Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
В том случае, если передаточные функции W(s) и W
... ( ) ( ) ( 2 ) ... ( )].
00
( ); ( ), ..., ( )
0
2
T
11
10 10
(s) обла-
1W2
дают свойством низкочастотного фильтра, при построении импульсной амплитудно-фазовой частотной характеристики необходимо
учитывать лишь несколько членов выражений (4.1) или (4.2).
Для построения амплитудно-фазовой характеристики выражение
запишем в виде
(4.1)
*
W j Wj Wj j Wj j
()[()( )( 2)...
+ω−ω+ω+ω+ω+ω++ω+ω
1
ω= ω+ ω− ω + ω− ω +
T
Wj jk Wj j Wj j Wj jk
00 0 0
00
(4.3)
Каждый из членов в правой части выражения (4.3) представляет
собой годограф, построенный на плоскости W
векторов
11 1
Wj Wj j Wj jk
ωω−ω ω−ω
*
(jω) и состоящий из
. Складывая
TT T
векторы при определенных значениях частот, получим результирующий годограф W
*
(jω) (или амплитудно-фазовую частотную ха-
рактеристику импульсной системы).
Пример 4.1. Построить амплитудно-фазовую характеристику им-
пульсной системы по передаточной функции при k = 0, k = –1 и
ω
= 10 рад/с (или
0
ω
).
Решение
Можно построить два годографа. Первый по функции
⎡⎤
⎢⎥
10
⎢⎥
2
π
⎢⎥
j
ω+ +
⎢⎥
⎣⎦
0,2
⎛⎞
20 1
0,5 0, 01
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
ωω
⎝⎠⎝ ⎠
+
⎜⎟
ω
⎝⎠
,
а второй – по функции
⎡⎤
⎢⎥
10
⎢⎥
π
2
⎢⎥
( 10) 1 1
j
ω− + +
⎢⎥
⎣⎦
20 1
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
0,2
⎛⎞
+
⎜⎟
ω−
⎝⎠
10
0,5 0,01
ω− ω−
.
Сложив соответствующие векторы, получим результирующий го-
дограф W
*
(jω).
51
Методы анализа устойчивости импульсных систем. Как из-
1()0,
1()0
, , ..., , ,...
2
T
вестно, устойчивость линейной системы определяется с помощью
расположения корней характеристического уравнения на плоскости s. Характеристическое уравнение импульсной системы можно
записать в виде
∞
1
T
k
Ws jk
∑
=−∞
(4.4)
0
++ω=
или
∞
1
∑
T
=−∞
k
WW s jk
12 0
. (4.5)
++ω=
Условие устойчивости заключается в том, что корни s
и (4.5) должны находиться в левой полуплоскости. Это условие
(4.4)
уравнений
i
для непрерывных систем отличается от импульсных систем тем, что
на плоскости s вместо одного корня характеристическое уравнение
импульсной системы первого порядка имеет k корней (здесь k→∞),
таким образом, вместо корня s
, расположенного на действительной
i
оси, в импульсной системе будет бесконечное количество корней,
отстоящих друг от друга на расстояниях, кратных jω
/// ///
ss ss
11 11
). При увеличении порядка характеристического
(т.е.
0
уравнения количество каждого из n корней также увеличивается в
бесконечное число раз.
Всю плоскость s комплексного переменного можно разделить горизонтальными полосами; ширина полосы равна частоте
ω=
π
0
Полоса, в которой заключена действительная ось, называется основной; остальные полосы именуются дополнительными.
Частотные критерии устойчивости Михайлова – Найквиста для
импульсных систем на плоскости W
*
. Если для устойчивости им-
пульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения на плоскости s были расположены в ее
левой полуплоскости (в основной и дополнительных полосах), то на
плоскости W
*
годограф W*(jω) (или амплитудно-фазовая характери-
стика) не должен охватывать точки с координатами (–1; j0). В отличие от непрерывных систем, при слабой фильтрующей непрерывной
.
52
части получается несколько годографов, образующих результирую-
0
()
Wj j
()
Wj
0
2
0
2
0
2
щий годограф.
Обычно устойчивость импульсной системы (по сравнению с не-
прерывной) ухудшается, так как дополнительный годограф
1
ω− ω
смещает результирующий годограф W*(jω) влево,
T
т.е. к точке (–1; j0).
