Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
Ввиду того, что Земля движется вокруг Солнца не по круговой, а по
эллиптической орбите, то её движение не совсем равномерно. Это
значит, что солнечные сутки изо дня в день несколько изменяются в
течение года. Поэтому при измерении времени пользуются так называемыми средними солнечными сутками (24 ч=1 440 мин=86 400 с).
К часам предъявляют требования, чтобы они шли «равномерно». Но что значит – часы идут равномерно? Говорят, что это - периодический процесс, служащий для отсчёта времени; он должен повторяться через строго одинаковые промежутки времени. Однако это
не есть ответ на вопрос, так как убедиться в одинаковости следующих
друг за другом промежутков времени можно только в том случае, когда мы уже располагаем равномерно идущими часами. Выйти из этого
логического круга можно только путём определения, так как никакого
априорного представления о равномерном течении времени не существует. Надо условиться считать какие-то часы по определению равномерно идущими. Такие часы должны рассматриваться как эталонные или основные часы, по которым должны градуироваться все остальные.
В принципе любые часы могут быть приняты за эталонные.
Однако, эталонные часы должны быть достаточно «хорошими» и
прежде всего обладать высокой воспроизводимостью. Это означает,
что если изготовить с возможной тщательностью много «одинаковых»
эталонных часов, то они с большой точностью должны идти одинаково, независимо от того, изготовлены ли они одновременно или между
моментами их изготовления прошло длительное время. Например, песочные часы дают несравненно худшую воспроизводимость, чем маятниковые часы.
Не так давно за основные или эталонные часы принимались астрономические часы. Долгое время основными часами служила Земля,
вращающаяся вокруг собственной оси относительно звезд, а основной
единицей времени – сутки. Недавно вместо осевого вращения Земли
стали пользоваться её орбитальным движением вокруг Солнца, принимая за основную единицу времени тропический год, то есть промежуток времени между двумя последовательными прохождениями
центра Солнца через точку весеннего равноденствия. При измерении
времени таким путем достигалась лучшая воспроизводимость. Но еще
лучшая воспроизводимость была достигнута после изобретения кварцевых, молекулярных и атомных часов.
11
z
Все эти часы представляют довольно сложные радиотехнические устройства. Роль маятника или балансира, регулирующих ход
часов, выполняют в кварцевых часах колебания кристаллической решетки кварца, в молекулярных часах – колебания атомов в молекулах,
в атомных часах - колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях атомов некоторых изотопов химических элементов,
находящихся в точно определенных и строго контролируемых внешних условиях. Особой стабильностью обладают последние из перечисленных колебаний. Поэтому период именно таких колебаний в настоящее время принимается в качестве основной единицы времени, с
помощью которой воспроизводится секунда. Секунда – это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 771 колебаний
электромагнитного излучения, соответствующего переходу между
двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния
атома цезия-133 в отсутствие внешних полей.
С помощью кварцевых, молекулярных и атомных часов было
показано, что Земля вокруг своей оси вращается «неравномерно».
Пространство и время неотделимо от движущейся материи и
являются реальными формами ее бытия. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства
эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то
или иное положение.
В качестве пространственной
A
r
0
x
y
z
y
системы отсчета можно взять произвольное тело и связать с ним координатные оси. Тело, относительно которого происходит движение или определяется положение других тел, называ-
x
ется телом отсчета. С ним связывается
система отсчета – совокупность сис-
темы координат и часов, связанных с
телом отсчета. В декартовой системе
координат, используемой наиболее часто, положение точки А в дан-
ный момент времени по отношению к этой системе характеризуется
тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором r, проведенным из
начала системы координат в данную точку.
При движении материальной точки ее координаты с течением
времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями
12
(
)
txx =
(
)
(
)
=
1
;
эквивалентными векторному уравнению
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями
движения материальной точки.
Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы.
