Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
2 2
1 1 1
2 2 2 2 2
L
I
2 2
2 2
T mv m r mr I
= = = = =
.
вр
2 2 2 2
∑ ∑ ∑
( )
ϖ ϖ
ϖ
.
В случае плоского движения тела, например, цилиндра скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движение маятника Максвелла, энергия движения складывается из энергии посту-
mv I
пательного движения и энергии вращения:
C C
Tϖ= +
,
где m - масса катящегося тела;
vC – скорость центра масс тела;
IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр его масс;
ω – угловая скорость тела.
Примеры на закон сохранения вращательного импульса
Поучительные демонстрационные опыты на закон сохранения
момента импульса можно осуществить с помощью скамьи Жуковского (по имени русского ученого Н.Е. Жуковского (1847-1921)). Скамья
Жуковского представляет собой стул, сидение которого имеет форму
диска. Диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на
шариковых подшипниках. Во время опыта демонстратор садится или
становится на скамью Жуковского и, отталкиваясь от пола, может
приводить ее во вращение. После прекращения толчка единственными
внешними силами, которые могут создавать момент относительно оси
вращения, являются силы трения и сопротивления воздуха. Силы
трения благодаря шариковым подшипникам очень малы, а сопротивление воздуха можно не принимать во внимание, пока число оборотов
скамье невелико. Поэтому момент импульса системы, состоящей из
скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система представлена самой себе.
Демонстратор на скамье Жуковского, оттолкнувшись ногою от
пола, приводит её во вращение. Вместе со скамьей вращается и он
сам. Во время вращения вращательный импульс системы будет оставаться постоянным. Какие бы внутренние движения ни совершались в
системе – внутренние силы не могут изменить вращательный импульс. Если демонстратор разведет руки в стороны, то он увеличит
момент инерции системы, а потому угловая скорость вращения должна уменьшиться, чтобы остался неизменным вращательный импульс.
71
Если демонстратор сводит руки к оси вращения, то момент инерции
уменьшается, а угловая скорость увеличивается. Для усиления эффекта демонстратор держит в руках тяжелые гири. При максимальном
удалении гирь от оси вращения момент инерции увеличивается в несколько раз. В такое же число раз уменьшается угловая скорость вращения.
Когда балерина делает пируэт, она вращается на носке, она
вращается на носке, вокруг вертикальной оси. Ноги и руки при этом
максимально приближены к оси вращения, и угловая скорость максимальна. Для замедления вращения и остановки балерина разводит руки и отводит ногу в сторону. Наоборот, для сообщения своему телу
быстрого вращения балерина отталкивается от пола, получая вращательный импульс, когда момент инерции ее тела максимален. Затем
она соответствующим движением уменьшает момент инерции в несколько раз и тем самым увеличивает угловую скорость вращения.
Таким образом, она управляет скоростью вращения путем изменения
момента инерции своего тела. В сущности, она делает то же самое, что
и демонстратор на скамье Жуковского. Тем же самым приемом пользуется гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине.
Прыгун, чтобы сделать сальто, отталкивается от трамплина и
тем самым сообщает своему телу вращательный импульс. Этот импульс сохраняется при дальнейшем движении прыгуна в воздухе.
Вначале тело прыгуна вытянуто и момент инерции велик. В некоторый момент времени прыгун свертывается клубком, уменьшая момент
инерции в три и большее число раз. Угловая скорость возрастает во
столько же раз. С этой угловой скоростью прыгун выполняет один,
два и даже три полных оборота. В нужный момент прыгун снова выпрямляет тело и с малой угловой скоростью становится на землю или
погружается в воду. Приведя этот пример, мы несколько забежали
вперед, так как здесь ось, вокруг которой вращается тело прыгуна, не
неподвижна, а движется в пространстве. Однако если движущаяся ось
проходит через центр масс прыгуна, то вращение совершается по тем
же законам, что и вращение вокруг неподвижной оси.
