Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
законов механики. Все явления, обусловленные быстрым вращением
гироскопа, называются гироскопическими. Они нашли широкое научно-техническое применение.
Гироскопические эффекты проявляются также у атомов благодаря наличию у них моментов импульса, связанных с внутренними
орбитальными движениями или собственными вращениями (спинами)
электронов и атомных ядер.
Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные
гироскопы. Симметричным называют гироскоп, обладающей симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геометрической осью или осью фигуры гироскопа. Обычно одна из точек оси гироскопа закреплена. Закреплённую точку оси фигуры называют точкой опоры гироскопа. В более общем смысле точкой опоры гироскопа
называют такую точку оси фигуры его, относительно которой рассматривают вращение гироскопа. В общем случае движение гироскопа слагается из движения точки опоры и вращения вокруг мгновенной
оси, проходящей через эту точку. Примером гироскопа с движущейся
точкой опоры может служить детская игрушка – волчок.
Маховик гироскопа закреп-
ляется на его оси фигуры
Х1Х2,которая вращается по возможности с малым трением в подшипниках, укреплённых на концах диаметра внутреннего кольца. Внутреннее
кольцо, в свою очередь, может вращаться вокруг перпендикулярной
оси Y1Y2, проходящей через подшипники на концах диаметра наружного
кольца. Наконец, наружное кольцо
может совершать вращение вокруг
третьей оси Z1Z2, проходящей через
неподвижные подшипники подставки. Ось Y1Y2 перпендикулярна к
оси Х1Х2. Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром подвеса. Гироскоп имеет три степени свободы и может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса или
точка опоры совпадает с центром масс гироскопа, то гироскоп называется уравновешенным.
Научно-технические применения гироскопов весьма разнооб-
разны. Начнем с уравновешенного (астатического) гироскопа с тремя
81
степенями свободы. Пусть он быстро вращается вокруг своей оси фи-
L I
ϖ
ur uur
гуры. На направление оси фигуры гироскопа не оказывают влияния
сила тяжести, вращения Земли, а также любые ускоренные движения
точки опоры. В отсутствие сил, создающих вращающие моменты относительно точки опоры, ось фигуры уравновешенного гироскопа сохраняла бы неизменное направление относительно звёзд. Если ось фигуры гироскопа направить на какую-либо звезду, то при перемещении
последней по небесному своду она будет поворачиваться относительно Земли, оставаясь все время направленной на ту же звезду. Такой
гироскоп позволяет обнаружить суточное вращение Земли, что впервые было продемонстрировано французским физиком Леоном Фуко
(1819-1868). Трудности подобных опытов очень велики. Они связаны
с тем, что невозможно освободиться от неизбежного трения в подшипниках и других вредных сил, создающих вращающие моменты
относительно центра подвеса.
Свойство уравновешенного гироскопа сохранять неизменным
направление оси своей фигуры используется для автоматического
управления движением самодвижущихся мин (торпед), самолётов,
судов, ракет и прочих аппаратов. Момент импульса гироскопа
=
должен быть достаточно большим, чтобы уменьшить влияние трения
в подшипниках подвеса и прочих вредных сил. Ось фигуры вращающегося гироскопа задает курс движения аппарата. При всяком отклонении аппарата от курса (например, вследствие удара волн или действия порывов ветра) направление оси фигуры гироскопа в пространстве
сохраняется. Значит, ось фигуры гироскопа вместе с рамами подвеса
поворачивается относительно движущегося аппарата. Поворот рам
подвеса с помощью тех или иных приспособлений включает двигатели, приводящие в действие рули управления. Последние и возвращают
движение аппарата к заданному курсу. В случае торпеды, поскольку
её движение совершается в горизонтальной плоскости (по поверхности моря), достаточно одного гироскопа с осью фигуры, ориентированной в направлении движения. В случае самолёта требуется два гироскопа. Один с вертикальной осью, задает горизонтальную плоскость, в которой должен оставаться самолёт. Другой, с горизонтальной осью, ориентированный вдоль оси самолёта, задаёт его курс. Такими «автопилотами», освобождающими лётчика от необходимости
непрерывного управления самолётом, оборудованы почти все современные самолёты, предназначенные для длительных полётов.
