Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы статистики. Учебное пособие
.pdf
x
δ
i
i
2
íâ
xx
ii
xf
′
i
( )
ii
xx f
−⋅
σ
4,69
23
x
δ
5.3. Показатели вариации признака
Дисперсия раскладывается на составные элементы, позволяющие
оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию
признака.
Для сравнения «колеблемости» признаков в одной совокупности
или одного признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используют относительные показатели
вариации.
Наиболее часто используемый показатель относительной «колеблемости» — коэффициент вариации, который рассчитывается не только для
сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности
совокупности:
100.v
= ⋅
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации
не превышает 33 %.
Расчет показателей вариации для осужденных, сгруппированных
по возрасту, показан в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Расчет показателей вариации для осужденных,
сгруппированных по возрасту
Возраст
осужден-
ных, лет
Свыше 30 90 32,5 2925 760 8122,5
Число осу-
жденных,
чел.
x
До 20 200 17,5 3500 200 6050
20–25 350 22,5 7875 550 87,5
25–30 120 27,5 3300 670 2430
Итого: 760 – 17600 – 16690
∑
= = = …
2
100 100 20,39%.
v
=⋅= ⋅=
f
n
′
xx f
−⋅
( )
ii
i
=
1
n
f
∑
i
i
=
1
21,96 ( ).Dσ= = ãîäà
2
Середина
интервала
+
′
x
=
i
16 690
760
⋅
4,69 ( ).
ãîäà
Накоплен-
ные
частоты,
S
′
2
81
( )
ii
δ
i
x
i
n
( )
22
nf
σσ
∑∑
∑∑
σ
Глава 5. Статистические распределения и их основные характеристики
Среднее линейное и среднеквадратическое отклонения показывают
на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности.
Так, в данном примере средняя величина «колеблемости» возраста осужденных составляет по среднеквадратическому отклонению —
4,69 года.
Коэффициент вариации позволяет сделать вывод об однородности
анализируемой совокупности.
5.4. Правило сложения дисперсий
Дисперсия признака по всей изучаемой совокупности, т. е. общая
дисперсия, характеризует вариацию признака как результат влияния
всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то вариация признака в целом по совокупности
зависит от вариации признака внутри каждой группы и от вариации
групповых средних, т. е. от межгрупповой вариации признака.
Таким образом, общую дисперсию можно получить на основе ее составляющих — межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.
Межгрупповая дисперсия
цию, т. е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.
Межгрупповая дисперсия определяется по формуле:
2
x xn
−
( )
∑
2
=
∑
где
– средняя по отдельной группе;
ленной группе.
Средняя из внутригрупповых дисперсий
чайную вариацию, возникающую под влиянием прочих факторов,
независящих от признака-фактора.
Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:
2
n xx f
σ
ii i
= =
i
2
где
Между общей, средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсиями существует связь, определяемая правилом сложения дисперсий.
— дисперсия по отдельной группе.
n
,
i
èëè
2
δ
отражает систематическую вариа-
— число единиц в опреде-
2
σ
характеризует слу-
2
−
( )
,
82
222
0
σσσ
( )
η
( )
η
21,5 20 45,3 110 5413
20 110 130
⋅+ ⋅
+
4,0 20 3,0 110 410
20 110 130
σ
⋅+ ⋅
+
5.4. Правило сложения дисперсий
Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из вну-
тригрупповых и межгрупповой дисперсий:
= +
.
Используя это правило, можно определить, какая часть (доля) общей
дисперсии складывается под влиянием фактора, положенного в основу
группировки.
Соотношение межгрупповой и общей дисперсий называется коэф-
фициентом детерминации
2
h
и показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака,
положенного в основу группировки:
2
δ
2
.
=
2
σ
0
Используется правило сложения дисперсий и для определения сте-
пени связи между изучаемыми признаками. Для этого рассчитывается
эмпирическое корреляционное отношение
2
δ
.
=
2
σ
0
:
η
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1.
Чем больше значение приближается к единице, тем сильнее связь между
признаками.
Числовой пример. По выборочным данным о характере образования
и уровне оплаты труда работников (табл. 5.3) определим долю вариации
заработной платы, обусловленную различиями в характере образования.
Таблица 5.3
Выборочные данные
Образование
Техническое 21,5 20 4,0
Юридическое
y
= = =
2
= = =
j
Средний уровень
месячной заработной
платы, тыс. руб.
45,3 110
3,2
Количество
работников
41, 6 .
òûñ. ðóá
Дисперсия
заработной
платы, тыс. руб.
3,0
83
20 110 130
δ
+
0
σ
=+=
73, 7
76,9
η
Глава 5. Статистические распределения и их основные характеристики
21,5 41, 6 20 45,3 41, 6 110
( ) ( )
2
= = =
2
3,2 73,7 76,9
2
= ⋅=
22
−⋅+−⋅
100 95,8%.
9586,1
73, 7
Полученный коэффициент детерминации показывает, что вариация
в оплате труда на 95,8 % зависит от различий в характере образования.
ГЛАВА 6.
