процессов управления по сравнению с процессами, представляющими хорошее приближение к непрерывному случаю. Таким образом, если разработчика интересует только требуемое качество
требуемое качество управления;
динамику объекта;
спектры возмущений;
исполнительное устройство и его привод;
измерительные приборы;
требования оператора;
вычислительные затраты или стоимость одного контура управ-
используемую модель объекта.
95
управления, величина такта квантования часто может быть выбрана
большей, чем та, которая обеспечивает близкую аппроксимацию непрерывного контура управления.
На выбор такта квантования существенное влияние оказывает динамика объекта управления, поскольку она определяет как структуру
передаточной функции, так и ее постоянные времени. В связи с этим
соотношения для выбора такта квантования могут быть представлены
как функции времени задержки, чистого запаздывания и т.д. Как правило, чем больше постоянная времени, тем больше шаг квантования.
Рассмотрим теперь зависимость такта квантования от спектра
возмущающих сигналов или ширины их полосы. Для контура управления можно выделить три области частот: низкочастотная область –
область, в которой возмущения управляющей переменной подавляются; среднечастотная область диапазона частот, в которой возмущения усиливаются, и высокочастотная область – область частот, в
которой контур управления не оказывает влияния на возмущения.
Обычно контуры управления проектируются таким образом, чтобы их среднечастотная область охватывала такой диапазон частот, в
котором амплитуда возмущающих действий была незначительной.
Кроме того, возмущающие сигналы высокой и средней частоты необходимо подвергать фильтрации, чтобы исключить нежелательные
отклонения управляющей переменной. Если возмущающие сигналы
вплоть до граничной частоты необходимо отрабатывать, как и в непрерывной системе, такт квантования должен выбираться в соответствии с теоремой Котельникова.
Эту же теорему можно использовать для определения такта квантования в том случае, когда известно максимальное значение собственной частоты системы: ω
или f
max
. Это максимальная частота,
max
пропускаемая дискретным регулятором без искажений. В частности,
если исполнительное устройство обладает значительной инерционностью, не следует выбирать слишком малый такт квантования, поскольку может случиться, что предыдущий сигнал управляющей переменной окажется неотработанным к моменту прихода следующего
сигнала. Если в системе используются измерительные приборы, выдающие сигналы дискретно, то такт квантования дискретного регулятора оказывается заданным. Оператору, как правило, желательно
иметь в системе быстрый отклик управляющей или регулируемой
переменной на ступенчатое изменение задающего сигнала в произвольный момент времени, поэтому такт квантования не должен превышать нескольких секунд. Более того, если учитывать возможность
96
возникновения опасной ситуации, например появления сигнала тре-
max
m
.
воги, такт квантования следует выбирать малым. Для минимизации
вычислительных затрат или стоимости каждого контура управления
такт квантования следует выбирать как можно большим.
Качество управления с помощью дискретных регуляторов ухудшается с увеличением такта квантования. Объясняется это тем, что
при больших значениях такта квантования дискретные выборки сигналов содержат меньше информации, чем непрерывные сигналы. Эквивалентность непрерывного и дискретного сигналов с точки зрения
той информации, которая в них содержится, устанавливает теорема
Котельникова – Шеннона, которая показывает, что если произвольная функция не содержит частот выше
ω , то она полностью опре-
деляется своими мгновенными значениями, точно измеренными в
моменты времени, которые отсчитываются через одинаковые интервалы:
Tπ≤
0
(5.2)
ω
ax
При выборе периода квантования в системах с замкнутым контуром управления учитывают фильтрующие свойства такой системы,
поскольку дискретный регулятор должен пропускать без искажений
все частоты в полосе пропускания замкнутой системы. Таким образом, если частотные составляющие непрерывного сигнала не выходят из заданной полосы, для выбора периода квантования можно воспользоваться условием (5.2). Однако реальные сигналы, как правило,
зашумлены высокочастотными возмущениями, вследствие чего их
невозможно рассматривать как сигналы с ограниченным спектром,
что затрудняет использование условия (5.2).
Системы управления можно разделить на системы управления с
задающим сигналом и терминальные системы управления. В дальнейшем предполагается, что объекты управления имеют одну управляющую переменную u(k), одну регулируемую переменную y(k), вектор состояния x(k) и возмущающие воздействия v(k). В системах
управления с задающим сигналом регулируемая переменная y(k)
должна как можно более точно отрабатывать задающий сигнал w(k),
т.е. изменяться так, чтобы ошибка управления e(k) = w(k) – y(k) была
как можно меньше (e(k) ≈ 0). Если задающая переменная изменяется
во времени, то необходимо проектировать систему управления с пе-
ременным задающим сигналом или следящую систему управления.
97
Если регулируемой переменной является положение, скорость или
ускорение, то соответствующую систему управления также называют серворегулятором. Если задающая переменная системы управления остается постоянной, то такая система называется системой ста-
билизации.
В терминальных системах управления конечное результирующее
состояние x(N) процесса должно быть достигнуто в заданный или
произвольный момент времени N. Как в системах управления с задающим сигналом, так и в терминальных системах управления влияние начальных условий x(0) и возмущающих воздействий v(k) должно быть скомпенсировано, насколько это возможно. Более того, задачей управления также является обеспечение с помощью обратных
связей устойчивости всей системы при неустойчивом процессе.
