Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, спектр дискретного процесса является периодиче-
2
() {()} () d
s
xs Lxt xte t
sj
{()} () d 1
Lt te t
0
kTs
0
kTs
0
2
T
ской функцией частоты с периодом
π
.
=
T
ω
Д
3.4. Дискретное преобразование Лапласа
Преобразование
Лапласа, используемое для непрерывных систем,
применимо также для решения разностных уравнений и определения
реакции на дискретные сигналы. Однако для последних целей наиболее удобным оказывается применение z-преобразования.
Рассмотрим дискретные сигналы в виде последовательности
взвешенных мгновенных импульсов, а не в виде ряда ограниченных
чисел, так как преобразование Лапласа от последнего тождественно
равно нулю. Решение любой задачи, включающей в себя последовательности ограниченных чисел, непосредственно следует из решения
соответствующей задачи для мгновенных импульсов.
Применение к единичному идеальному импульсу преобразования
Лапласа
где
=σ+ ω
∞
==
∫
0
– комплексная переменная, дает соотношение
∞
δ=δ =
∫
0
t
−
, (3.12)
st
−
, (3.13)
а применение того же преобразования к импульсу, сдвинутому на
k
Т
, дает
0
{( )}
LtkT e
δ− =
−
0
. (3.14)
С учетом этих соотношений уравнение (3.12) приобретает следующий вид:
**
{()} () ( )
Lx t x s xkT e
==
∞
∑
=
k
0
−
0
. (3.15)
Отсюда следует, что преобразование Лапласа дискретной функции
времени является периодической функцией с частотой повторения
π
ω=
0
,
21
поскольку
()(),0,1,2,....
(( ))( ),0,1,2,...
00
22
xs xk te t
()()
Tx s xs Tx j x j
max max
;
.
0maxmax
**
xs j xs+νω = ν= ± ±
0
. (3.16)
Для того чтобы получить условие (3.16), достаточно в уравнении
(3.15)
заменить s на (s + j
ν
ω0).
Подставим s = σ + jω в выражение (3.16) и получим соотношение
Очевидно, что функция х
вательно, если х
на интервале
**
xj xjσ+ ω+νω = σ+ ω ν= ± ±
*
(δ + jω) известна при всех значениях переменной σ
ωω
−≤ω≤
0
*
(s) повторяется с периодом νω0. Следо-
т.е. в пределах основной полосы плос-
,
кости s, она определена на всей плоскости. Функции х
. (3.17)
*
(s) имеют од-
ни и те же значения в конгруэнтных точках, принадлежащих различным дополнительным полосам, соответствующим более высоким
частотам.
Теорема прерывания. Если непрерывный сигнал x(t) квантуется
с малым тактом Т
= Δt, то его преобразование Лапласа, определен-
0
ное соотношением (3.12), можно приближенно заменить бесконечной суммой
∞
() ( )
≈ΔΔ
∑
k
=
0
kts
−Δ
. (3.18)
Сравнивая выражение (3.18) с уравнением (3.15), можем записать
если такт Т
**
() (),или
≈ σ+ω≈ σ+ω,
00
достаточно мал.
0
Если непрерывный сигнал х(t) имеет ограниченную полосу час-
тот, его преобразование Фурье удовлетворяет следующим условиям:
()0 при
xj
ω ≠ −ω ≤ω≤ω
xj
()0при
ω= ω<ω ω>ω
max max
и
Предположим, что такой сигнал подвергается квантованию с ма-
лым тактом Т
*
х
(t). Если величина Т0 достаточно мала, преобразование Фурье рас-
, после чего аппроксимируется последовательностью
0
падается на «основной спектр»:
*
() ()Tx j x jω≈ ω −ω ≤ω≤ω ,
22
и совокупность повторяющихся с периодом Т
( ) ( ), 1, 2, ...
max max
|( )|1, ;
|( )|0, ,
max
max
max
0
T
«дополнительных
0
спектров»:
*
Tx j x jω+νω ≈ ω ν=± ±
00
.
Таким образом, в спектре квантованного сигнала по сравнению со
спектром непрерывного появляются дополнительные высокочастотные составляющие.
При восстановлении непрерывного сигнала с помощью идеального полосового фильтра, имеющего следующую характеристику:
Gj
ω = −ω ≤ω≤ω
Gj
ω= ω<−ω ω>ω
минимальная ошибка достигается только при условии
max max
и
ω
0
≥ω
2
ω
0
если же частота квантования недостаточно велика, т.е.