82
Важным применением неуравновешенного гироскопа с тремя
степенями свободы является создание искусственных горизонта и вертикали. Это необходимо в навигации в условиях отсутствия видимости линии горизонта. Направление вертикали в каждом месте земного
шара можно определить с помощью обыкновенного маятника, применяемого в качестве отвеса. Однако такой способ не годится на корабле или самолёте ввиду неизбежных ускорений, которые они получают
при наборе скорости, поворотах, качке и пр. В этом случае вместо
обыкновенного маятника используется гироскопический маятник (гирогоризонт) с очень большой приведенной длиной. При отсутствии
ускорения ось гироскопического маятника устанавливается вертикально. Если аппарат движется ускоренно, то появляется прецессия,
уводящая ось маятника от вертикального положения. Однако если период прецессии Т очень велик, а время ускорения очень мало по сравнению с Т, то за это время прецессия, ввиду её медленности, не успеет
заметно отклонить ось гиромаятника от вертикали. Эти условия соблюдаются, например, при поворотах движущегося аппарата. Время
поворота всегда мало по сравнению с периодом Т. Ещё меньше чувствителен гиромаятник к качке корабля. Период качки всегда много
меньше периода прецессии Т, а главное, при качке ускорение за время
Т многократно и периодически меняет знак. Качка приводит лишь к
малозаметным колебаниям оси гироскопического маятника около вертикального положения. Наиболее неблагоприятно на направление оси
гиромаятника влияют увеличение или уменьшение скорости, которые
могут длиться значительное время и вызывать хотя и не очень большие, но все же заметные отклонения оси фигуры гироскопа.
Важнейшим применением гироскопа является гироскопический компас, получивший широкое распространение на кораблях.
Обычный магнитный компас подвержен действию разнообразных
возмущений земного магнитного поля (магнитных бурь). На его показания влияют возмущения магнитного поля, вызываемого большими
массами железа на корабле, а также различные электродинамические
воздействия со стороны сложного электротехнического оборудования
корабля. В этих условиях использование магнитного компаса на корабле становится практически невозможным. Гироскопический компас свободен от этих недостатков.
83
Колебания
Колебаниями называются движения, или процессы, которые
характеризуются определенной повторяемостью во времени.
Колебания представляют один из наиболее распространенных
видов движений. Прямолинейное и неравномерное движение точки,
при котором по истечении определенного времени (периода колебания), точка возвращается в то же самое состояние движения, то есть
занимает то же положение и имеет ту же скорость, ускорение, и т. д.
называется периодическим движением.
Колебательные процессы широко распространены в природе и
технике, например качание маятника часов, колебания (вибрации)
корпуса корабля, переменный электрический ток, электромагнитные
колебания и т.д. При колебательном движении маятника изменяется
координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются
напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть
разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся
систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми
характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной
физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У. Рэлеем(1842-1919), А.Г. Столетовым, русским инженеромэкспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в
развитие теории колебаний внесли Л.И. Мандельштам (1879-1944) и
его ученики.
Колебания называются
свободными (или собственными), если они совершаются за
счет первоначально сообщенной
энергии при последующем отсутствии внешних воздействий
на колебательную систему (систему, совершающую колебания).
Простейшим типом колебаний
84
являются гармонические колебания – колебания, при которых ко-
cos( )
ϖ ϕ
= +
ϖ
ϕ
( )
ϖ ϕ
+
( ) ( ) 2
ϖ ϕ ϖ ϕ π
2 /
π ϖ
=
1/
T
2 /
π ϖ
=
1/
T
2
ϖ πυ
леблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому, 2) различные периодические
процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Периодические процессы - процессы, повторяющиеся через
равные промежутки времени.
Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа:
s A t
где s – смещение колеблющейся величины от положения равновесия [м];
А – амплитуда - максимальное отклонение от положения рав-
новесия [м] ;
- круговая (циклическая) частота [рад/с];
- начальная фаза колебаний в момент времени t=0 [рад];
t
- фаза колебания в момент времени t, определяет зна-
чение колеблющейся величины в данный момент времени [рад].