Земля при вращении вокруг собственной оси ведет себя подобно скамье Жуковского. Всякое перемещение масс внутри Земли
(
выпадение осадков, вулканическая деятельность, горообразование и
прочие) меняет момент инерции, а с ним и угловую скорость вращения Земли. Это является причиной нерегулярных колебаний продолжительности суток. Экспериментально обнаружены периодические
72
колебания продолжительности суток с основным периодом в один год
2
2
L
I
L I
ϖ
2
F m r
и с амплитудой около 0,001 с. Земля подвержена также регулярным
внешним воздействиям, прежде всего силам приливного трения, связанным с гравитационным притяжением Луны и Солнца. Благодаря
этому средние солнечные сутки увеличиваются примерно на 1,640 ·
10-3 с в столетие. Неравномерность вращения Земли можно наблюдать
с помощью кварцевых, атомных или молекулярных часов. Ход таких
часов управляется колебаниями кристаллической решетки кварца, а
также внутриатомными и внутримолекулярными колебаниями при
излучении спектральных линий. Указанные колебания обладают значительно большей стабильностью, чем вращение Земли вокруг собственной оси или вокруг Солнца. Это и является причиной, почему в
настоящее время эталон времени – секунда – устанавливается именно
с помощью колебательных процессов, а не с помощью вращения Земли вокруг своей оси или Солнца, как это делалось до недавнего времени.
Вернемся к опыту со скамьей Жуковского. При уменьшении
момента инерции вращающегося тела его кинетическая энергия увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Это
непосредственно видно из формулы
T
вр
мом случае вращательный импульс системы равен
, так как в рассматривае-
=
.
=
не изменяется. Изменение кинетической энергии системы может происходить
только за счет работы каких-то сил. Такими силами в нашем примере
являются внутренние силы, действующие в системе. Они не могут изменить момент импульса системы. Однако совершаемая ими работа,
вообще говоря, отлична от нуля и идет на изменение кинетической
энергии вращения системы. Демонстратор на скамье Жуковского
должен развить определенную мускульную силу, чтобы удержать
вращающиеся гири на их круговых траекториях. Сила, с которой он
ϖ
действует на гирю, есть центростремительная сила
=
, где m масса гири, а r - расстояние от оси вращения. Когда демонстратор
приближает гирю к оси вращения, сила F совершает положительную
работу. За счет этой работы и происходит увеличение кинетической
энергии системы. При удалении гири работа силы F отрицательна, и
кинетическая энергия уменьшается.
Подтвердим это простым расчетом. Чтобы максимально упро-
стить вычисления, схематизируем опыт, заменив реальную систему
73
идеализированной моделью её. Будем считать, что гири являются ма-
2
I I mr
0
I
2
mr
1
r
2 1
r r
〈
2
F m r
dA m rdr
0
dr
〈
A m rdr m rdr m rdr
2
I I mr
I mr I mr I mr
2 1
A T T
= − = −
териальными точками, а масса рук демонстратора пренебрежимо мала. При такой схематизации момент инерции представится выражени-
ем
= +
2
0
, где
- момент инерции системы без гирь, а
2
- момент инерции самих гирь (двойка потому, что гирь две). Будем
предполагать, что приближение и удаление гирь к оси вращения совершается бесконечно медленно. Тогда в любой момент времени
можно пренебречь кинетической энергией радиального движения. Вся
работа внутренних сил пойдет на изменение кинетической энергии
вращения системы. Вычислим работу А, совершаемую демонстратором, когда он тянет гири к оси вращения, перемещая их с расстояний
до
. При вычислении работы имеет значение только относи-
тельное движение взаимодействующих тел. В нашей задаче это есть
движение гирь относительно демонстратора. Каждую гирю демонст-
ϖ
ратор тянет с силой
им, положительна и равна
=
. Элементарная работа, совершаемая
2
2
ϖ
=−
(в нашем случае
).
Полная работа определится интегралом
r r r
2 2 2
=− =− =−
∫ ∫ ∫
r
1
2
2 2 2
ϖ
r r
1 1
2 2
( )
I L
ϖ
2 2
I I
.
Тогда как момент импульса во время движения остается по-
2
стоянным, а момент инерции
r
2
2
2
A mL
=− = −
∫
( 2 ) 2 2
r
0 0 2 0 1
1
= +
0
rdr L
2 2 2 2
+ + +
или
2 2
2
2
2 2
L L
I I
2 1
, то
1 1
,
.
Та же формула справедлива и при удалении от оси вращения.
Оно показывает, что кинетическая энергия вращения изменяется за
счет работы мускульной силы демонстратора.
Приведенное объяснение, однако, не дает ответа на вопрос, какие силы вызывают изменение угловой скорости вращения системы.