При хорошей фильтрующей непрерывной части можно использовать корни, расположенные лишь в основной полосе, что при отображении на плоскость W
1
эквивалентная амплитудно-фазовая частотная характери-
(
ω
*
даст один эквивалентный годограф
T
стика).
Частотные критерии устойчивости Михайлова – Найквиста для
дискретных систем могут быть сформулированы следующим образом.
1. Импульсная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, бу-
дет устойчива в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая
характеристика W
*
(jω) при изменении ω от 0 до
ω
не будет охва-
тывать точки с координатами (–1; j0).
2. Импульсная система, неустойчивая в разомкнутом состоянии,
будет устойчива в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая
характеристика при изменении ω от
ω
−
до
ω
будет охватывать
точку с координатами (–1; j0) столько раз в положительном направлении, каково число полюсов функции W
сти.
Таким образом, как первая, так и вторая формулировки частотного
критерия устойчивости импульсных систем ничем не отличаются от
соответствующих формулировок для непрерывных систем. Для того
чтобы избавиться от бесконечного числа корней на плоскости s при
использовании характеристического уравнения импульсной системы,
или ряда годографов при применении передаточной функции W
следует перейти от плоскостей s и W
*
(jω) в правой полуплоско-
*
(jω) к плоскостям z и W(z).
*
(jω),
53
Критерий устойчивости для импульсных систем на плоскостях
sT
ze
ze
0
2
0
0
2
0
arg 0 2 .
22
sT
ze
и W(z). Изменение независимой переменной путем замены ее на
z
другую переменную преобразует одну область комплексного переменного в другую. Поэтому с помощью подстановки
= можно
преобразовать мнимую ось плоскости s в единичную окружность
плоскости z. Таким образом, после подстановки s = jω получим
jT
ω
=
, но при
Tπ=
можно записать:
ω
2
πω
j
ω
ze
= . (4.6).
Амплитуда этой функции
|z| = 1, (4.7)
а фаза
arg z
=
. (4.8)
ω
На плоскости s строится граница устойчивости в виде мнимой
оси, на которую наносятся соответствующие значения частот от –ω
до 0 и от 0 до ω
. Определим границу устойчивости на плоскости z,
0
представляющую собой отображение мнимой оси на плоскость комплексного переменного z. Для этого по формуле (4.8) определим значения arg z при изменении ω от 0 до ω
ωω ω
00 0
ωω
0
42 4
z
π
при |z| = 1:
0
3
3
πππ
В соответствии с этим должна быть построена окружность единичного радиуса. Иначе говоря, с помощью подстановки
резок мнимой оси плоскости s от ω = 0 до ω = ω
отобразится окруж-
0
= от-
ностью радиусом c = 1 на плоскости z. Левая полуплоскость будет
представлять собой плоскость круга. Для любой точки плоскости
справедливо следующее соотношение:
s = c + jω,
0
54
тогда справедливо и соотношение
c
T
zee
bz bz b z bz
az az a z az
()
() 1 () ,
()
Dz
Dz
Tj
= . (4.9)
ω
С помощью выражения (4.9) можно найти условие устойчивости
на плоскостях s и z в зависимости от расположения корней, которые
представлены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Условия устойчивости в зависимости от расположения корней
на плоскости s и плоскости z
Условие устойчивости
На плоскости s На плоскости z
c < 0 |z| < 1 Устойчивая
c = 0 |z| = 1
c > 0 |z| > 1 Неустойчивая
Характеристика
устойчивости системы
На границе
устойчивости
На основании данных табл. 4.1 можно сделать вывод, что импульсная система устойчива, когда все корни характеристического
уравнения замкнутой системы находятся внутри окружности радиуса, равного единице. Импульсная система неустойчива, когда хотя
бы один корень характеристического уравнения замкнутой системы
находится вне окружности радиуса единицы.
Часто критерий устойчивости Михайлова – Найквиста используется для импульсных систем, по передаточной функции разомкнутой
системы W(s). Для разомкнутой системы с передаточной функцией
mm
Wz
()
01 1
=
nn
01 1
1
−
++++
++++
...
mm
−
1
−
...
nn
−
необходимо ввести вспомогательную функцию
nn
cz cz c z cz
ζ=+ = =
zWz
01 1
nn
az az a z az
01 1
1
−
++++
++++
...
nn
−
1
−
...
nn
−
где D(z) – характеристическое уравнение замкнутой системы; D
характеристическое уравнение разомкнутой системы.
