Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы механики. Конспекты лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

((((

))))

++++

ghv ====

++++



 

Измерив высоту h, можно вычислить скорость пули

v 2

====

Внутренняя энергия

Потеря кинетической энергии без соответствующего увеличения потенциальной происходит не только при абсолютно неупругих соударениях, но и во многих других процессах. Например, движения в замкнутой системе, где действуют силы трения, в конце концов прекращаются, так что запас кинетической энергии в системе уменьшается. Может происходить и потеря потенциальной энергии. Так, например, если растянуть пружину, перейдя при этом предел упругости, а затем предоставить ее самой себе, то она не возвращается в исходное состояние, в пружине сохраняется некоторое остаточное удлинение. При этом работа, которую в состоянии совершить растянутая пружина, меньше работы, затраченной на ее растяжение. Во всех подобных случаях наблюдаются потери механической энергии. Формальная макроскопическая механика объясняет эти потери тем, что энергия расходуется на работу против диссипативных сил, действующих в системе. Однако такое объяснение является чисто формальным и нефизическим, поскольку оно совсем не раскрывает физическую природу диссипативных сил.

Надо учесть, что всякий раз, когда наблюдается потеря механической энергии, в системе происходят какие-то внутренние изменения. Если, например, с помощью чувствительного термометра или термопары измерить температуру шаров до и после неупругого удара, то опыт покажет, что в результате удара шары немного нагрелись. То же самое происходит при трении и остаточной деформации. При положительном и интенсивном трении нагревание настолько сильное, что для его обнаружения не требуется никаких специальных приборов. Так, древние люди добывали огонь трением одного куска дерева о другой. Если на ось мотора насадить диск из прочного картона и



========





привести его в быстрое вращение, то можно перепилить деревянную доску, поднеся ее к краю этого вращающего диска. Явление объясняется тем, что в месте контакта вращающегося картона с доской выделяется много тепла из-за трения. Дерево в этом месте сильно разогревается, обугливается и разрезается вращающимся диском. Картонный диск при этом не разрушается, так как он интенсивно охлаждается изза быстрого вращения в окружающем воздухе. Разрез доски получается гладким и хорошо отполированным. Он имеет буроватую окраску из-за обугливания дерева при трении. Решающую роль в этом опыте играет натяжение картона, возникающее при вращении и придающее ему твердость. Вращением доски вокруг картонного диска ее распилить нельзя.

Макроскопическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она не учитывает внутреннее атомистическое строение вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия видимого движения тел не пропадает. Она только переходит в кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также в потенциальную энергию их взаимодействия. Эта часть энергии получила название внутренней энергии. Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении и т.п.

Представление о теплоте как о беспорядочном движении атомов и молекул окончательно утвердилось во второй половине 19 века и составило эпоху в науке. Примерно тогда же в физике утвердился и взгляд на закон сохранения энергии как на общефизический закон, не знающих никаких исключений. Согласно этому закону энергия нико-

гда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Однако необходимо расширить понятие энергии, введя новые формы ее: энергию электромагнитного поля, ядерную энергию и т.п. При этом необходимо заметить, что дать окончательную классификацию различных видов энергии не представляется возможным. Это можно было бы сделать, если бы окончательно были установлены все законы природы, и развитие науки, во всяком случае в ее основах, было бы окончательно завершено.

Деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех форм энергии. Кроме того, отнесение энергии к тому или иному виду часто зависит от точки зрения. Например, в макроскопической механике упругая энергия сжатого идеального газа считается потенциальной. Но с молекулярной точки зрения упругость газа объясняется тепловым движением его молекул. Поэтому с этой точки зрения ту же энергию следует считать кинетической.

Абсолютно упругий удар

Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при абсолютно упругом ударе. Так называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. В чистом виде такой случай при столкновении макроскопических тел не встречается. При столкновениях атомных, ядерных или элементарных частиц может реализоваться случай абсолютно упругого удара в чистом виде. Такая возможность связана с квантовыми законами. Внутренние состояния и соответствующие им значения внутренней энергии атомных частиц дискретны. Частицы при столкновении могут разлететься без изменения внутренних состояний. Тогда столкновение и будет абсолютно упругим. И это будет происходить до тех пор пока кинетической энергии сталкивающихся частиц будет недостаточно для того чтобы перевести хотя бы одну из них и нормального в ближайшее возбужденное состояние, характеризующееся бóльшим значением внутренней энергии. При больших энергиях столкновение может сопровождаться возбуждением одной или обеих частиц с увеличением их внутренних энергий. Наряду с таким соударением возможно столкновение частиц, в результате которого наблюдается уменьшение внутренней энергии. В таких случаях их называют неупругими ударами.