Выборочное наблюдение
Выборочное наблюдение — вид «несплошного» наблюдения, при котором обследованию подвергается часть исследуемой совокупности, при
этом показатели, рассчитанные для этой части, с заданной вероятностью и определенной ошибкой распространяются на всю исходную
совокупность.
Исходная совокупность называется генеральной, а отобранные для
исследования единицы называют выборочной совокупностью или
просто выборкой.
6.1. Понятие выборочного наблюдения и его особенности
В современных условиях экономии ресурсов большое внимание
уделяется выборочному обследованию, которое имеет определенные
преимущества перед сплошным и другими видами несплошного наблюдения. Одной из основных задач выборочного обследования является
отбор оптимального числа наблюдений, способных репрезентировать
(представлять) всю генеральную совокупность. Как правило, доля выборки составляет 5, 10 или 15 %.
Отбор единиц из генеральной совокупности при проведении выборочного обследования носит случайный характер, что создает условия
для применения методов математической статистики в оценке параметров генеральной совокупности, то есть делает выборочное наблюдение — научно обоснованным видом несплошного статистического
наблюдения.
При выборочном наблюдении обследуется не вся генеральная совокупность, а только ее часть. В связи с этим могут возникать расхождения в параметрах генеральной и выборочной совокупностей, которые
называются ошибками выборки.
Выборочному наблюдению присущи специфические ошибки статистического наблюдения — ошибки репрезентативности. Ошибки
85
Глава 6. Выборочное наблюдение
репрезентативности бывают систематическими и случайными. Систематические ошибки, как правило, связаны с нарушением правил
отбора единиц совокупности, а случайные ошибки зависят от способа
организации выборки, ее объема и вариации признака в совокупности.
В зависимости от способа формирования выборочной совокупности
различают: простую случайную выборку, типическую, серийную, механическую, комбинированную и многоступенчатую.
По объему выборочной совокупности различают большие и малые
выборки.
6.2. Простая случайная выборка
Развитие теории выборочного наблюдения началось с рассмотрения
простой случайной выборки.
Простая случайная выборка — выборочное наблюдение, при котором отбор
единиц осуществляется непосредственно из генеральной совокупности.
Большой вклад в развитие простой случайной выборки внесли такие
ученые, как П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, Я Бернулли.
Существенным преимуществом выборочного наблюдения является возможность оценки параметров генеральной совокупности по ре
зультатам простой случайной выборки. Так, теорема П. Л. Чебышева
доказывает возможность оценки генеральной средней по данным
простой случайной выборки. В свою очередь, теорема Я. Бернулли
справедлива для оценки генеральной доли. А центральная предельная теорема А. М. Ляпунова позволяет установить вероятность появления расхождений между величиной выборочной и генеральной
средней.
Существует два основных вида выборки: повторная и бесповторная.
При повторной выборке случайно отобранная единица совокупности
после регистрации значения исследуемого признака возвращается
в генеральную совокупность и на следующем этапе отбора снова может быть выбрана. При бесповторном отборе выбранная случайным
образом единица в генеральную совокупность уже не возвращается
и дальнейший отбор осуществляется из оставшихся единиц генеральной
совокупности.
Применение повторной или бесповторной выборки зависит от конкретных целей и условий проведения исследования
-
86
x
x
p
ω
S
x
µ
µ
x
∆
∆
6.2. Простая случайная выборка
и оказывает существенное влияние на расчётные показатели (в том
числе ошибки выборки) результаты исследования. Бесповторный
отбор используется чаще повторного. Однако имеют место ситуации,
в которых проводится бесповторный отбор единиц из генеральной
совокупности, объем которой бесконечен или неизвестен. В этом
случае при расчете показателей выборки используются формулы
повторного отбора.
По данным выборки определяют следующие показатели:
N — объем генеральной совокупности;
n — объем выборочной совокупности;
— средняя арифметическая, рассчитанная по данным генеральной
совокупности (генеральная средняя);
— средняя арифметическая, рассчитанная по данным выборки
(выборочная средняя);
— доля единиц в генеральной совокупности, обладающих опре-
деленным значением признака (генеральная средняя);
— доля единиц в выборке, обладающих определенным значением
признака (выборочная доля);
2
– дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности
(генеральная дисперсия);
2
– дисперсия изучаемого признака в выборке (выборочная ди-
сперсия);
– среднее квадратическое отклонение изучаемого признака в ге-
неральной совокупности;
– среднее квадратическое отклонение изучаемого признака в вы-
борке;
— средняя квадратическая стандартная ошибка выборки для
средней;
— средняя квадратическая стандартная ошибка выборки для
p
доли;
— предельная ошибка выборки для средней;
— предельная ошибка выборки для доли;
p
t — коэффициент доверия.
Проведение выборочного наблюдения и оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки состоит из нескольких
основных этапов.
На первом этапе необходимо оценить репрезентативный (представительный) объем выборочной совокупности.
Формулы для определения необходимого и достаточного объема
выборочной совокупности представлены в табл. 6.1.
87
22
∆
Nt
, 8σ= ó ñë . åä. ,2∆= óñ ë. åä .