<ω
, то
2
на основной спектр накладываются дополнительные спектры и точное выделение исходного спектра становится невозможным. Следовательно, в этом случае нельзя восстановить без ошибки непрерывный сигнал, даже если он обладает ограниченной полосой частот.
Для того чтобы непрерывный сигнал со спектром, ограниченным
максимальной частотой ω
, можно было точно восстановить по по-
max
следовательности его дискретных значений, необходимо, чтобы частота квантования ω
удовлетворяла условию
0
;
ω
Следовательно, для такта квантования Т
тельникова, должно выполняться условие
На практике в системах управления или передачи информации
непрерывные сигналы с ограниченными спектрами не встречаются.
Тем не менее в теории цифрового управления частота, определяемая
выражением
ω= =
≥ ω
0
T
≤
0
Sh
.
max
, согласно теореме Ко-
0
π
.
ω
ω
π
0
,
2
23
играет роль своего рода эталонной константы. Она определяет поло-
00
() ( ) ( )
xt xkT t kT
0
kTs
00 0
() ()[1( )1((1))]
mt xkT t kT t k T
k
су пропускания дискретной системы.
Фиксирующий элемент. Если в дискретной системе после кван-
тователя стоит фиксатор (экстраполятор нулевого порядка), который
на период, равный такту квантования, фиксирует мгновенное значение дискретного сигнала x(kT
), то на его выходе формируется сту-
0
пенчатый сигнал (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Схема, содержащая квантователь и экстраполятор
Передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка можно
получить следующим образом. На вход экстраполятора поступает
последовательность импульсов
∞
*
=δ−
∑
=
0
k
,
для которой преобразование Лапласа имеет вид
*
() ( )
xs xkTe
=
∑
k
Выходом экстраполятора является ступенчатый сигнал
∞
=−−−+
∑
=
0
k
для которого преобразование Лапласа определяется выражением
∞
() ( ) 1
ms xkT e e
24
=−
∑
0
=
k
*
xs
∞
=
0
0
()
−
0
1
−
Ts Ts
00
⎡⎤
⎣⎦
s
.
,
.
Отсюда можно получить передаточную функцию экстраполятора
T
⎡
⎣
jTj
[cos sin ]
() {( )} ( ) (0) (1) (2) ...
нулевого порядка:
() 1
Hs e
ms
() 1
==−
*
xs
()
s
s
−
0
⎤
.
⎦
На низких частотах характеристики такого экстраполятора подобны характеристикам фильтра с передаточной функцией апериодического звена:
⎛⎞
lim ( ) lim 1
ω→ ω→
ω= − =
Hj
00
⎜⎟
11
⎜⎟
ω+ω
⎜⎟
1 ...
⎜⎟
⎝⎠
ωω
Tj Tj
00
++ +
1! 2!
2
()
T
0
1
.
0
3.5. Z-преобразование
Введем
В результате использования этой переменной в уравнении (3.15)
получается z-преобразование импульсного сигнала х
xz Z xkT xkT z x x z x z
новую переменную
Ts T j T
ze e e T j T
== = ω+ ω.
== =+++
00
()
00 0
σ+ ω σ
∞
∑
k
0
=
k
−−−
00
*
(t):
12
, (3.19)
т.е. дискретному сигналу x ставится в соответствие комплексная
функция X(z) комплексного аргумента z, коэффициентами которого
являются отсчеты сигнала x. Z-преобразование сигнала x может быть
определено не на всей комплексной z-плоскости, а та область плоскости, где оно определено, т.е. ряд (3.19) сходится, называется обла-
стью сходимости, представляющей собой степенной ряд. Этот бесконечный ряд сходится, если все его члены |x(kT
)| ограничены и ес-
0
ли справедливо условие |z| > 1. Поскольку величина σ может выби-
раться произвольно, сходимость имеет место для широкого класса
функций x(kT
). Следует иметь в виду, что метод z-преобразования
0
основывается на тех же предположениях, что и преобразование Лапласа, причем особенно важно выполнение условия x(kT
) = 0 при
0
k < 0.