Указанные задачи, как правило, могут быть решены путем введения обратной связи по выходной координате y(k) или состояниям x(k)
объекта. Введение обратных связей часто сопровождается формированием дополнительных элементов управления в прямой цепи.
Управление выходной переменной y(k) может осуществляется с помощью одного контура обратной связи или одной прямой цепи.
Если в одноконтурной системе управления с обратной связью
возмущающее воздействие v(k) может быть измерено, то можно использовать регулятор с прямой связью, в сочетании с обратными связями для тех возмущений, которые не могут быть скомпенсированы
данным регулятором. Если же между точкой приложения управляющего воздействия и регулируемой переменной существуют измеримые переменные объекта, которые можно использовать для формирования обратных связей, то можно сформировать вспомогательные
контуры управления, или каскадные системы управления с основными и дополнительными контурами управления. При этом формируется схема введения обратных связей по состоянию для повышения
устойчивости системы или изменения характера собственных движений объекта.
Решающую роль при проектировании систем управления играет
выбор критерия управления. Компенсационные регуляторы задают
качество процессов по управляемым переменным либо на протяжении всего времени переходного процесса, либо после некоторого конечного интервала времени. Использование заданного распределения
полюсов определяет характер поведения управляемых переменных
лишь приближенно, поскольку полюсы соответствуют изолированным собственным движениям системы. В то же время суперпозиция
98
полюсов, нули системы и характер внешних возмущений при таком
()
подходе не учитываются.
Более полно задать поведение систем управления позволяют прямые методы расчета, которые основаны на использовании различных
критериев качества управления. В последнее время при проектировании непрерывных систем управления, как правило, используют
интегральные критерии качества – интеграл от ошибки управления,
квадрата ошибки управления, абсолютной величины этой ошибки и
т.д. Следует отметить, что с помощью этих интегральных критериев
можно также учитывать время. Для построения дискретных систем
управления соответствующие критерии задаются в следующем виде:
∞
Iek
1
Iek
2
Iek
3
Ikek
4
() cумма ошибок
=−
∑
0
=
k
∞
2
=−
=−
=−
() cумма квадратов ошибок
∑
0
=
k
∞
() cумма абсолютных значений ошибок
∑
0
=
k
∞
∑
k
0
=
сумма произведения абсолютных значений оши-
;
;
;
бок на время.
Поскольку критерий I
неприменим в случаях, когда значения
1
ошибки являются знакопеременными, наиболее часто при проектировании систем управления используют критерий I
. Однако исполь-
2
зование второго критерия приводит к значительным колебаниям переходного процесса, поэтому для обеспечения переходного процесса
по управляемой переменной с большим демпфированием следует
использовать критерии I
или I4.
3
При аналитическом расчете систем управления определенными
преимуществами обладают квадратичные критерии качества. Это
связано с тем, что при отыскании оптимальных значений квадратической функции ее первые производные представляются в виде математических соотношений, линейных относительно ошибки e(k).
Для введения дополнительных ограничений, в частности связанных с
возможностью непосредственного влияния на степень демпфирования процессов в системе, при формировании критерия достаточно
ввести квадратичный член, учитывающий величину отклонения
управляемой переменной, с соответствующим весовым коэффициен-
99
том r. Таким образом, в наиболее общем случае квадратичный кри-
() ()
Iekruk
() () ()
IxkQxkruk
lim ( ) 0
lim( 1) ( ) 0
() [() ()] ()
ez wz nz u z
1) (),() 1(),
.lim () () .
wk nk k
),
lim ( ) ( ) ;
терий может быть представлен в следующем виде:
∞
22
=+
∑
5
0
=
k
. (5.3)
Записывая последнее соотношение в пространстве состояний, по-
лучим другую форму представления квадратичного критерия:
∞
6
22
=++
∑
0
=
k
. (5.4)
Независимо от выбора критерия качества необходимо также задать качество системы в установившемся состоянии. Как правило, к
таким требованиям относится отсутствие статической ошибки регулирования при постоянном значении задающей переменной, а также
при постоянных значениях возмущающих сигналов n(k), v(k) и u
т.е. должно выполняться условие
k
ek→∞=
. Используя теорему z-
(k),
r
преобразования о конечном значении, в этом случае можно записать
zez
−=
1
z
→
.
Для системы с одной обратной связью выражение для сигнала
ошибки имеет следующий вид:
()
=−−
1 () () 1 () ()
1
GzGz GzGz
++
RP RP
Gz
P
,
ν
поэтому при единичном ступенчатом сигнале 1(z) = z/(z – 1) различным возмущениям соответствуют различные условия, налагаемые на
передаточные функции компонентов системы:
=
lim 0,
1()()
zz
11
→→
2) ( ) 1( ) (возмущение на входе объекта
uk k
v
lim 0 ;
1
→
z
1()()
+
) lim ( ) , lim ( ) и
aGz Gz GzGz
) lim ( ) , lim ( ) .
б Gz Gz
1
+
GzGz
RP
=
()
я
Gz
P
GzGz
RP
PR RP
11 1
→→ →
zz z
PR
→→
11
zz
==∞
т.е
GzGz
RP
=
≠∞ =∞ =∞
=∞ =∞
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]