Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
( ) cos( )
t
ϖ ϕ
= +
2 2
ϖ ϖ β
t
A e
β
( ) ( )
x t x t
cosxF F t
= Ω
0
cos( )
ϕ
0
sin( )
ϕ
0
cos( )
ϕ
2 ( )
s F t
β
x t A e t
1 0
−
где
= −
0
.
Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы
)(tF
.
x
Амплитудное значение )(
1
tx , равное
−
, более или менее
0
быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний. Следовательно, через некоторое время τ после начала колебаний (τ~τ0) свобод-
ные колебания маятника практически прекращаются:
≈
. Ма-
2
ятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы.
Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника,
происходящие под действием возмущающей сил, которая изменяется
по гармоническому закону с циклической частотой Ω:
0
где F0 – амплитуда возмущающей силы.
Установившиеся вынужденные колебания маятника будут тоже гармоническими с той же частотой.
x A t
= Ω +
.
Из этого уравнения следует, что
v dx dt A t
= = − Ω Ω +
,
Таким образом уравнение вынужденного колебания примет
вид:
2
d s ds
+ + =
2
dt dt m
101
2
2 2
a d x dt A t
= = − Ω Ω +
1
β ϖ
2
0
x
чим
..
, продифференцировав полу-
2 2
sin( ) 2 sin( ) cos( )
m
− Ω Ω + − Ω Ω + + Ω + =
2 2 2 2 2
− Ω + Ω
2 2
2 / ( )
= − Ω − Ω
0
Ω =
(0) 0
=
(0) / ( ) /
A A F m F k
0
F F
=
Ω → ∞
( ) 0
Ω →
0
→
ϕ π
( ) cos( )
ϖ ϕ
= +
t
e
β
A t A t A t
ϕ β ϕ ϖ ϕ
0 0 0 0
1
cos
F t
= Ω
0
.
Из уравнения следует, что амплитуда А установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фаз φ0 между смещением маятника из
положения равновесия и вынуждающей силой зависят от соотношения
между циклическими частотами вынужденных колебаний Ω и свободных незатухающих колебаний ω0, а также от коэффициента затухания
β:
F
A
tg
При
2
= = =
0 0 0
ϖ
=
( ) 4
m
ϖ β
ϕ β ϖ
0
получим
0
0
0
,
.
ϕ
0
и
- статическое смещение маятни-
ка из положения равновесия под
действием постоянной силы
.
x
При
A
→
0
и
.
амплитуда
tg
ϕ
, а
0
(Слагаемое
t
β
x t A e t
1 0
−
играет заметную роль только в
начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний.
С течением времени из-за множителя
−
роль слагаемого
уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое
102
( ) 2 / ( )
F
ϖ ϖ
≈
2 2
2 / ( )
= − Ω − Ω
.
рез
ϖ
4( ) 8 0
− − + =
=
ϖ
2 2
2
ϖ ϖ β
2 2
2
ϖ ϖ β
x t arctg
= Ω − Ω
ϖ β
( ) 4
m
0
2 2 2 2 2
− Ω + Ω
0
β ϖ
2 2
0
). Таким
образом, функция описывает вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной
системы ( определенных Ω и β) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания φ также зависит от часто-
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно
отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это
явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частоте.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
Чтобы определить резонансную частоту
максимум функции
называется резонансом.
в
tg
ϕ β ϖ
0 0
ϖ
, нужно найти
.рез
или, что то же самое,
минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по ω и приравняв нулю, мы получим усло-
вие, определяющее
:
2 2 2
ϖ ϖ ϖ β ϖ
0
Данное уравнение имеет три решения:
= ± −
0
,
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя.
Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено
как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно
значение:
= −
. 0
рез
103
0
Подставив это значение частоты в выражение амплитуды для
2 2 2 2 2
− Ω + Ω
2 2
β ϖ β
2 2
2
ϖ ϖ β
2 2
2
ϖ ϖ β
2 2
β ϖ β
2 2
0
β ϖ
〉
2 2 2 2 2
− Ω + Ω
F
вынужденных колебаний (
A
=
( ) 4
m
ϖ β
0
0
), получим вы-
ражение для амплитуды при резонансе:
/
F m
A
=
.
рез
0
2
0
−
Из этого выражения следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуды при резонансе обращалась бы в бесконечность.
Согласно
= −
. 0
рез
резонансная частота при тех же условиях
(при β=0) совпадает с собственной частотой колебаний системы ω0.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана графически.
Отдельные кривые на графике
соответствуют различным значениям
параметра β. В соответствии с резо-
.
=
= −
F m
2
0
/
0
−
0
и ам-
, чем
нансной частотой
плитудой
A
рез
меньше β, тем выше и правее лежит
максимум кривой. При очень большом
затухании (таком, что
2
) выра-
жение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает,
что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (нижняя
кривая на рисунке).
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции
F
=
A
( ) 4
m
ϖ β
0
0
, соответствующих различным значени-
ям параметра β, называется резонансными кривыми.
По поводу резонансных кривых можно сделать еще следую-
щие замечания. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к од-
104
ному и тому же, отличному от нуля предельному значению, равному
2
/ ( )
ϖ
/
F k
0
F
2 2
β ϖ β
0
β ϖ
〈〈
. 0 0
βϖ
2
/ ( )
ϖ
Q
≈ = = =
2 2
β ϖ β
0
β ϖ
〈〈
F m
0 0
, то есть
. Это значение представляет собой смеще-
0
ние из положения равновесия, которое получает система под действи-
ем постоянной силы
. При стремлении ω к бесконечности все кри-
вые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте
сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает
заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что
чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи
резонанса, тем «острее» получается максимум на резонансной кривой.