Если бы на гирю действовала только центростремительная сила, то
74
она, как сила центральная, не могла бы изменить вращательный им-
0
p
=
ur
L
r
L
r
I
Ω
L
r
L I
= Ω
ur
I
Ω
x
L
пульс гири. Должны были сохраняться в отдельности вращательные
импульсы гирь и скамьи Жуковского вместе с демонстратором. Гири
и скамья Жуковского вращались бы с различными угловыми скоростями. На самом деле этого нет. При движении гирь по радиусу происходит выравнивание угловых скоростей. Отсюда можно сделать вывод, что во время такого движения помимо центростремительных сил
на гири действуют силы бокового давления со стороны рук демонстратора. Эти силы не изменяют угловую скорость вращения гирь. Гири, в свою очередь, оказывают боковое давление на руки демонстратора, в результате чего меняется угловая скорость вращения скамьи
вместе с демонстратором. Демонстратор на скамье Жуковского
очень хорошо ощущает действие этих сил бокового давления при
всяком, в особенности быстром, радиальном перемещении гирь. Дополнительные силы бокового давления перпендикулярны к оси вращения и к относительной скорости гирь. Работы они не производят.
Их наличие не может сказаться на результате вычисления работы А,
которое было произведено раньше. Силы бокового давления имеют
моменты относительно оси вращения и производят перераспределение неизменного момента импульса системы между гирями – с одной
стороны – и скамьей Жуковского и демонстратором - с другой. В ре-
зультате все эти тела вращаются с общей угловой скоростью.
С помощью скамьи Жуковского можно продемонстрировать и
векторный характер момента импульса. Для этой цели применяется
велосипедное колесо с утяжелённым ободом. Если колесо вращается
вокруг собственной оси, то вследствие осевой симметрии полный им-
пульс его равен нулю (
). В этом случае момент импульса
не-
подвижной точки не зависит от положения этой точки. С другой стороны, проекция вектора
на ось вращения колеса равна
, где I -
момент инерции колеса, а Ω - его угловая скорость. Проекция вектора
на любое направление, перпендикулярное к оси колеса, равна нулю
ввиду осевой симметрии. Отсюда следует, что вектор момента импульса направлен вдоль оси колеса и по модулю равен
.
Демонстратор садится или становится на скамью Жуковского.
Ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью. Полный момент импульса системы направлен вертикально
и равен
. Примем вертикальную ось скамьи Жуковского за ось Х.
Так как момент внешних сил относительно оси Х равен нулю, то проекция
полного момента импульса системы на эту ось должна со-
75
храняться. В начале опыта весь вращательный импульс сосредоточен
cos
(1 cos )
(1 cos )
(1 cos )
ϖ α
= Ω −
0
I
0
90
кол
L
0
180
кол кол
0
I
= Ω
dm
в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса на угол α. Проекция момента импульса колеса на ось Х становится равной
кол
L Iα= Ω
x
, то есть она уменьшается на
IαΩ −
. Это уменьше-
ние должно быть скомпенсировано возрастанием соответствующей
проекции момента импульса скамьи и демонстратора на величину
скам
L Iα= Ω −
x
. В результате скамья с демонстратором приходит во
вращение с угловой скоростью ϖ, определяемой из уравнения
I I
0
ция
обращается в нуль – она полностью передается скамье и де-
x
монстратору. При
становится максимальным
, где
α
- момент инерции скамьи. При
=
изменение вращательного импульса колеса
L L∆
= , скамья и демонстратор вра-
x x
щаются с максимальной скоростью
2
2
ϖ
. Поворачивая ось, демон-
I
α
=
проек-
стратор придает ей исходное направление – тогда вращение скамьи
прекращается. Однако скамья, вообще говоря, не возвращается в исходное положение, а оказывается повернутой вокруг вертикальной
оси на некоторый угол.
Наклоняя ось колеса, демонстратор во время её движения испытывает значительные силы бокового давления. Колесо как бы стремится вырваться из рук демонстратора. Эти силы направлены горизонтально и притом перпендикулярно как к оси колеса, так и к оси
скамьи Жуковского. Их геометрическая сумма равна нулю, но они
имеют момент относительно оси Х. Последний приводит во вращение
скамью Жуковского и демонстратора.
