Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы статистики. Учебное пособие
.pdf
4.3. Средние величины
При анализе преступлений со специальным субъектом — против
государственной власти, интересов государственной службы и службы
в органах местного самоуправления, против военной службы — следует
рассчитывать коэффициент преступности на определенное число соответствующих социальных групп.
Статистический комитет СНГ рассчитывает коэффициент преступности в регионах СНГ на среднегодовую численность населения
(получаемую путем деления на два слагаемых численности населения
на начало и конец отчетного года) (табл. 4.3).
Таблица 4.3
Коэффициенты преступности на 100 тыс. населения
государств — участников СНГ в 2010–2014 гг.
Период (год) 2010 2011 2012 2013 2014
Азербайджан 258,0 268,0 239,0 238,0 261,0
Армения 510,0 547,3 521,7 606,7 582,2
Беларусь 1485,0 1394,0 1079,0 1021,0 991,0
Казахстан 810,0 1250,0 1710,0 2110,0 1980,0
Кыргыстан 655,7 557,2 519,6 480,5 468,6
Молдова 940 990 1030 1070 1170
Таджикистан 193,4 218,6 210,1 2270,6 234,4
Туркменистан - - - - -
Узбекистан - - - - -
В процессе статистического исследования абсолютные и относительные
величины должны анализироваться во взаимосвязи и взаимозависимости.
4.3. Средние величины
В процессе анализа статистических данных возникает необходимость расчета средних величин (среднедушевой доход населения, средняя заработная плата, средний возраст осужденных, средний срок
лишения свободы, средняя продолжительность рассмотрения дел).
Средняя величина — обобщающий статистический показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего (изменяющегося) количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях
места и времени.
71
Глава 4. Обобщающие статистические показатели
Средняя величина отражает то общее, что свойственно всем единицам исследуемой совокупности, в ней взаимопогашаются отклонения
значений признака, обусловленные действием случайных факторов.
Применение средних величин как обобщающих статистических
показателей очень широко.
Выполнение ниже указанных условий обеспечивает объективность
и типичность статистической средней.
Средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности, для получения которой необходима предварительная группировка данных;
Средняя должна вычисляться по массовым данным для погашения
колебаний в величине признака, вызванных случайными причинами.
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность,
что и признак у отдельных единиц совокупности.
Средняя, определенная по совокупности в целом, называется общей сред-
ней; средние, рассчитанные для каждой группы — групповыми средними.
Общая средняя показывает общие черты изучаемого явления, групповая средняя характеризует размеры явления в условиях определенной
группы.
Сравнительный анализ групповых и общих средних используется
для характеристики изучаемого правового и юридически значимого
явления.
Виды средних величин. Выделяют две категории средних величин:
1) степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармони-
ческая, средняя квадратическая, средняя геометрическая);
2) структурные позиционные средние (мода, медиана).
Выбор вида средней обоснован целью исследования, экономической
и юридической сущностью усредняемого показателя и характером имеющихся исходных данных.
Таким образом, при выборе вида средней величины исходят из логической сущности усредняемого признака и его взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем, величина которого не должна
изменяться при замене индивидуальных значений признака средней
величиной.
Виды степенных средних величин. Степенные средние величины
можно определить либо, когда каждая варианта (от лат.varians — видоизменение, разновидность) в данной совокупности встречается
72
ii
xf
n
11
fw
xx
fw
xx
⋅⋅
∑∑
∑∑
nn
nx
11
ii
ff
∑
n
∑
11
fw
xx
fw
xx
⋅⋅
∑∑
∑∑
n
xf
xxx x<< <
4.3. Средние величины
только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо, когда варианты повторяются различное число раз, при
этом число повторений вариант называется частотой или статистическим весом, а средняя, рассчитанная с учетом весов — средней
взвешенной:
n
k
∑
⋅
1
i
=
.
n
i
(4.8)
f
i
1
=
∑
k
x
=
В зависимости от степени k получаются различные виды средних
величин, их формулы представлены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Формулы различных видов степенных средних величин
Значе-
ние k
–1 Гармони
Наименование
средней
ческая
Простая Взвешенная
-
xx=
1
Форму
ла средней
= =
;
∑
0 Геометри-
ческая
1 Арифме-
тическая
2 Квадрати-
ческая
x xxx= ⋅⋅ =
12
x
=
∑
x
=
Ï
x
2
x
= =
Величины степенных средних, рассчитанных на основе одних
и тех же индивидуальных значений признака при различных значениях степени k, не одинаковы. Чем выше степень средней, тем больше
величина самой средней:
ãðàì ãåîì арифм квадр
.
f
x xx
= ⋅
;
2
⋅
∑
x
=
∑
f
73
∑
Глава 4. Обобщающие статистические показатели
Средняя арифметическая и средняя гармоническая — наиболее распро-
страненные виды средней, которые широкое используются в плановых
расчетах, при определении общей средней из средних групповых, а также при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью метода
группировок.
