Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
() 1.
sT
⎡
⎢
⎣
,.
Wz y x T
() [( 1) 1 ] ) (1 ) 0.
)2(1 ) ( 1) (1 ) 0.
1(1 )1;
(2 2 ) 2( 1),
x
eyexe e
11
exe e x
1
1
e
⎡⎤
11
eK K T z
Wz Z
−α α −
==++−
⎢⎥
ss z
⎣⎦
+α α −
1
ze
−
−α
⎤
T
(4.22)
⎥
⎦
Решение
Подставив выражение для переменных найдем
xxx
−−
[( 1) ]
yze x e xe K
() ,
===α
+−+− −
x
−−
(1)( )
zze
−
где
α
Характеристическое уравнение системы найдем по выражению
(4.21):
xx xx
() ( 1)( ) ( 1) (1 ) 0;
Dz z z e yze x y e xe
=− − + +−+ − − =
Dz z ye x e z e y e xe
2
=+ +−−− + + − − =
−− −−
xxxxx
−−−−−
Так как порядок характеристического уравнения n = 2, то по уп-
рощенному критерию Шур – Кона имеем следующие условия:
xxx
−−−
а)| (1 )| 1;
eyexe
+−− <
x
yx e
б)(1 )0;
в
−
−>
xx xx
−− −−
eyex yexe
+− +−+−− >
Так как условие б) выполняется при всех x > 0, то перейдем к до-
полнительному рассмотрению условий а) и в):
−−−−
−− < − − <−
yxexe e
−− + >− +
xx x
xx x
−− −
(4.23)
или
xx
−
ee
0
y
<< =
−−
−−
xxx
11
−− −−
и
=
xe
2
1
. (4.25)
x
−
−
x
+
y
Для определения границы областей устойчивости импульсной
системы запишем неравенства (4.24) и (4.25) в виде
(4.24)
61
1
0;
1
1
z
wzw
y
<<
1
−
y
<
2
1
x
xe
−
x
e
e
⎫
⎪
x
⎪
x
−
⎪
(4.26)
⎬
⎪
.
⎪
1
−
⎪
1
+
⎭
Пользуясь неравенством (4.26) можно построить границы области
устойчивости.
Для анализа устойчивости систем на плоскости можно пользоваться и методом корневого годографа, позволяющего по расположению нулей и полюсов разомкнутой системы быстро устанавливать
геометрическое место точек корней характеристического уравнения
замкнутой системы.
Пример 4.6. По передаточной функции разомкнутой системы
()
Wzz=
построить корневой годограф замкнутой импульсной
2
−
системы на плоскости z.
Решение
Пользуясь правилом построения корневого годографа (аналогично построению для непрерывных систем) получим, что ему могут
принадлежать в данном случае лишь точки действительной оси. Таким образом, при всех K > 0 рассматриваемая импульсная система
неустойчива.
Критерии устойчивости, основанные на применении билинейного преобразования. Трудность
анализе сложных импульсных передаточных функций устраняется
при использовании билинейного преобразования
и логарифмических амплитудных и фазовых характеристик. Из теории комплексного переменного известно, что билинейное преобразование отображает единичный круг плоскости z в левую полуплоскость W. Поэтому все методы анализа устойчивости непрерывных
систем на плоскости w или W(w) можно применять и для анализа импульсных систем.
62
построения годографа W(z) при
1
+
=
(4.27)
1
−
Перейдем к рассмотрению этих методов. Первый из них пред-
1
1
1
z
z
T
tg ,
2
eT
2
T
arctg
1
ставляет наибольший практический интерес и заключается в построении логарифмических амплитудной и фазовой характеристик
разомкнутых систем. При их построении пользуются псевдочастотой
jν = w.