/
F m
Из формулы
тухании (то есть
A
=
.
рез
) амплитуда при резонансе приближенно равна
0
2
A F m
рез
−
0
≈
вытекает, что при малом за-
/ 2
.
Разделим это выражение на смещение х0 от положения равно-
x F m
весия под действием постоянной силы F0, равное
=
0 0
. В
результате получим
А
x T
рез
0
ϖ
.
0
2 2
β β λ
2
π π
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы (это справедливо
лишь при небольшом затухании).
/
F m
Из формулы
тухании (то есть
A
=
.
рез
) амплитуда при резонансе приближенно равна
0
2
0
вытекает, что при малом за-
−
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей
силы, причем величина отставания φ лежит в пределах от 0 до π.
С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота
колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к
частоте возможных внешних воздействий. Так, например, собственная
105
частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна
сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Известны случаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная
частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой
шагала колонна. Поэтому при расчете сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструкций.
Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.
Волны в упругих средах
Волнами называются возмущения, распространяющиеся в
среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется
без переноса вещества.
Основными видами волн являются упругие (в частности, звуковые и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и
электромагнитные волны (к числу последних относятся, в частности,
световые волны и радиоволны).
Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной
или импульсом называется короткое возмущение, не имеющее регулярного характера (а).
Ограниченный ряд
повторяющихся возмущений называется цугом
волн. Обычно под цугом
понимают отрезок синусоиды (б). Особое значение в
теории волн имеет гармо-
ническая волна, то есть
бесконечная синусоидальная волна, в которой изме-
нение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса (в).
Начнем с рассмотрения упругих гармонических волн. Если в
каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды
106
возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между
частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к
частице с некоторой скоростью v – в среде возникнет волна.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от распространения колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и попереч-
ные. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь
в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и
газообразной средах возможно возникновение только продольных
волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и
поперечных волн.
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс
охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое
место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны
представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым
процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то же время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно
волна в этих случаях называется плоской или сферической. В пло-
ской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество
концентрических сфер.
Рассмотрим случай, когда плоская волна
ется вдоль оси х. Тогда все точки
107
среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату
vT
λ
=
1 /
ν
=
v
λν
=
х (но различные координаты у и z), колеблются в одинаковой фазе.
На рисунке изображена кривая, которая дает смещение ξ из
положения равновесия точек с различными х в некоторый момент
времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции для некоторого
фиксированного момента времени. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как продольной,
так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.
Расстояние λ, на которое распространяется волна за время,
равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны.
Очевидно, что
где v – скорость волны,
Т – период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между
ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π.
Заменив в уравнении
чим
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в
пространстве энергию.
Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени – рассмотрим
плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны. В
данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так
как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то сме-
T
Уравнение бегущей волны
(ν – частота колебаний), полу-
.
щение ξ будет зависеть только
от х и t, то есть ξ=ξ(x, t).
На рисунке рассмотрим некоторую частицу В
ды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии
108
х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются
(0, ) cos
t A t
ξ ϖ
=
/
x v
( , ) cos ( / )
x t A t x v
ξ ϖ
= −
ξ
( , ) cos ( / )
x t A t x v
ξ ϖ
= +
[
]
0
ξ ϖ ϕ
A const
=
[
]
0
ϖ ϕ
vT v
π π ϖ
= = =
0
( , ) cos( )
ξ ϖ ϕ
функцией
закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний ис-
точника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется
τ
время
уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
=
, где v – скорость распространения волны. Тогда
, частица В среды колеблется по тому же
,
откуда следует, что
функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Это
уравнение есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
( , ) cos ( / )x t A t x v
где
ω – циклическая частота,
φ0 – начальная фаза волны, определяемая в общем случае
выбором начал отсчета х и t,
волны.
Для характеристики волн используется волновое число
= − +
- амплитуда волны,
),( tx
является не только периодической
.
,
( / )t x v
− +
- фаза плоской
2 2
k
λ
Учитывая k, уравнение плоской волны получит вид
x t A t kx
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного
направления оси х, отличается только знаком kx.
Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, то
есть
109
= − +
.
( / )
t x v const
0
− =
v
=
/ 2
/ 2 / 2
0
mn
2 2
I Wh h A
ϖ ϕ
− + =
0
.
Продифференцировав это выражение и сократив на ω, полу-
1
dt dx
чим
, откуда
v
dx
dt
.
Следовательно, скорость v распространения волны в данном
уравнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и
ее называют фазовой скоростью.
Так как прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия
колебаний. Перенос энергии волнами количественно характеризуется
вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн
называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова
(1846-4915), решившего задачу о распространении энергии в среде).
Интенсивностью волны или плотностью потока энергии называет-
ся отношение энергии, переносимой волною сквозь площадь, перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса и размеру
площади. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии.
Получим выражение для интенсивности волны I. Пусть в 1 см3
среды содержится n0 частиц массой m. Тогда в соответствии с формулой полной энергии гармонического колебания
E T П mA
= + =
равна
2 2
ϖ
энергия колебания среды в единице объема
W n m A A
= =
2 2 2 2
ϖ ρϖ
0
,
где
Очевидно, что за 1 с сквозь площадку 1 см2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см2 и высотой, равной h; следовательно,
110
ρ
=
- плотность среды.
1
= =
2
ρ ϖ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]