Если учитывать условия, представленные в табл. 4.1, то по аналогии с непрерывной системой можно сформулировать условия устойчивости Михайлова – Найквиста для импульсных систем на плоскости W(z).
p
(z) –
p
55
1. Замкнутая импульсная система будет устойчива, если годограф
2
m
() ,
(0,1 1)(0, 05 1)
(0,1 1)(0, 05 1)
0,3
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
0,15 ( 0,05)( 1 ,065)
.
( 1)( 0,135)( 0,0185)
разомкнутой системы при отсутствии полюсов вне окружности
W(z)
единичного радиуса и изменении z от 1 до –1 (вдоль полуокружности
на плоскости z) не охватывает точки с координатами (–1; j0).
2. Замкнутая импульсная система будет устойчива, если годограф
W(z)
разомкнутой системы с m полюсами вне окружности единично-
го радиуса при изменении z от 1 до –1 (вдоль полуокружности на
плоскости z) охватывает точку с координатами (–1; j0)
раз в по-
ложительном направлении.
Пример 4.2. Построить годограф W(z) на плоскости s, если им-
пульсная система имеет передаточную функцию
sT
−
2(1 )
e
Ws
=
2
ss s
−
++
где T = 0,2 с.
Решение
преобразование для функции W(s) запишем в виде
z-
sT
12(1)
ze
()
Wz Z
=−+−=
=+ − −=
zz z
−−
==
z
z
1 2 0,3 0,4 0,1
−
Z
zsss
0,40,4(1)0,1(1)
1 0,135 0,0185
−− −
=
zz z
−− −
2
ss s
2
s
zz
−−
zz z
++
−
++
++
10 20
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
(4.10)
Из передаточной функции (4.10) видно, что полюсов вне единичной окружности нет. Годограф не охватывает точку (–1;j0), поэтому
рассматриваемая импульсная система является устойчивой в замкнутом состоянии.
Для оценки устойчивости дискретных или импульсных систем
часто используют алгебраические критерии; к наиболее употребимым относятся критерий Шур – Кона и критерий Гурвица.
56
Критерий устойчивости Шур – Кона. Алгебраический критерий
12 1
112
21 3
,
** *
, ,...,
n
aa a
;
k
устойчивости Шур – Кона позволяет анализировать устойчивость
импульсных систем регулирования по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования.
Для характеристического уравнения n-го порядка
D(z) = z
+ a1z
n
n–1
+ a1z
n–2
+ … + a
z + an = 0 (4.11)
n–1
запишем коэффициенты в виде следующего определителя:
aaaa
n k
aa a a
nn k
− −
aa a a
nn n k
−− −
00 01
112
21 3
……
0001
……
00 0 1
……
12 1
−
…………………………
aaa a
123
nk nk nk n
Δ=
−+ −+ −+
k
100 0
****
aaaa
** * *
aa a a
10 00
1000
……
……
……
……
00 0 1
** * *
aa a a
nn n nk
−− −+
nn nk
−−+
nnk
−+
(4.12)
…………………………
** *
aaa a
123
kk k n
−− −
где k = 1, 2, 3, …,
12
10 0 0
……
– сопряженные значения коэффициен-
тов.
Определитель имеет 2k рядов и 2k столбцов. Корни характеристического уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если
коэффициенты уравнения (4.12) удовлетворяют всем определителям
Шур – Кона, для которых выполняется условие
0 для нечетных
Δ<
k
0 для четных
Δ>
k
⎫
Δk < 0.
⎬
k
⎭
Пример 4.3. Исследовать устойчивость импульсной системы, передаточная функция которой W(z) задана выражением (4.11), по критерию Шур – Кона.
57
Решение
1,15( 1,014456 0,302017 0,00506)
.
( ) 1,014456 0,302017 0,00506 0
1,014456;
0,302017;
0,00506.