Если материальная точка свободно движется в пространстве, то она
обладает тремя степенями свободы (координаты x, y, z); если она движется по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если
вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы.
Различают три вида механического движения тел – поступательное, вращательное и колебательное.
Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.
Т р а е к т о р и я
r
1 2
Линия, которую описывает материальная точка при движении,
называют траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Движение называется прямолинейным, если траектория прямая линия, и криволиней-
ным, если траектория – кривая линия. Длина траектории, по которой
движется тело в течение некоторого промежутка времени, называется
путем.
Расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории,
называется путем ∆s, пройденным частицей за определенное время и
является скалярной функцией времени: ∆s=∆s(t). Прямолинейный от-
точки тела движутся по окружностям, центры
которых лежат на одной и той же прямой,
называемой осью вращения.
ется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния рав-
2
новесия, каждый раз вновь возвращается к
нему.
Поступательное движение
При вращательном движении все
Колебательным движением называ-
tyy =
;
)(trr
.
tzz =
,
13
z
резок (r12), соединяющий начальное и ко-
(
)
r
∆
t
∆
〉
〈
r
∆
t
∆
r
∆
〉
〈
0
C
1
r
1
0
y
2
r
12
r
2
нечное положения материальной точки,
называется перемещением. Вектор пере-
мещения
направлен из начального
r
12
положения материальной точки в ее конечное положение – приращение радиуса
x
вектора точки за рассматриваемый промежуток времени
rrr −= . При прямоли-
2112
нейном движении вектор перемещения
совпадает с соответствующим участком траектории и модуль переме-
щения
r равен пройденному пути ∆s.
12
Для характеристики движения материальной точки вводится
векторная величина – скорость, которой определяется как быстрота
движения, так и его направление в данный момент времени. К примеру, материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус вектор
r . В течение малого промежутка времени ∆t точка пройдет малый
0
путь ∆s и получит элементарное (бесконечно
v
∆
s
A
∆
r
r
0
<v>
B
Отношение пути, пройденного материальной точкой, к промежутку времени, за который этот путь пройден, называется средней
скоростью движения:
малое) перемещение
.
v
s
=〉〈
,
∆
где <v> - скалярная величина.
Вектором средней скорости
ращения
радиуса вектора точки к промежутку времени ∆t
v называется отношение при-
r
v
=〉〈
∆
Направление вектора средней скорости совпадает с направлени-
ем
.
В общем случае криволинейного (и прямолинейного) движения
средняя скорость может быть различной на разных участках траектории и зависеть от пути ∆s, или, что то же, от промежутка времени ∆t.
Следовательно,
v недостаточно полно характеризует движение. По-
этому вводят понятия мгновенной скорости (скорости в данный мо-
14
мент времени в данной точке пути). Мгновенная скорость v, есть
r
dtr
t
∆
→
∆
0
r
∆
∆tv∆s⋅=
+
=
v
векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора
движущейся точки по времени
v =
=
lim
При уменьшении ∆t до предела ∆s=
dt
∆
модуль мгновенной ско-
рости равен первой производной пути по времени
r
r
vv
∆
==
=
t
∆
∆
=
limlimlim
ttt
→∆→∆→∆ 000
t
∆
ds
s
∆
t
∆
=
dt
Единица измерения скорости - метр в секунду (м/с).
Если направление вектора v точки не изменяется, то траектория
точки – прямая линия. В случае криволинейного движения точки направление ее скорости непрерывно изменяется. При равномерном
движении точки остается постоянным модуль скорости v , в то время
как направление вектора v изменяется произвольным образом, а путь
пройденный точкой за промежуток времени ∆t равен
В этом случае точка проходит за равные промежутки времени
один и тот же путь. Если точка движется равномерно и прямолинейно
со скоростью v вдоль оси ОХ, то зависимость ее координаты х от
времени имеет вид:
,
tvxx
x
0
где х0 – значение х в начальный момент времени (t=0),
vх – проекция скорости точки на ось ОХ.