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси
перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Разобьём мыс-
76
ленно тело на элементарные массы
. Ра-
диусы – векторы одной из них обозначим че-
рез
r
r
'
r
r
dm
r r a
= −
r r r
a
r
' 2( )
r r a a r
r r
' 2( )
r dm r dm a dm a rdm
r r
'
I r dm
I r dm
C
rdm m R
r uuur
C
R
uur
2 ( )
O C
I I ma m a R
r uuur
0
=
uuur
2
I I ma
и
соответственно. На рисунке изображен случай когда
элементарная масса
, где
носительно оси О. Таким образом,
R
носительно произвольной оси равен моменту его инерции IO относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела,
сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстоянии а между осями:
найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в
теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его
сводится к вычислению интеграла
- радиус вектор ОА. Следовательно численно будет равно
2 2 2
= + −
2 2 2
∫ ∫ ∫ ∫
A
O
∫
Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда
и формула примет вид:
C
Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела I от-
Якоб Штейнер (1796-1863) – швейцарский геометр.
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно
= + −
2
=
∫
2
=
∫
=
лежит в плоскости рисунка. Тогда
, проинтегрируем полученное выражение
, где
- момент инерции тела относительно оси А;
- момент инерции тела относительно оси О;
, где
Вычисление моментов инерции
- радиус-вектор центра масс тела от-
= + −
2
= +
O
'
77
I r dm
=
dm
2
I kml
2
( /2)
C
I
/2
l
/2
m
2
2 2
m l
2
( / 2)
2
2 2
l l
1
3
2
I ml
2
12
I ml
2
∫
,
где r - расстояние от элемента массы
Интегрирование должно производится по всей массе тела.
Момент инерции тонкого однородного стержня относи-
тельно перпендикулярной оси.
рез конец стержня А. Для момента инерции можно записать
=
A
стерня. Центр стержня С является его центром масс. По тео-
реме Гюйгенса-Штейнера
представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ,
длина каждого из которых равна
момент инерции равен
I I m l= +
A C
I I m l= +
A C
k
, получим
, масса
. Подставляя эти выражения в
до оси вращения.
Пусть ось проходит че-
, где l - длина
. Величину
, а следовательно,
можно
ходим
78
2
kml km m
Решая данное выражение, получим
= +
1
=
A
3
1
=
C
2
.
k=
,
. В результате на-
.
Следует отметить, что эти формулы выведены для тонкого
r dr
+
dS rdr
π
=
dI r dm
I r dm
2
dS rdr
R
2
S R
π
3 2
I r dr mR
2
I I mR
стержня.
К стержню конечной толщины данные формулы не применимы, но ими можно воспользоваться как приближенными формулами в
том случае, когда поперечные размеры стержня очень малы по сравнению с его длиной.
Момент инерции бесконечно тонкого
диска и сплошного цилиндра. Предполагает-
ся, что диск и цилиндр однородны, то есть вещество распределено в них с постоянной плот-
ностью. Пусть ось Z проходит через центр
диска C перпендикулярно к его плоскости.
Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом
2
, его момент инерции ра-
dm m m
= =
2
S
вен
лом
. Площадь такого кольца
2
=
Z
z
=
∫
Z
. Момент инерции всего диска определяется интегра-
2
. Так как диск однородный, то
,
где
под знак интеграла и получим
однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси. Момент инерции диска относительно диаметра
вдвое меньше и равен
ками. Сначала найдем момент инерции относительно центра шара.
=
Полученную формулу можно также использовать для расчета
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стен-
79
- площадь всего диска. Внесем полученное выражение
R
2 1
m
= =
R
∫
2
0
2
Z
1
= =
X Y
4
.
Очевидно, что он равен
2
I mR
2
C
I I I I
I I I I
= = =
2
I mR
2
I mR
dV
dV r dr
3
V R
π
2
I mR
3
r dr
R
2
I mR
=
C
. Запишем момент инерции сферы
относительно прямоугольной системы координат
3 2
=
+ + =
X Y Z
Так как тело симметрично, то
, отсюда
X Y Z
.
. Таким образом
2
=
3
.
Момент инерции сплошного однородного шара. Сплошной
шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сфе-
рических слоев с массами dm. Так как шар однороден, то
, где
2
4
π
=
- объем сферического слоя, а
=
dm mV=
4
3
- объем
2
всего шара. По формуле
слоя относительно диаметра равен
=
3
момент инерции сферического
2
dI dmr m
= =
2
3
4
2
. Интегрируя,
получаем момент инерции сплошного шара
2
=
5
.
Гироскоп
Слово «гироскоп» в буквальном переводе означает прибор для
обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется
быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп, в особенности
когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первый взгляд неожиданными и непонятными. Они всегда воспринимаются с захватывающим интересом.
Быстро вращающийся волчок может служить не только забавной игрушкой, но и прекрасным демонстрационным прибором при изучении
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]