3:t =
2
Глава 6. Выборочное наблюдение
Формулы для определения необходимой численности выборки
Таблица 6.1
Вид выборочного
наблюдения
повторный
бесповторный
Формула
t
nσ=
n
=
2
22
Nt
σ
2 22
∆+
σ
Как видно из приведенных формул, чтобы оценить необходимый
объем выборочной совокупности следует знать:
• при повторной выборке: коэффициент доверия, дисперсию признака в генеральной совокупности и предельную ошибку выборки;
•
при бесповторной выборке: коэффициент доверия, дисперсию
признака в генеральной совокупности, предельную ошибку выборки и объем генеральной совокупности.
Коэффициент доверия t — это табличное значение, которое зависит
от вероятности, с которой гарантируется результат оценки расхождения
между параметрами генеральной и выборочной совокупности.
В табл. 6.2 представлены наиболее часто используемые значения
коэффициента доверия.
Таблица 6.2
Доверительная вероятность и коэффициент доверия
Доверительная вероятность, Ф (t) 0,683 0,954 0,997
Коэффициент доверия, t 1 2
3
различными способами. Например, по данным пробного обследования
или по результатам прошлых выборочных обследований.
дратическое отклонение генеральной совокупности составило 8 условных единиц. Сколько необходимо отобрать единиц, чтобы предельная
ошибка выборки не превысила 2 условных единицы, гарантируя результат с вероятностью 0,997.
88
Дисперсия признака в генеральной совокупности может оцениваться
Числовой пример. По данным пробного обследования среднее ква-
22
При
38
n = = единицы.
144
2
n
∑
1
i
∑
1
i
ω
0,5 87 1, 5 232 2, 5 386 3,5 295
87 232 386 295
⋅+⋅+⋅+⋅
+++
295
1000
6.2. Простая случайная выборка
Вторым этапом является случайный отбор единиц совокупности
заданного объема и их непосредственное наблюдение. Существует
два основных метода случайного отбора единиц: метод жеребьевки
и с помощью таблиц или генератора случайных чисел. Таблица или
генератор случайных чисел удобно использовать в случае большого
объема данных.
На третьем этапе выборочного обследования оценивается выбороч-
ное среднее или выборочная доля в зависимости от целей исследования.
Выборочное среднее вычисляется по формуле средней арифметической:
n
x
i
i
1
=
• для несгруппированных данных:
• для сгруппированных данных:
Выборочная доля рассчитывается по формуле:
=
x
n
i
=
x
∑
;
(6.1)
xf
ii
1
=
.
(6.2)
n
f
i
=
=
∑
f
i
n
=
.
(6.3)
f
i
Числовой пример. Для определения срока нахождения дел об административных правонарушениях в суде общей юрисдикции было проведено 5 % бесповторное выборочное обследование 1000 дел. Данные
выборочного обследования представлены в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Данные выборочного обследования
Срок нахождения дел
в суде, мес.
Количество дел 87 232 386 295
Определить средний срок нахождения дел об административных
правонарушениях в суде общей юрисдикции и долю дел со сроком
рассмотрения более 3 месяцев по выборке.
Оценим выборочный средний срок нахождения дел об административных правонарушениях в суде общей юрисдикции:
x
= =
и выборочную долю дел со сроком рассмотрения более 3 месяцев:
ω
= =
0,295.
Менее 1 1–2 2–3 3–4
2, 4 .
ìåñ
89
n
Sn
nN
( )
1
ii
i
∑
( )
ωω
t
µ
∆= ⋅
( )
xx
( )
pp
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
0,863
−⋅+−⋅+−⋅+−⋅
( )
Глава 6. Выборочное наблюдение
На четвертом этапе рассчитываются средняя квадратическая стан-
дартная ошибка выборки и предельная ошибка.
Формулы выборочных показателей для простой случайной выборки
представлены в табл. 6.4.
Таблица 6.4
Формулы ошибок простой случайной выборки
Показатель Повторный
отбор
Средняя квадратическая
стандартная ошибка выборки
Дисперсия для средней
Дисперсия для доли
Предельная ошибка выборки
2
S
µ
=
2
S
=
Ошибки выборки определяются для выборочной средней
и выборочной доли
µ
è .
∆
Бесповторный
отбор
n
x xf
1
i
=
∑
2
1S
= −
µ
= −
′
−
n
f
i
=
2
(1 )
µ
è
∆
Величина средней квадратической стандартной ошибки выборки
зависит от объема выборки и от степени вариации признака в совокупности (дисперсии). Предельная ошибка выборки рассчитывается на основе средней квадратической стандартной ошибки выборки с учетом
вероятности, с которой гарантируется результат.
Числовой пример. По данным табл. 6.3 определим среднюю квадратическую стандартную и предельную ошибки для доли и для средней
с вероятностью 0,997.
Рассчитаем дисперсии для средней:
0,5 2,4 87 1,5 2,4 232 2,5 2, 4 386 3,5 2, 4 295
2
S
= =
+++
87 232 386 295
=
и для доли:
2
0,295 1 0,295 0,208.S = −=
Тогда средние квадратические стандартные ошибки выборки будут
соответственно равны:
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]