Фаза колебаний определяет значение колеблющейся величины
в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от
+0 до -1, то s может принимать значения от +А до –А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом. Период – это время за которое система совершает
один полный оборот. За один период фаза колебания получает приращение 2π, то есть
t T t
+ + = + +
откуда
Величина, обратная периоду колебаний,
то есть число полных колебаний, совершаемых в единицу вре-
мени, называется частотой колебаний. Сравнивая
υ
=
, получим
T
υ
=
=
,
,
,
T
и
85
Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического
sin( ) cos( )
2
π
r
2 2 2
a A t A t s
ϖ ϖ ϕ ϖ ϖ ϕ π ϖ
А
ϖ
процесса, при котором за 1 с совершается один цикл процесса.
Скорость v колебания точки определим как производную
смещения по времени:
ds
v A t A t
ϖ ϖ ϕ ϖ ϖ ϕ
= =− + = + +
dt
Из полученного уравнения следует, что скорость изменяется
со временем. Следовательно, колебательное движение совершается с
ускорением, которое можно определить, продифференцировав выражение скорости по времени:
2
r
d s
= =− + = + + =−
2
dt
cos( ) cos( )
.
Сравнивая формулы s, v, a приводит к следующим выводам;
1. Как и смещение s, скорость v и ускорение a точки совершают гар-
монические колебания с одинаковыми круговой частотой ω и периодом Т=2π/ω.
2. Амплитуды этих колебаний различны: у смещения – А, у скорости –
ωА и у ускорения - ω2А.
3. Фазы колебаний также различны: колебание скорости опережает
колебание смещения по фазе на π/2 (по времени – на Т/4), колебание
ускорения опережает колебание смещения по фазе на π (по времени –
на Т/2).
Как видно из рисунка, в момент
прохождения колеблющейся точкой положения равновесия (х=0) ее скорость
максимальна (
±
), а ускорение равно
нулю. Когда же точка максимально отклонится от положения равновесия
(х=+А или х=-А), ее скорость равна нулю, а ускорение становится максимальным (-ω2А или + ω2А ). Знак ускорения
всегда противоположен знаку смещения.
Следовательно, ускорение всегда направлено к положению равновесия О
колеблющейся точки.
86
2
0
s
+ =
F ma
ur r
2
F m s
ϖ
sin ( )
2 2
ϖ ϕ
= = +
1 cos 2( )
4
ϖ ϕ
cos ( )
ϖ ϕ
=− = = +
1 cos 2( )
2
ϖ ϕ
/2
1 cos 2( )
4
ϖ ϕ
1 cos 2( )
2
ϖ ϕ
d s
dt
2
ϖ
2
дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Результирующая сила
=
, действующая на колеблю-
щуюся материальную точку массой m равна
=−
.
Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей
прямолинейные гармонические колебания, равна
2 2 2
mv mA
T t
ϖ
2
или
2 2
mA
ϖ
T t
= − +
[ ]
.
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей
гармонические колебания под действием упругой силы F, равна
х
П Fdx t
∫
0
2 2 2 2
m x mA
ϖ ϖ
2 2
2
или
2 2
mA
П t
ϖ
= + +
[ ]
.
Следовательно, полная энергия:
Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии,
поскольку упругая сила консервативна.
При сравнении формул
2 2
mA
П t
ϖ
= + +
[ ]
87
E T П mA
= + =
2 2
ϖ
.
2 2
mA
ϖ
T t
= − +
[ ]
и
следует, что Т и П изменяются с частотой
2ω, то есть с частотой, которая в два раза превышает частоту гармо-
sin cos 1/2
〈 〉=〈 〉=
sin ( )
2 2
ϖ ϕ
= = +
cos ( )
ϖ ϕ
=− = = +
/2
1/2
Т П Е
0
s
+ =
0
s s
+ =
F kx
=−
нического колебания.