Связь между действительной круговой ω и псевдочастотой ν
можно установить, определяя из выражения (4.27) переменную w:
−
1
но
ze
= , тогда
j
−ω
1
==
wj
1
−
w
=
jT
−ω
−ω
−ω
jT
+
e
,
−
+
откуда следует, что
vω=
. (4.28)
tg
Из уравнения (4.28) найдем
2
ω= ν
. (4.29)
T
Формула (4.29) связывает действительную частоту ω с псевдочастотой ν, а преобразование функции, получаемое в этом случае, называется билинейным, или w-преобразованием. Таким образом, если
комплексное число w представить в алгебраической форме
w =
то условие устойчивости дискретной системы |z
w
1
+
k
1
w
−
k
Неравенство (4.30) соблюдается только тогда, когда β
вательно, если ввести подстановку (4.27) в характеристический полином D
*
(z), то можно получить характеристическое уравнение в ви-
β + jν,
| < 1 примет вид
k
(1 )
=<
(1 )
2
+β +ν
kk
2
−β +ν
kk
. (4.30)
< 0. Следо-
k
де
*
D
(W) = 0.
63
Если корни этого уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости w, то дискретная система устойчива. При этом
осуществляется отображение единичного круга в полуплоскость, где
должны быть обозначены области расположения корней характеристических уравнений устойчивой системы (рис. 4.1, 4.2).
Рис. 4.1. Условия устойчивости в плоскости корней
Рис. 4.2. Преобразование единичного круга в полуплоскость
Построение и анализ устойчивости импульсных систем по логарифмическим характеристикам производится теми же способами,
которые используются для непрерывных систем.
Переменная w является аналогом переменной р в теории непрерывных систем, но в отличие от последней безразмерна. Если анализ
системы ведется в частотной области, то по аналогии с заменой
р = jω в непрерывных системах вводят подстановку w = jν в дискрет-
64
ных системах. Связь безразмерной псевдочастоты ν с размерной w
()
() ,
1()
kz P z
zQz
() ()
1()()
kz P z y z
zQzxz
определяется из условия (4.27).
Введение билинейного преобразования (4.27) позволяет использовать для анализа устойчивости дискретных систем алгебраические
и частотные критерии устойчивости непрерывных систем.
Пример 4.7. Передаточная функция разомкнутой системы задана
в виде
1*
*
Wz
−
==
1*
−
−
т.е. система состоит из запаздывающего и суммирующего звеньев.
Определить условия устойчивости замкнутой дискретной системы
используя способы, описанные выше.
Решение
Найдем непосредственное решение разностного уравнения.
1.
Для замкнутой системы получаем
1* *
*
()
Wz
−
===
1* *
−
−
.
Разностное уравнение в z-изображениях
y
*
(z) – (1 – k) z–1y*(z) = k z–1x*(z). (4.31)
Однородное разностное уравнение в оригиналах, определяющее
переходную составляющую, имеет вид
y
(iTn) – (1 – k)yn[(i – 1)Tn] = 0,
n
или
y
n
Решение этого уравнения при начальных условиях
y
записывается в виде
y
(iTn) = (1 – k)A1; (1 – k)2A1; ... ;
n
y
Если k = 0 или k = 2, то переходная составляющая не затухает.
При k = 0,5 процесс имеет затухающий апериодический, а при
(iTn) = (1 – k)yn[(I – 1)Tn].
(–iTn) = 0 и yn(0) = A1
n
(iTn) = (1 – k)iA1.
n
65
k = 1,5 – затухающий колебательный характер. Если k = 1, то пере-
lim ( ) 0
wzw
() 1 (1 ) (2 ) 0
ходный процесс в системе практически отсутствует (заканчивается к
первому периоду). Таким образом, условие устойчивости
0
i
yiT==
n
соблюдается в исследуемой системе при 0 < k < 2.
Оценим устойчивость дискретной системы по корням характе-
2.
ристических уравнений.
Характеристическое уравнение в z-изображениях имеет вид
D
Корень этого уравнения z
находиться внутри круга единичного радиуса, т.е. |z
*
(z) = 1 – (1 – k) z–1 = 0. (4.32)
= 1 – k по условиям устойчивости должен
1
| = |1 – k| < 1, в этом
1
случае вновь справедливо неравенство (4.30).
