Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
J J ML J
L l l
ml ml ml
= = = + 〉
P mg
ur ur
P
ur
n
P
ur
P
τ
ur
sin
ϕ
P P
ϕ
ur
2
+
C C
,
то есть ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ обладают свойством взаимности: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.
На этом свойстве основано определение ускорения свободного
падения (лабораторная работа №112) с помощью так называемого
оборотного маятника. Оборотным называется маятник, у которого
имеются две параллельные друг другу, закреплённые вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нём грузы.
Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Измерив
период колебаний и зная расстояние между опорными призмами можно найти ускорение свободного падения.
2. Математический маятник - это идеализированная система,
состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерас-
тяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
Когда нить маятника вертикальна, то сила тяжести
=
приложенная к грузу маятника, уравновешивается натяжением нити.
Размеры груза будем считать малыми, а нить маятника – невесомой.
Если отклонить маятник на неболь-
шой угол (10˚) ϕ, то только часть силы
уравновешивается реакцией нити, именно
составляющая сила тяжести
ная нити. Составляющая
ная к нити, численно равная
, параллель-
, перпендикуляр-
P
и направ-
ленная к положению равновесия маятника,
остается неуравновешенной. Если угол от-
клонения мал, то синус можно заменить самим углом ϕ, тогда
,
≈
τ
, то есть сила, возвращающая груз маятника в положение
91
равновесия, при малом угле отклонения ϕ пропорциональна углу ϕ.
x
x l
ϕ
=
P mg
ϕ
ur
x
mx mg
l
0
+ =
g
l
=
cos( )
ϖ ϕ
= +
T l g
g
l
g
l
По своему характеру эта сила аналогична упругой силе.
Отклонение груза от положения равновесия обозначим через
, тогда при малых углах ϕ можно приближенно считать
,
где l - длина маятника от точки привеса нити до центра тяже-
сти груза. Сила действующая вдоль дуги:
=
τ
Уравнение движения, согласно второму закону Ньютона будет
иметь вид:
&&
= −
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противо-
положную смещению x.
Дифференциальное уравнение колебательного движения маят-
ника:
g
&&
Обозначив
x x
2
ϖ
, получим решение этого дифференциально-
l
го уравнения движения:
маятника
принимает вид
92
x A t
0
Период колебаний математического маятника:
2
π
=
.
Частота колебаний маятника, или собственная частота
1 1
ν
= =
T
π
2
Круговая, или собственная круговая частота математического
2
ϖ πν
= =
При больших углах отклонения маятника уравнение колебаний
2
sin
ϕ ϕ
2
J ml
2
J ml
L
g
T l g
cos( ),
cos( ),
ϖ ϕ
ϖ ϕ
2 1
( )
ϕ ϕ
А
&&
ml mgl
= −
Сравнивая периоды для физического и математического маятников, видим, что если приведенная длина физического маятника
равна длине математического маятника, то периоды колебаний этих
маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физиче-
ского маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
Момент инерции математического маятника
=
,
где l – длина маятника.
Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, то подставив выражение
2 / 2 ( ) 2
T J mgl
π ϖ π π
=
в формулу
= = =
0
, полу-
чим выражение для математического маятника
2
π
=
.
Сложение гармонических колебаний одного направления и
одинаковой частоты. Биения
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, т.е. колебания необходимо сложить.
Сложим гармонические
колебания одного направления и
одинаковой частоты:
A
2
x A t
= +
1 1 0
x A t
= +
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
0
ϕϕϕϕ
2222
1
x
1
ϕϕϕϕ1−−−−ϕϕϕϕ
A
1
x
2
2222
граммы этих колебаний. Так как
векторы А1 и А2 вращаются с оди-
x
наковой угловой скоростью
x
то разность фаз
2 2 0
Построим векторные диа-
ϖ
0
−
ме-
жду ними остается постоянной.
,
93
Уравнение результирующего колебания:
cos( )
ϖ ϕ
= + = +
1 2 1 2 2 1
2 cos( )
ϕ ϕ
1 1 2 2
1 1 2 2
cos cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
2 1
( )
ϕ ϕ
2 1
( )
ϕ ϕ
( ) 2 ( 0 , 1 , 2 , . ..) ,
( ) ( 2 1 ) ( 0 , 1 , 2 , . . . ) ,
1 2
A A A
ϖ ϖ
+ ∆
ϖ ϖ
∆ 〈〈
cos
x A t
ϖ
x x x A t
1 2 0
,
где амплитуда и начальная фаза соответственно задаются со-
отношениями:
2 2 2
A A A A A
= + + −
sin sin
tg
A A
ϕ
=
A A
+
+
;
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также
гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой,
что и складываемые колебания.
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности
фаз
ние в зависимости от разности фаз
−
ϕ ϕ π
1)
складываемых колебаний. Проанализируем выраже-
− = ± =
2 1
m m
−
. Если:
тогда А=А1+А2,
то есть амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд
складываемых колебаний;
m m
тогда
= −
ϕ ϕ π
2)
− = ± + =
2 1
, то есть амплитуды результирующего колебания А равна
разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес представляет интерес случай,
когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих
колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты
равны ϖ и
, причем
. Начало отсчета выберем так, что-
бы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
1
94
=
cos( )
ϖ ϖ
жителе
ϖ ϖ
∆ 〈〈
(2 cos ) cos
x A t t
ϖ
2
А А t
ϖ
ϖ ϖ
= ∆
π ϖ
= ∆
2
А А t
ϖ
( )
s f t
= + ∆
2
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомно-
/ 2
, найдем
∆
ϖ
=
.
.