В юридической статистике самое широкое применение находит
средняя арифметическая. Она используется при анализе правонарушений, результатов деятельности по контролю над ними, при оценке
нагрузки оперативных работников, следователей, прокуроров, судей,
адвокатов и других сотрудников юридических учреждений.
Числовой пример. Известны данные о числе обвиняемых (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Распределение обвиняемых
Число обвиняемых, чел. Число уголовных дел, шт.
1 140
2 220
3 160
4 40
5 10
ИТОГО 570
Определим среднее число обвиняемых на одно уголовное дело с использованием средней арифметической взвешенной:
n
xf
⋅
1 140 2 220 3 160 4 40 5 10 1270
ii
i
1
x
=
= = = =
n
∑
i
1
=
⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅
140 220 160 40 10 570
f
i
+ + ++
2
чел.
Среднее число обвиняемых составило 2 человека.
Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратиче-
ского отклонения, являющегося показателем вариации («колеблемости»
индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической
в рядах распределения).
Средняя геометрическая (простая) используется при вычислении
среднего коэффициента роста в рядах динамики в случае равенства
промежутков времени, к которым относятся коэффициенты роста.
74
=−= −=−
4.4. Структурные позиционные средние
Если коэффициенты роста относятся к периодам различной продол
жительности, то общий средний коэффициент роста за весь период
определяется по формуле средней геометрической взвешенной.
Числовой пример. По данным табл. 4.2 определим среднегодовое
изменение общего числа осужденных в России в 2011–2014 гг.
1
n
−
K KKK K
= ⋅ ⋅ ⋅⋅
p p p p pn
K = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ =
p
TK=⋅= ⋅=
pp
TT
ïp p
123 1
739 279 735 590 719 305
3
782 274 739 279 735 590
100 0,972 100 97,2%.
100 97,2 100 2,8%.
.
−
3
0,954 0, 995 0,978 0,972.
В среднем за рассматриваемый период общее число осужденных
снизилось на 2,8 %.
4.4. Структурные позиционные средние
Структурные позиционные средние — мода и медиана. В отличии
от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с определенными
вариантами совокупности. Поэтому они широко применяются в юридической статистике.
-
Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается
в совокупности. Она соответствует определенному значению признака.
Медиана — значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда (ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания
значений признака) и делит этот ряд на две равные по численности части.
Методология и примеры расчета структурных средних рассмотрены
в главе 5.
ГЛАВА 5.
Статистические распределения
и их основные характеристики
Основными прагматическими характеристиками статистических
распределений являются: вариация признака в совокупности, показатели центра распределения и степени вариации.
5.1. Вариация признака в совокупности
и значение ее изучения
Вариация признака в совокупности — наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.
Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено
влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака.
Для определения характера распределения единиц совокупности
по варьирующим признакам, выявления закономерностей строят ряды
распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему
признаку.
Ряд распределения оформляют в виде групповой таблицы, имеющей
две графы: группы по выделенному признаку (графа вариант) и численность групп (графа частот).
Различают два типа рядов распределения: атрибутивные и вариа-
ционные.
Ряды распределения, построенные по качественным признакам, называют атрибутивными. Примером атрибутивных рядов может служить
распределения осужденных по полу, по социальной принадлежности.
Ряды распределения, построенные по количественному признаку,
называют вариационными.
По характеру вариации значений признака различают:
• дискретные (признаки с прерывным изменением);
• непрерывные (признаки с непрерывным изменением).
76
5.2. Показатели центра распределения
Признаки с прерывным изменением могут принимать лишь конеч-
ное число определенных значений.
Признаки с непрерывным изменением могут принимать в опреде-
ленных границах любые значения.
Для признака, имеющего прерывное изменение и принимающего
небольшое количество значений, применяется построение дискретного
ряда. В первой графе ряда указываются конкретные значения каждого
индивидуального значения признака, во второй графе — численность
единиц с определенным значением признака (см. табл. 4.5).
Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интер-
вальный вариационный ряд (в табл. 5.1 — числовой пример интервального
вариационного ряда), состоящий, так же как и дискретный ряд, из двух
граф (варианты и частоты). При его построении в первой графе отдельные значения признака указываются в интервалах «от — до», во второй
графе — число единиц, входящих в интервал.
Таблица 5.1
Группировка осужденных по возрасту
Возраст осужденных, лет Число осужденных, чел.
До 20 200
20–25 350
25–30 120
Свыше 30 90
Итого: 760
Для анализа вариационных рядов используются показатели центра
распределения и степени вариации.
5.2. Показатели центра распределения
Для характеристики среднего значения признака в вариационном
ряду используются средняя арифметическая, мода и медиана.
Расчет средней арифметической для дискретного вариационного
ряда выполним по данным табл. 4.5.
Расчет средней арифметической для интервального вариационного
ряда выполним по данным примера, приведенного в табл. 5.1.