Если модуль вектора скорости точки изменяется с течением
времени, то такое движение точки называется неравномерным, то
есть тело за равные промежутки времени проходит разные пути. Для
A
1
характеристики быстроты изменения скорости v точки в механике вводится векторная
физическая величина, называемая ускоре-
нием.
v
2
Изменение (приращение) скорости
точки есть вектор v∆, равный разности конечной и начальной скоростей:
vvv −=∆
12
∆
<a>
v
B
-v
1
Отношение изменения скорости к
15
промежутку времени, за которое это изменение произошло, называет-
t
dtvdt
dtdvtvt
∆
∆
∆
∆
v
ся средним ускорением
a
=〉〈
∆
v
∆
Среднее ускорение направлено так же, как приращение скорости, то есть под углом к траектории в сторону ее вогнутости. В общем
случае среднее ускорение может быть различным на различных участках траектории. Оно зависит от промежутка времени, по которому
проводится усреднение. Будем уменьшать промежуток времени. В
пределе при ∆t→0 точка В будет стремиться к точке А и среднее уско-
рение на пути АВ превратиться в мгновенное ускорение a в точке А
v
aa
a
t
∆
v
τ
∆
v
a
n
a
n
Таким образом, мгновенное ускорение
движения в любой точке - это вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее
вогнутости, определяемый как первая производная вектора скорости по времени. Математически ускорение - это вторая производная
∆
=〉〈=
limlim
tt
→∆→∆ 00
∆
=
радиус-вектора по времени.
Ускорение выражается в метрах на се-
кунду в квадрате (м/с2).
Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие,
одна из которых направлена по касательной к траектории и называет-
ся касательным или тангенциальным ускорением
a , другая – по
τ
нормали к траектории и называется нормальным или центростре-
мительным ускорением
a .
n
Центростремительная сила всегда направлена к центру дуги
окружности, по которой в данный момент движется тело, она и обеспечивает его равномерное движение по окружности.
Тангенциальная составляющая ускорения равна первой производной по времени от модуля скорости, характеризует быстроту из-
менения скорости по модулю, направлена по касательной к траектории
v
a
=
τ
τ
=
limlim
tt
→∆→∆ 00
.
=
16
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту
rvt
∆
−
∆
====
====
====
====
t
−−−−
изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны
траектории
2
v
∆
a
lim =
=
n
n
t
0
→∆
.
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющей
,
aaa
+=
τ
n
численно равна
22
.
aаа
+=
τ
n
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих
ускорения движение можно классифицировать следующим образом:
1)
τ
2)
τ
движение (равноускоренное, если
– прямолинейное равномерное движение.
0,0 ========naa
– прямолинейное равнопеременное
0, ============
aconstaa
n
, и равнозамедленное, если
0〉〉〉〉a
0〈〈〈〈a
). При таком виде движения
аа
τ
Если начальный момент времени
, то обозначив
vv
01
и
tt
2
vv
2
v
=
==
∆
, получим
12
ttvvt
−
12
, а начальная скорость
0
t
1
vv
)(
a
====
0
, откуда
atvv +=
0
.
Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного
точкой, в случае равнопеременного движения
t t
∫ ∫
0 0
)(
0
2
at
tvdtatvvdts
+=+==
0
2
.
Примерами равноускоренного движения могут служить свободное падение тел или скатывание тела по наклонной плоскости без
трения.
3)
τ
– прямолинейное движение с переменным
0),( ========
atfa
n
ускорением – ускоренное движение;
4)
======== ,0
n
τ
. При
constaa
скорость по модулю не изменя-
0====τa
ется, а изменяется по направлению.