25
Z-преобразование является основным математическим аппаратом
()()
n
ss zz
01
T
ze
{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}
ZaxkT bxkT aZxkT bZxkT
{( d )} ()
ZxkT T z xz
d
ZxkT T z xz xqT z
⎡
⎢⎥⎢⎥⎣
00
{() } ( )
a
(0) lim ()
xxz
lim ( ) lim ( )lim( 1) ( )
xkT xz z xz
исследования линейных стационарных дискретных систем. Использование этого преобразования характеризуется следующими особенностями:
а) имеется непосредственная взаимосвязь между знаменателями
выражений для x(s) и x(z):
где
……
↔
−−
11
s
=
1
;
,
n
б) прямое соответствие между числителями выражений для x(s) и
x(z)
отсутствует, в частности, у x(z) числитель может быть описан
полиномом, если числитель x(s) – функция иного типа.
Теоремы z-преобразования. При решении практических задач
для определения дискретных преобразований сигналов используются
результаты теорем, доказательства которых можно найти в специальной литературе.
1)
Линейность:
+= +
10 20 10 20
.
2) Сдвиг по времени вправо:
d
−
3)
Сдвиг по времени влево:
−=
00
.
{( d )} () ( )
+= −
00 0
4) Изменение масштаба по переменной z:
kT aT
Начальное значение:
5)
Zxke xze
Конечное значение:
6)
26
kzz
→∞ → →
0
−
=
+=
z
→∞
1
z
=−
−
11
z
d
∑
q
−
1
0
=
⎤
q
−
.
⎦
.
.
.
Обратное z-преобразование. В отличие от преобразования Лап-
00
() ( ) ( )
xt xkT t kT
00
() ( ) ( )
yt xkT gt kT
000 00
() ()(( )) ( ))()
ynT xkT g n kT xn T g T
ласа, для которого прямой и обратный переходы x(t)→x(s) и x(s)→x(t)
выполняются однозначно, z-преобразование x(t)→x(z) и обратное
преобразование x(z)→x(s) не обладают этим свойством. Объясняет-
z-
ся это тем, что они не учитывают поведения функции x(t) в промежутках между моментами срабатывания квантователя. В то же время
преобразование x(kT
)→x(z) и обратное преобразование x(z)→x(kT0)
0
взаимно однозначны.
На практике обратное преобразование вычисляют, записывая
функцию x(z) как сумму элементарных членов, содержащихся в таблицах z-преобразований, или просто поделив числитель x(z) на ее
знаменатель. В последнем случае получается ряд вида
x(z) = c
+ c1z–1 + c1z–1 + … .
0
Из этого уравнения следует, что
x(0) = c
; x(1) = c1; x(2) = c2 и т.д.
0
3.6. Дискретная передаточная функция
Сумма свертки. Чаще
всего на практике квантователь располо-
жен на входе линейной системы с передаточной функцией G(s) или
переходной функцией g(t). Импульсный входной сигнал, поступающий в систему, описывается выражением
∞
*
=δ−
∑
0
k
=
.
Линейная система с импульсным входом и выходом. Учитывая,
что переходная функция определяет реакцию системы на единичный
импульс δ(t), ее выходной сигнал выражается суммой свертки:
∞
=−
∑
0
k
=
.
Если квантование входного и выходного сигналов осуществляется
синхронно, то при t = nT
∞∞
=−=−νν
∑∑
00
k
=ν=
можно записать:
0
.
27
Дискретная передаточная функция. Преобразование Лапласа
00
n
s
() ( ) ( ) ) ( ) ( ) ;
k
0
qTs
0
Ts
ze
() ( ) {()}
Gs gqTz Zgq
() () ... () ()
() () ... () ().
bxtbx t bxtbxt
()()()
Bs
As
импульсного сигнала на выходе системы можно определить так:
*
ys ynTe xkTgn kTse
∞∞∞
() ( ) ( ) ( ) )
== −
∑∑∑
===
000
nnk
−−
Ts kT
000
.
Учитывая, что q = n – k, можно записать:
⎧
*
ys xkTgn kTse gqTe xkTe
⎪
⎨
⎪
***
ys Gsxs
⎩
∞∞ ∞ ∞
=−=
∑∑ ∑ ∑
qkk q k
=− = = =
() () ().
=
00 0 0
000
Ts qTs kTs
−−−
000
Отсюда дискретную передаточную функцию можно определить
как
*
ys
*
==
() ( )
Gs gqTe
*
xs
()
()
∞
∑
q
−
0
0
=
.
При переходе к переменной
= дискретная передаточная
функция по аргументу z принимает следующий вид:
*
yz
== =
xz
()
∑
q
=
0
−
q
0
. (3.20)
∞
()
Выражение (3.20) представляет собой дискретную передаточную
функцию.
Выражение для передаточной функции дискретной системы можно получить из описания системы с помощью дифференциальных
уравнений.