2 2
Так как
2 2 2
mv mA
T t
E T П mA
= + =
ϖ
2 2
ϖ
2
следует, что
α α
х
П Fdx t
,
∫
0
〈 〉=〈 〉=
, то из формул
2 2 2 2
m x mA
ϖ ϖ
2 2
.
2
и
Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и
математический маятник
Гармоническим осциллятором называется система, совер-
2
шающая колебания, описываемые уравнением вида
2
&&
ϖ
.
0
d s
dt
2
ϖ
2
или
Колебания гармонического осциллятора являются важным
примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный,
физический и математический маятники, колебательный контур (с
током).
1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на
абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под
действием упругой силы
, где k
- жесткость пружины.
Если к пружине подвесить некоторую массу, пружина слегка растянется, и тело придет в состояние
покоя. При этом пружина будет действовать на тело с силой, равной
весу тела, направленной вверх. При такую ситуацию говорят, что система состоящая из тела и пружины, находится в равновесном состоянии.
Если теперь вы слегка сместите тело вверх или вниз из поло-
жения равновесия, пружина начнет совершать гармонические колеба-
88
ния, так как на тело будет действовать сила, стремящаяся вернуть сис-
F kx
=−
х
r
х
r
mx kx
=−
0kx x
+ =
cos( )
ϖ ϕ
= +
k
m
m
k
/2
П kx
тему в равновесное состояние. Эта сила, которую называют возвращающей, прямо пропорциональная величине смещения, а направлена
она противоположно смещению. Необходимым условием возникновения гармонических колебаний является существование возвращающей
силы, величину которой можно выразить в виде
эффициент пропорциональности,
равновесия. Знак «минус» показывает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению
Система находится в состоянии равновесия, если сумма всех
сил равна нулю. Если одна сила уравновешивает действие двух или
более других сил, такую силу называют уравновешивающей. Она равна по величине результирующей других сил, но противоположна по
направлению.
Уравнение движения маятника
- вектор смещения от положения
.
, где k - ко-
&&
Пружинный маятник совершает гармонические колебания по
закону
x A t
с циклической частотой
0
ϖ
и периодом
T
=
Формула для периода справедлива для упругих колебаний в
пределах, в которых выполняется закон Гука, то есть когда масса
пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника равна
2. Физический маятник – это твердое
тело, совершающее под действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной горизонтальной
оси, проходящей через точку О, не совпадающую
с центром масс С тела.
Если маятник отклонен из положения
равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного дви-
или
=
0
2
π
&&
m
.
.
2
=
.
89
жения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в
M J Ja F l mgl mgl
ε α α
= = = =− ≈−
F mg mg
α α
=− ≈−
F
τ
α α
≈
M J Ja F l mgl mgl
ε α α
= = = =− ≈−
0
+ =
0
+ =
mgl J
0
+ =
0
s s
+ =
cos( )
ϖ ϕ
= +
cos( )
α α ϖ ϕ
= +
L
g
/( )
L J ml
виде
&&
τ
sin
где J – момент инерции маятника
относительно оси, проходящей через точку подвеса О;
l – расстояние между ней и центром масс маятника;
τ
sin
словлен тем, что направления
sin
соответствует малым колебаниям маятника, то есть малым
- возвращающая сила (знак минус обу-
и α всегда противоположны;
отклонениям маятника из положения равновесия).
Уравнение
&&
τ
sin
можно запи-
сать в виде
&&
Ja mgl
α
, или
α α
J
.
mgl
&&
Принимая, что циклическая частота равна
ϖ
=
0
,
Получим уравнение
2
&&
идентичное с
α ϖ α
2
&&
ϖ
решение которого
0
,
0
s A t
из-
0
вестно:
t
0 0
.
Из этого выражения следует, что при малых колебаниях физи-
ческий маятник совершает гармонические колебания с циклической
частотой
ϖ
и периодом
0
=
где
- приведенная длина физического маятника.
Приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебаний которого совпадает с
периодом данного физического маятника.
Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О
подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется
центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штей-
нера, получим
90
2 / 2 ( ) 2
T J mgl
π ϖ π π
= = =
0
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]