17
rvt
2
v
∆
n
t
0
→∆
∆
следует, что радиус кривизны
Из формулы
a
=
n
lim =
должен быть постоянным. Следовательно, это есть равномерное движение по окружности;
5)
6)
τ
τ
– равномерное криволинейное движение;
0,0 ≠≠≠≠====naa
– криволинейное равнопеременное движе-
0, ≠≠≠≠====
aconsta
n
ние;
7)
τ
– криволинейное движение с переменным
0),( ≠≠≠≠====
atfa
n
ускорением.
Вращательное движение
Пусть некоторая точка движется по
окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени ∆t зададим углом ∆φ. Элементарные (бесконечно ма-
dϕ
∆ϕ
R
∆S
лые) повороты можно рассматривать как
векторы (они обозначаются
Модуль вектора
равен углу поворота,
ϕ
d
или
ϕ
∆
).
ϕ
d
а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия
винта, головка которого вращается в направлении движения точки по
окружности, то есть подчиняется правилу правого винта («правило
буравчика»). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными
ω
векторами. Эти векторы не имеют
определенных точек приложения: они
могут откладываться из любой точки
оси вращения.
d
ϕ
O
R
v
Отношение угла поворота к
промежутку времени, за который этот
поворот произошел называется угло-
вой скоростью ϖ. Угловая скорость
- векторная величина, равная первой
производной угла поворота тела по
времени:
18
dtdt
∆
ϕ
ϕ
tRtRt
∆
∆
∆
[
]
dt
ω
ϖ
Вектор ϖ направлен вдоль оси вращения по правилу правого
∆
=
lim
t
→∆ 0
ϕϕ
.
=
винта, то есть так же, как и вектор
скорости – радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки равна
v
=
s
=
∆
В векторном виде формулу для линейной скорости можно напи-
сать как векторное произведение
Если ϖ = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот, то есть поворачивается на угол 2π. Так как
промежутку времени ∆t=Т соответствует ∆φ=2π, то ω= 2π/Т, откуда
Единица измерения периода – секунда (с).
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном
его движении по окружности, в единицу времени называется часто-
той вращения n
n = 1/Т = ω/2π, откуда ω = 2πn
Единица измерения частоты – Герц (Гц) или с-1.
При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной изменяется и угловая. Поэтому можно ввести
ω
2
1
dω/dt<0
dω/dt>0
ω
1
ω
2
ε
ε
ϕ
d . Единица измерения угловой
.
ϖ
R
=
limlimlim
ttt
∆
Т= 2π/ ω
понятие углового ускорения.
Отношение изменения угловой
скорости к промежутку времени, за который это изменение
произошло, называется угло-
вым ускорением ε - это векторная величина, равная первой
производной угловой скорости
по времени:
d
ϖ
ε
=
→∆→∆→∆ 000
.
Rvϖ=
.
=
∆
19
Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в
t
∆
ϖ
ϖ
dt
dt
RRr
ϕ
=
εϖϖ
±
=
2
квадрате (рад/с2).
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового
ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении
вектор ε сонаправлен вектору ϖ, при замедленном – противонаправлен ему.
Тангенциальная составляющая ускорения
a ===
τ
Rd
d
)(
R
.
ε
R
а
v
, или
=
τ
∆
Нормальная составляющая ускорения
ϖ
222
2
.
R
ϖ
===
v
a
n
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v,
тангенциальное ускорение
a , нормальное ускорение na ) и угловыми
τ
величинами (угол поворота φ, угловая скорость ϖ, угловое ускорение
ε
) выражается следующими формулами:
Rs
;
ϖ
Rv = ;
;
ε
Ra =
τ
2
.
Ra
ϖ
=
n
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=
const)
2
t
;
t
0
ε
ϖϕ
t
0
,
±=
где ω0 – начальная угловая скорость.
Классический закон сложения скоростей
Как связаны между собой скорости движения тела в различных
системах отсчета?
Рассмотрим такой пример. Вагон движется по прямолинейному
участку железнодорожного пути равномерно со скоростью
v
0
отно-
сительно Земли. Пассажир движется относительно вагона со скоро-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]