3.
Используем алгебраический критерий Гурвица.
1
Подстановка
+
в формулу (4.32) позволяет преобразовать
=
1
−
характеристическое уравнение замкнутой системы к виду
1
w
*
Dz k k kw
=− − = + − =
−
1
w
+
.
По критерию Гурвица система первого порядка устойчива, если
все коэффициенты характеристического уравнения положительны,
т.е. k > 0 и 2 – k > 0. Отсюда для устойчивости системы должно вы-
полняться неравенство 0 < k < 2.
Приведенный пример показывает, что все способы оценки устойчивости дают одинаковые результаты. Выбор способа зависит от
сложности системы, исходного материала и необходимого вида получаемых данных. Для оценки устойчивости с помощью критерия
Гурвица определяются расчетные соотношения, связывающие условия устойчивости дискретных систем с коэффициентами характеристического уравнения
D
*
(z) = 0 при n = 1, ..., 4.
Степень устойчивости для дискретных систем, как и для непрерывных систем, оценивается по степени удаления корней характеристического уравнения D
(
см. рис. 4.1). Косвенной оценкой степени устойчивости и здесь слу-
*
жат запасы устойчивости по фазе Δφ(ν
66
(z) = 0 от линии круга единичного радиуса
) и амплитуде ΔL.
c
Для дискретных систем в отличие от непрерывных систем можно
()()Pz
i
i
yAz
n
p
ze
по крайней мере теоретически) подобрать параметры системы так,
(
чтобы все коэффициенты c
кроме с
, равнялись нулю. В этом случае уравнение для передаточ-
0
характеристического уравнения D*(z) = 0,
i
ной функции можно записать в виде
*
Wzc=
*
,
0
что соответствует нахождению всех корней характеристического
уравнения D
*
(z) = 0 в центре единичного круга. Если линейная дис-
кретная система имеет бесконечную степень устойчивости, то переходный процесс заканчивается за конечное и минимально возможное
число периодов Т
ется при k = 1, когда коэффициент c
. Для примера 4.1 условие устойчивости выполня-
n
при z–1 полинома знаменателя
1
передаточной функции становится равным нулю.
Устойчивость непрерывных линейных систем определяется по
поведению переходной составляющей x
(t). Аналогично решается
n
задача определения устойчивости дискретной системы, описываемой
неоднородным разностным уравнением
y(iT
где y
(iTn) – вынужденная составляющая процесса, зависящая от
в
) = yв(iTn) + yn(iTn),
n
внешнего воздействия;
n
=
∑
k
=
– переходная составляющая, представляющая собой
kk
1
сумму экспоненциальных дискретных функций
iT
i
с начальными значениями A
ристического уравнения замкнутой системы D
*
(z) = 0, если исследуется устойчивость разомкнутой системы), за-
Q
=
kk
. В выражении (4.27) zk – корни характе-
k
*
(z) = 0 (или уравнения
висящие от параметров системы.
67
Рис. 4.3. Устойчивые (а, в) и неустойчивые (б, г) процессы
в дискретных системах
Таким образом, необходимое и достаточное условие устойчивости
линейных дискретных систем может быть сформулировано следующим образом: замкнутая система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения D
*
(z) = 0 находятся внутри круга еди-
ничного радиуса. Условия устойчивости на комплексной плоскости
иллюстрируются рис. 4.3. Если речь идет об устойчивости разомкнутой системы, то оценивается расположение корней уравнения
*
(z) = 0 и применяются сформулированные выше условия. Исследо-
Q
вание дискретных систем автоматического управления базируется в
основном на аппарате z-преобразования. Определение при этом устойчивости по расположению корней характеристического уравнения относительно круга единичного радиуса в реальных случаях может быть сложным и неудобным (высокий порядок уравнения, повторение громоздкой процедуры вычисления при неудовлетворительных предыдущих результатах и т.п.). Для упрощения задачи, как
и в случае непрерывных линейных систем, можно использовать критерии устойчивости, позволяющие избежать решения характеристического уравнения D
*
(z) = 0.