2
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда Аб которого изменяется по следующему периодическому закону:
2 cos
=
б
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения
косинуса (так как берется по модулю), то есть частота биений равна
разности частот складываемых колебаний:
Период биений
2 /
Т
б
Характер зависимости имеет следующий вид, где сплошные
жирные линии дают график результирующего колебания, а огибаю-
щие их – график медленно
меняющейся по уравнению
.
б
.
.
∆
2 cos
=
∆
б
туды.
Определение частоты
тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике
метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений
используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.
Любые сложные периодические колебания
представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω0:
=
ампли-
можно
95
( ) cos( ) cos(2 )
А
= = + + + + +
s f t А t А t
... cos( )
А n t
+ + +
0
1 0 2
2
ϖ ϕ
n n
0
ϖ ϕ ϖ ϕ
1 2 0
.
Представление периодической функции в данном виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического
колебания, или разложением Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω0, 2ω0, 3ω0, …, называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками
сложного периодического колебания.
Если частоты колебаний х1 и х2 неодинаковы, то векторы А1 и
А2 будут вращаться с различной скоростью. Тогда результирующий
вектор А пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих ко-
лебаний и его решение. Автоколебания
Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды
которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.
Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания,
амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной
системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом
уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту
вследствие трения в механических колебательных системах, а также
омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Если на колеблющееся тело действует сила трения, то энергия
системы, а вместе с тем и наибольшие смещения и скорости не остаются постоянными, а убывает, энергия расходуется на преодоление
сил трения и превращается в тепло. Происходит постепенное затухание колебаний.
Закон затухания определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы – идеализированные
реальные системы, в которых параметры, определяющие физические
свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными систе-
96
мами являются, например, пружинный маятник при малых растяже-
2 0
+ + =
=
β
=
β
cos( )
ϖ ϕ
= +
t
A A e
β
1 /
τ β
ниях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур,
индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от
тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:
2
d s ds
β ϖ
2
dt dt
2
s
0
,
где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной
физический процесс,
const
- коэффициент затухания,
ω0 – цикличе-
ская частота свободных незатухающих
колебаний той же колебательной системы,
то есть при 0
(при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
Решая дифференциальное уравнение в случае малых затуха-
2
ний (
2
ϖβ
〈〈 )
0
t
β
s A e t
−
0
где
=
−
- амплитуда затухающих колебаний,
0
а А0 – начальная амплитуда.
Промежуток времени
=
, в течение которого амплиту-
да затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем
релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому зату-
хающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к
97
ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затуха-
t
A A e
β
−
2 2
π ϖ π ϖ β
T
D e
β
( ) 1
e
A t T N
0
2
ϖ
λ β β
−
=
F rv rx
= − = −
&
ние мало, то можно условно пользоваться понятием периода, как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или
минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период ко-
лебания с учетом формулы
=
2 / 2 /T
= = −
равен
0
0
.
Если А(t) и А(t+Т) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
( )
A T
= =
( )
A t T
+
- называется декрементом затухания,
а его логарифм
A T T
ln
λ β
= = = =
( )
+
T
- логарифмический
τ
декремент затухания; Nе – число колебаний, совершаемых за
время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент
затухания - постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятиям добротности,
π π
Q N
= = = =
(так как затухание мало (
Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу
колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.
Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний
линейных систем, применимы для колебаний различной физической
природы, например, механических - пружинный маятник.
Свободные затухающие колебания пружинного маятника.
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания
под действием упругой силы kxF
скорости, то есть
π
e
T
2
2
ϖβ
〈〈 ), то Т принято равным Т
0
, сила трения пропорциональна
).
0
98
.тр
где r - коэффициент сопротивления; знак минус указывает на
mx kx rx
= − −
&& &
k
m
/ (2 )
r m
β
=
2 0
+ + =
cos( )
ϖ ϕ
= +
/ (4 )
r m
/
Q km r
0
β ϖ
t
→ ∞
противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь
вид
ϖ
Используя формулу
затухания
получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
маятника:
И колебания маятника подчиняются закону
где частота
ϖ ϖ
= −
=
0
&& &
x x x
β ϖ
x A e t
0
2 2 2
0
и принимая, что коэффициент
2
0
t
β
−
.
,
.
,
Добротность пружинного маятника равна
При увеличении коэффициента затухания β период затухаю-
щих колебаний растет и при
движение перестает быть периодическим, т.е. наблюдается критиче-
ское затухание. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда
тельным, он называется апериодическим, т.е. при β>ω0.
Огромный интерес для техники представляет возможность
поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно
важны и широко применимы так называемые автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за
счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих
колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической
силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздей-
99
=
=
обращается в бесконечность,
. Процесс не будет колеба-
.
ствиями, обеспечивая согласованность поступления энергии опреде-
( )
F t
ur
2 0
+ + =
2 ( )
s F t
( )xF t
( ) ( ) ( )
s t x t x t
ленными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).
Автоколебательными системами являются также двигатели
внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.
Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в
какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Чтобы в реальной системе получить незатухающие колебания, надо
компенсировать потери энергии.
Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы, называется вынуждающей.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
простейшей линейной системы – пружинного маятника, происходя-
щих вдоль оси ОХ под влиянием переменной внешней силы
, от-
личается от уравнения затухающего колебания
2
d s ds
β ϖ
2
dt dt
)(tF
к массе маятника m:
x
2
s
0
только правой частью, равной отношению
2
d s ds
dt dt m
β
+ +
2
ϖ
1
2
=
0
.
x
Если
- периодическая функция времени, то после прило-
жения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим
вынужденных колебаний, при котором маятник одновременно уча-
ствует в двух колебаниях:
= +
1
.
2
Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]