( 0,00506) (1) 1 0;
31
32
13
01
;
aa
aa
aa
312
23 1
132
21 3
001
aaa
aa a
aaa
aaa
aa a
Найдем
0,15 ( 0,05)( 1,065)
zz z
() 1
z
ζ=+ =
=
( 1)( 0,135)( 0,0185)
zz z
−− −
32
zz z
−+−
( 1)( 0,135)( 0,0185)
zz z
−− −
++
(4.13)
Из этого выражения определим, что характеристическое уравне-
ние замкнутой системы
Dz z z z=+ + − =,
32
а его коэффициенты имеют следующие значения:
a
=−
1
a
=
2
a
=−
3
Пользуясь выражением для коэффициентов, найдем четные и не-
четные определители Шур – Кона в следующем виде:
1
3
Δ= =− − ≈−<
1
1aa
3
22
01
aa
2
23
10
Δ=
10
001
001
aaa
Δ=
3
100
123
.
100
100
На основании полученных оценок определителей Δ
но установить, что рассматриваемая импульсная система устойчива.
58
, Δ2 и Δ3 мож-
1
Для характеристических уравнений второго порядка можно упро-
22
стить критерий Шур – Кона. Воспользуемся для этого характеристическим уравнением вида
2
D(z) = z
+ az + b = 0. (4.14)
Пусть корни уравнения (4.14) будут z
и z2, тогда первое условие
1
упрощенного критерия имеет вид
|D(0)| = b = z
<1. (4.15)
1z2
Если два корня лежат внутри единичной окружности, т.е.
|z
| < 1, |z2| < 1, (4.16)
1
то импульсная система, описываемая уравнением (4.14), является
устойчивой. Однако при двух действительных корнях условие не является достаточным, так как |z
| < 1, а один из корней z1 или z2 мо-
1z2
жет находиться вне единичного круга. Для исключения этой неопределенности воспользуемся следующим дополнительным условием:
D(1) > 0. (4.17)
Данное условие делает невозможным существование положительного действительного корня, большего единицы. Введем еще
одно дополнительное условие:
D(–1) > 0, (4.18)
исключающее возможность существования отрицательного действительного корня, большего единицы. Таким образом, удовлетворение
необходимым и достаточным условиям (4.15), (4.17) и (4.18) обеспечивает устойчивость импульсной системы второго порядка.
системы с помощью упрощенного критерия Шур – Кона.
где K > 0.
Пример 4.4. Исследовать устойчивость замкнутой импульсной
Решение
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
s
2
+π
4
, (4.19)
59
sT
−
11
e
()
Ws K
−π
=+
ss
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Для T = 0,5 с найдем z-преобразование выражения (4.19):
1 0,5 0,25 0,25 ( cos )
(1) 2cos 1
⎡
⎢
⎣
() 1 0
4
;24
.
zs
110,20,25
−
Wz K Z
()
=+−=
−−π
zzzzz
=+− =
K
zz
=−−=
0,25 1 .
⎡⎤
K
⎢⎥
zzzz
⎣⎦
⎧⎫
⎨⎬
zs
zzz
21
−+−+
222
ss
⎩⎭
22
−
−−π+
1
−
zKz
4
+π
⎤
(4.20)
⎥
⎦
11(1)(1)
Определим характеристическое уравнение замкнутой системы:
Dz z Kz=+ −=
2
. (4.21)
Необходимые и достаточные условия устойчивости импульсной
системы будут следующими:
а) |D(0)| < 1;
б) D(1) > 0;
в) D(–1) > 0.
Для рассматриваемого примера имеем:
|D(0)| = 1; D(1) = K > 0; D(–1) = –K < 0,
откуда видно, что условия устойчивости а) и в) не удовлетворяются.
Следовательно, импульсная система является неустойчивой при всех
K > 0.
С целью проверки данного утверждения воспользуемся характеристическим уравнением (4.21). Корни этого уравнения будут составлять:
z
z
Второй корень при любых K > 0 по модулю всегда больше едини-
цы, поэтому импульсная система оказывается неустойчивой.
Пример 4.5. Построить области устойчивых и неустойчивых со-
стояний на плоскости переменных
мы при передаточной функции в разомкнутом состоянии:
60
KK
−+ +
=
1
KK
−− +
=
2
2
2
2
⎛⎞
,KT
α
⎜⎟
⎝⎠
для импульсной систе-
α
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]