Рассмотрим центральный удар абсолютно упругих шаров. Скорости шаров до удара равны

соответственно и направлены

вдоль прямой, соединяющей их центры. Эта прямая называется линией центров. В случае абсолютно упругого удара шары при столкновении сплющиваются, и кинетическая энергия частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций. В некоторый момент времени вся кинетическая энергия относительного движения переходит в потенциальную энергию упруго-деформированных шаров. В

этот момент шары аналогичны сжатым пружинам, стремящимся пе-

рейти в недеформированное состояние. Ввиду этого начинается обратный процесс перехода энергии упругих деформаций в кинетическую энергию поступательного движения шаров. Когда он заканчивается, шары разлетаются в разные стороны и вновь оказываются недеформированными. Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения шаров снова принимает исходное значение, каким оно было до удара. Для реальных тел этот процесс осложняется возникновением упругих возмущений, распространяющихся в шарах со скоростью звука, излучением звуковых волн, а также внутренним трением и остаточными деформациями. После столкновения часть энергии уносится в виде энергии упругих возмущений, внутренних и звуковых волн, излученных в окружающую среду. Эта часть энергии в конце концов переходит в тепловую (внутреннюю) энергию. Она может быть очень малой и в предельном случае идеально упругих шаров обращается в нуль.

Рассмотрим ряд соприкасающихся одинаковых абсолютно упругих шаров, центры которых расположены вдоль одной и той же прямой линии. В шары должны быть подвешены на нитях, а не распо-

ложены на поверхности стола, чтобы не возникало вращения их из-за трения между шарами и поверхностью стола. Отклоним в сторону 1 шар. Ударившись о 2 шар со скоростью v, он передаст ему эту скорость, а сам остановится. Со 2 шаром произойдет то же самое – при ударе о 3 шар он остановится, а 3 шар придет в движение со скоростью v.Этот процесс будет продолжаться с каждым впереди находящимся шаром. В конце концов последний шар отскочит со скоростью

, а все прочие останутся в состоянии покоя.

Отклоним теперь два шара. При возвращении в нижнее положение они приобретут одну и ту же скорость v и, двигаясь с такой скоростью, ударят впереди находящийся шар. Оказывается, что в результате удара отскочат два последних шара со скоростью v, а все остальные останутся в покое.

Явление можно объяснить следующим образом. 2шар ударяется в 3. В результате этого 2 шар останавливается, а 3 шар приобретает скорость v. Однако 2 шар сразу же подвергается удару со стороны 1

−−−−

mv2−−−−

mvMV2

====

шара и снова приобретает прежнюю скорость v. Таким образом, 1 шар придет в состояние покоя, а 2 и 3 шары будут двигаться вместе со скоростью v. Повторяя это рассуждение, получим, что затем 2 шар остановится, а начнут двигаться 3 и 4 шары и т. д. В конце концов, скорость v приобретут два последние шара, а все остальные придут в состояние покоя. Вместо двух можно отклонить три, четыре и т.д. шара, сообщив им одну и ту же скорость. После удара отскочит такое же количество шаров, остальные же шары останутся неподвижными.

Рассмотрим случай, когда масса одного из шаров бесконечно велика. В этом случае скорость большего шара при столкновении вообще не изменится. Устремляя радиус этого шара к бесконечности, в пределе придем к задаче о столкновении гладкого упругого шара с гладкой плоской стенкой. Если связать систему отсчета с такой стенкой, то можно сказать, что при столкновении с ней тангенциальная скорость шара не меняется, а нормальная меняет знак. Это значит, что шар отражается от стенки зеркально: его скорость по модулю не изменяется, а угол падения равен углу отражения.

Удар под углом о массивную стенку сообщает ей конечный импульс, в то время как кинетическая энергия, приобретаемая стенкой, пренебрежимо мала. Например, если удар нормальный, то скорость шара v после удара становится « ет приращение « должна воспринять импульс силе удара, действующей на стенку. При этом стенка получает ско-

рость

V 2====

, которая для массивной стенки бесконечно мала.

». Чтобы общий импульс не изменился, стенка

», а импульс шара получа-

, проявляющийся в конечной

Бесконечно мала и кинетическая энергия, приобретаемая стенкой.

Динамика вращательного движения

Для описания вращательного движения вводятся следующие динамические параметры: момент инерции, момент силы, момент им-

пульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются мас-

[

]

M r F rF r F

     

     

uur ruur ruur rur

...

= + +

ur uur uur

, ,...

uur uur

са, сила, импульс тела.

Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси – разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно точки сам есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на той же оси. Таким образом, момент вектора относительно оси уже не является вектором. Начнем с рассмотрения моментов относительно точки.

Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы или вектора импульса. Ее называют началом или полюсом. Обозначим буквой r радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке при-

ложения силы F. Моментом силы F

относительно неподвижной точки О

называется физическая величина, определяемая векторным произве-

дением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F:

Здесь M - псевдовектор, его направление совпадает с направ-

лением поступательного движения правого винта при его вращении от

к F, r и F лежат в плоскости перпендикулярной M.