68
Пример 4.7. Исследовать устойчивость для апериодического зве-
zsas z a
(1 ) 0,4134.
() () ... () ()
() () ... () ().
butbu t butbut
()()()
Bs
As
( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )
yk ayk a yk m buk buk buk m
( )[1 ... ] ( )[ ... ]
m
yz az az uz b bz bz
1
11
() ( )
1... ()
yz Bz
az a z Az
на с экстраполятором на входе.
Решение
Воспользуемся уравнением (4.22) и таблицей z-преобразований:
aT
−
()
HG z Z
−−−
== =
⎨⎬
+
()
⎩⎭
−−
aT
0
eK
−
(1 )
==
aT
−−
0
−
ze
()
a
zze
−−
(1)( )
′
bz
1
−
az
1
1
′′
⎧⎫
11(1)
zKz ezK
0
−
aT
0
1
.
1
Подставив в полученное выражение те же значения параметров,
что и в предыдущем примере, получим
aT
−
0
aT
K
0
0,5866;
′
a
ae
=− =−
1
be
=− =
1
Как известно, динамические свойства линейной стационарной
системы с сосредоточенными параметрами полностью определяются
ее дифференциальным уравнением, имеющим вид
() ( 1)
mm
ay t a y t ayt yt
mm
=+ +++
mm
++++=
() ( 1)
mm
−
11
−
−
110
−
′
′
Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получаем
передаточную
Gs
функцию по s:
1
mm
bbs bs bs
01 1
==
1...
+++ +
...
+++ +
as a s a s
11
−
mm
−
1
mm
−
mm
−
.
Аналогичным образом, на основании разностного уравнения
+ −++ − = + −++ − ,
101
mm
можно построить дискретную передаточную функцию, использовав
теорему о сдвиге вправо:
11
−− −−
+++ = +++
101
()
Gz
== =
()
uz
mm
1
−−
bbz bz
+++
01
+++
...
−−−
1
m
m
m
m
−
.
m
Пример 4.9. Выполнить билинейное преобразование для системы
второго порядка, передаточная функция которой имеет знаменатель
;
69
2
12
Az z az a
wzw
12
Aw a a
() (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
()
Aw
(1) 1 0;
(1) 1 0;
( ) (1 )(1 )...(1 )
xs Ts Ts Ts
11 1 1
TT T T
AimAK
()
=+ +
.
Решение
1
После подстановки
mm
11
ww
++
⎛⎞ ⎛⎞
()
=+ +
⎜⎟ ⎜⎟
11
ww
−−
⎝⎠ ⎝⎠
+
1
−
получим
1
−
=
.
Полученное выражение запишем в виде
Aw w a w w a w
=+ + + − + − =
(1 ) 2(1 ) (1 ).
aa aw aa
=− + + − +++
12 2 12
21 2
12
2
Для системы второго порядка все коэффициенты
m
−
строго по-
ложительны, если
Aaa
−=− + >
Aaa
=+ + >
1.
a
<
2
12
12
Пример 4.10. Требуется вычислить дискретную передаточную
функцию объекта, имеющего непрерывную передаточную функцию
()
Gs
ys K
==
()
++ +
12
m
с экстраполятором нулевого порядка на входе.
Решение
Раскладываем G(s)/s на элементарные дроби:
1.
11 1
Gs
K
()
==+++
ss
70
⎛⎞⎛ ⎞
ss s s s
++ + +
⎜⎟⎜ ⎟
12
⎝⎠⎝ ⎠
m
K
−
∏
jj
1
=
ji
===
10
∏
≠
m
⎛⎞
11
−+
⎜⎟
⎜⎟
TT
jij
1
=
⎝⎠
≠
ji
...
TT T A A
12 0
mm
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
...
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
mm
⎝⎠ ⎝⎠
s
⎝⎠
1
T
, 1, ..., ,
.
A
1
...
1
+
T
1
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]