Динамические свойства линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами полностью определяются его дифференциальным уравнением, имеющим вид
() ( 1)
mm
ay t a y t ayt yt
mm
=+ +++
mm
++++=
() ( 1) /
mm
−
11
−
−
110
−
′
Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получаем
передаточную
28
функцию по s:
1
mm
Gs
+++ +
1...
bbs bs bs
01 1
==
...
+++ +
as a s a s
11
−
mm
−
1
mm
−
mm
−
.
Аналогичным образом для разностного уравнения
( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )
yk ayk a yk m bxk bxk bxk m
()[1 ... ] ()[ ... ]
m
yz az az xz b bz bz
1
11
() ( )
1... ()
yz Bz
az a z Az
mzm
bb b
xk a a
11 (1)
m
0
yk yk yk u
+−++ −= +−++−
101
mm
можно построить дискретную передаточную функцию на основании
теоремы о сдвиге вправо:
11
−− −−
+++ = +++ ,
101
()
Gz
== =
xz
mm
1
bbz bz
()
−−
+++
01
−−−
+++
1
...
m
m
m
m
m
−
.
Свойства дискретной передаточной функции
Статические системы. Если объект управления является стати-
ческим, коэффициент усиления импульсной системы можно определить, воспользовавшись теоремой о конечном значении:
...
()
→∞
yk
===
KGz
( ) 1 ...
→∞ + + +
lim ( )
→
1
+++
01
1
.
Системы с астатизмом. Если в объекте управления содержится
«
чистый» интеграл, импульсная передаточная функция системы име-
ет полюс при z = 1:
1
−−
bbz bz
()
Gz
1
=
−− −−
(1 ) 1 ...
zaz az
−+++
+++
01
//
1
...
m
.
m
m
Установившаяся скорость изменения выходного сигнала такой
системы при подаче на ее вход ступенчатого сигнала u
bb b
Если b
k = 0.
Однако для большинства реальных систем коэффициент b
() () ( 1)
Δ= −−=
≠ 0, выходной сигнал объекта претерпевает скачок при
0
01
aaz
1...
+++
1
...
+++
//
m
−−
m
m
(1)
составляет
0
.
вен нулю, поскольку при синхронной работе квантователей скачки
невозможны хотя бы в силу инерционности исполнительных устройств и датчиков.
Модулированная по амплитуде дискретная функция x
чаемая путем квантования по времени непрерывного сигнала х(t) с
постоянным тактом Т
, математически описывается выражением
0
0
(kT0), полу-
T
ра-
29
0,1,2,...
==
[] 4 [] 5 [] 2[] 0
[] 4 [] 4 [] [] 0
[] 3 [] 3 [] [] 1
[] 2 [] [] 2
n
6
n
()(1)()(0)(1){(1) (0)}(){(2)
(0) 0
(1) 1
( 1) ( ) 0, 1,2, 3,....
2
(2) (1) ;
(3) (2) ;
haha
haha
() ( ) при ;
xt xkT t kT
T
xt t kT t k T
() 0 при (1)
T
00
==<<+
00
⎫
k
=
⎬
.
⎭
Примеры решения задач и контрольные задания
к разделу 3
Определить порядок разностного уравнения:
3.1.
32
а)
fn fn fn fnΔ+Δ+Δ+ =
432
б)
fn fn fn fnΔ+Δ+Δ−=
32 3
в)
fn fn fn fn nΔ+Δ+Δ+=+
32
г)
fn fn fnΔ+Δ+Δ=
432
д)
[] 4 [] 6 [] 5 [] 2[] sin
fn fn fn fn fn
Δ+Δ+Δ+Δ+ =
;
;
;
;
π
.
3.2. Решить разностное уравнение
0)0(],[][]1[ ==++ xnunaxnx .
Решение
[1][0][1][1][][2][1]...;
xn h un h un h un
+= ++ + −+
ax ah u k ah u k
uk xk xk h uk h ah uk h
ah u k
+−+
Это уравнение справедливо для любых последовательностей u
поэтому можно записать:
h = ;
h =
… … …
hi ahi i++ = =
Решение этой системы уравнений имеет следующий вид:
(1) 1;
h
(0) ( ) (1) ( 1) ...;
=+−+
k
=++ = ++ + + +
(1)} ( 1) ....
;
=
=− =−
,
i
=− =
… … … .
3.3. Решить разностное уравнение
y(n + 1) + ay(n) = u(n), y(0) = 0.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]