Из определения момента силы следует, момент M не изменится, если точку приложения силы F перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Моментом M нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

где

F F F

1 2

ваемая их равнодействующей. Таким образом, в рассматриваемом случае момент всех действующих сил относительно некоторой точки равен моменту их равнодействующей относительно той же точки.

FrM =

= + + =

1 2

- геометрическая сумма сил

...

F F

1 2

, назы-

Модуль момента силы:

FlFrM==αsin

[][

]

===

L r p

 

 

ur r ur

uur

где α – угол между r и F;

sin

силы и точкой О – называется плечом силы.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно точки или полюса О.

его вращении от r к p , r и p лежат в плоскости перпендикулярной

Для системы материальных точек моментом импульса относительно некоторого начала О называется сумма моментов этих точек относительно того же начала.

Модуль вектора момента импульса:

- кратчайшее расстояние между линией действия

vmrprL ,==

где r - радиус-вектор, прове-

денный из точки О в точку А;

- импульс материаль-

vmp =

ной точки;

- псевдовектор, его направле-

ние совпадает с направлением поступательного движения правого винта при

sinsin

plmvrrpL

где α – угол между векторами r и p, l – плечо вектора p относительно точки О.

Момент импульса отдельной частицы равен

правлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Если продифференцировать выражение

для одной материальной точки, получим

d L

Это уравнение моментов для одной материальной точки. Оно справедливо как в ньютоновской, так и в релятивистской механике, так при его выводе постоянство массы материальной точки не исполь-

по времени

и на-

rvmL =

iiii

зовалось. Это выражение – одна из форм уравнения динамики вра-

uur

внеш

uur

const

L mvr

v R

L mr

∑

щательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно

оси равна моменту сил относительно той же оси. Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех внешних сил.

Перейдем к системе материальных точек. Для этого напишем

уравнение

момент всех действующих на нее сил, как внешних, так и внутренних. Затем сложим все полученные уравнения. При векторном сложении моменты внутренних сил равны нулю. В результате получается уравнение моментов для системы материальных точек:

териальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

d L

производная по времени от момента импульса системы ма-

В изолированной (замкнутой) системе момент внешних сил

для каждой точки, учитывая, что под

внеш

и тогда

d L

Мdt=

, откуда:

берется

Это выражение представляет собой закон сохранения момен- та импульса: момент импульса замкнутой системы относительно

неподвижного начала сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Предположим, что материальная точка вращается по окружно-

сти радиуса r , то момент ее импульса относительно оси вращения О равен:

Пусть точка вращается с угловой скоростью

ω, тогда линейная скорость будет равна

и следовательно

Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью ω, то

, где суммирова-

ние производится по всем материальным точкам системы. Величину ω

L m v r m r m r I

ϖ ϖ ϖ

I mr

кг м

⋅

i i

I m r

L I

uur

внеш

как одинаковую для всех материальных точек системы можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

где

n n n

= = = =

∑ ∑ ∑

i i i i i i i

1 1 1

i i i

= = =

- момент инерции материальной точки относи-

2 2

тельно какой-либо оси - произведение массы этой точки на квадрат

расстояния от ее оси – единица измерения -

Момент инерции системы (тела) относительно данной оси физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

∑

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении - величина скалярная.

Уравнение

показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

Если же на вращательное движение системы материальных точек накладывается ещё радиальное движение их, а также движение параллельное оси, то наличие таких движений не отразится на спра-

ведливости формулы

. Это следует из того, что момент им-

пульса материальной точки зависит от её скорости

гда же скорость

направлена по радиусу или параллельно оси враще-

ния, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно не сказываются на связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скоростью. Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы. В

этом случае уравнение

d L

принимает вид

( )

I M

линейно. Ко-

основное уравнение динамики вращательного движения вокруг не-

внеш

подвижной оси –

производная вращательного импульса (момента импульса) системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения.

Если вращается неизменяемая система материальных точек или твердое тело вокруг неподвижной оси, то момент инерции при

вращении остается постоянным, и уравнение

( )

I M

перехо-

дит в

поминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции, роль скорости – угловая скорость, роль силы – момент силы, роль импульса – момент импульса.

тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь

проекции силы на направление смещения на величину смещения:

ствующей силы на угол поворота.

мещения – угловое перемещение.

виде:

I I M

Основное уравнение динамики вращательного движения на-

Аналогия между движением материальной точки и вращением

Учитывая

работа при вращении тела равна произведению момента дей-

Роль силы играет момент внешних сил, роль линейного пере-

Кинетическая энергия вращающегося тела представляется в

ϕϕϕϕ

= =

твердого тела относительно неподвижной оси может быть прослежена и дальше. Так

например материальная точка вращается по

окружности. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси (точка О) на расстоянии r, α – угол между направлением

силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего

и тогда работа равна произведению

rdds

rdFdA sin

sin

FlFrM

, можем записать

MddA

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]