77
′
∑
ff
−+
−
2
∑
Глава 5. Статистические распределения и их основные характеристики
xf
⋅
17600
x
ii
= = =
f
∑
760
i
23 .
ãîäà
Средний возраст осужденных составляет 23 года.
Мода и медиана характеризуют величину варианты, занимающей
определенное положение в ранжированном вариационном ряду.
Мода, как отмечалось выше, — наиболее часто встречающееся зна-
чение признака в вариационном ряду.
При изменении распределения в его концах мода не меняется, т. е.
она обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Поэтому моду наиболее удобно применять при изучении рядов с неопределенными границами.
В дискретном ряду мода — это варианта с наибольшей частотой.
По данным табл. 4.5 по наибольшей частоте (220 уголовных дел)
мода равна 2 чел., т. е. наиболее часто встречающееся число обвиняемых — 2 чел.
В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал,
т. е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту.
Конкретное значение моды определяется по формуле:
Mx i
= +
oM
o
[ ][ ]
ff ff
− +−
MM MM
oo oo
где
x
— нижняя граница модального интервала;
M
модального интервала;
модальному;
o
— частота интервала, следующего за модальным.
( 1)oMf+
MM
( 1) ( 1)
−
oo
— частота интервала, предшествующего
( 1)oMf−
,
(5.1)
f
— частота
M
o
( 1)
Медиана соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда.
Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака, превышающие медиану, другая —
меньше медианы.
Положение медианы определяется ее номером.
n
1
f
+
i
i
1
N
Me
=
=
(5.2)
.
В дискретном вариационном ряду медиану определяют по накопленным частотам, накапливая частоты до тех пор, пока не будет превзойден
номер медианы (накопленная частота для данной варианты получается
суммированием частот всех предшествующих интервалов, включая
данный).
Для данных табл. 4.5 номер медианы равен:
78
570 1
2
1
n
+
Me
x
Me
f
350 200
(350 200) (350 120)
−
760 1
2
380,5 200
350
−
5.3. Показатели вариации признака
N+= =
Me
285,5.
Накапливаем частоты: в 140 уголовных делах обвиняется не более 1
человека, 140 + 220 = 360 — не более 2 человек и т. д.
Таким образом, медиана данного ряда — 2 человека.
В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал,
в котором находится медиана.
Медианным является первый интервал, в котором сумма накоплен-
ных частот превысит половину общего числа наблюдений.
Численное значение медианы определяется по формуле:
S
−
( 1)
Me
Me x i
= +
Me
где
— нижняя граница модального интервала; i — величина
интервала;
медианному;
2
– накопленная частота интервала, предшествующего
( 1)MeS−
— частота медианного интервала.
−
,
f
Me
(5.3)
Определим показатели центра распределения по группировке осу-
жденных по возрасту (см. табл. 5.1).
По наибольшей частоте мода находится в интервале 20–25.
20 5 22 ,
= +⋅ =
Ìî ãîäà
−+−
N+= =
Me
380,5.
Интервал 20–25 является первым, в котором сумма накопленных
частот превышает номер медианы.
20 5 23
= +⋅ =Ìå ãîäà
.
Вывод: наиболее часто встречающийся возраст осужденных состав-
ляет 22 года, половина осужденных старше (моложе) 23 лет.
5.3. Показатели вариации признака
Для характеристики размера вариации («колеблемости») признака
используются абсолютные и относительные показатели.
К абсолютным показателям вариации относятся:
• размах колебаний (вариации);
• среднее линейное отклонение;
• среднеквадратическое отклонение;
•дисперсия.
79
max min
,Rx x= −
max,xmin
x
xx
n
−
∑
x xf
−
∑
( )
( )
n
σ
( )
2
σ
∑
xxf
σ
( )
xxf
σ
∑
Глава 5. Статистические распределения и их основные характеристики
Размах колебаний (вариации) — разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности.
где
соответственно.
Достоинством этого показателя является простота расчета. Поскольку, размах вариации зависит от величины только крайних значений
признака, то область его применения ограничена однородными совокупностями.
Для учета степени «колеблемости» всех значений признака используют показатели вариации, основанные на рассмотрении отклонений
значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической величины.
К ним относятся среднее линейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение, представляющие собой среднюю
арифметическую из отклонений индивидуальных значений признака
от средней арифметической.
Среднее линейное отклонение определяется по формулам:
а) для не сгруппированных данных (первичного ряда):
— максимальное и минимальное значения признака,
f
∑
xx
( )
( )
∑
;
.
σ
и дисперсия
2
−
−
f
2
=
;
2
2
=
;
xx
−
−
f
∑
2
;
2
.
2
σ
d
=
б) для вариационного ряда:
d
=
Среднеквадратическое отклонение
ются так:
а) для не сгруппированных данных:
∑
=
б) для вариационного ряда:
∑
=
Среднеквадратическое отклонение и дисперсия — наиболее широко
применяемые показатели вариации.
80
определя-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]