Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
m
t
Закон изменения импульса
Пользуясь математическим выражением второго закона Нью-
тона
F
, можно определять значения движущей силы, массы и ус-
а =
корения тела для данного момента времени. Однако зачастую бывает
необходимо определить эти характеристики для любого наперед за-
данного момента времени (будущего или прошедшего). Для такого
рода расчетов применяется закон изменения импульса, являющийся
одним из выражений второго закона Ньютона.
Пусть в течение некоторого промежутка времени t на тело
массой m, двигавшееся ранее со скоростью
подействовала посто-
v
0
янная сила F. Она сообщает телу постоянное ускорение a , в связи с
чем к концу промежутка времени тело приобретет скорость v . Тогда,
согласно второму закону Ньютона,
vv
−
0
mamF
==
,
или
,
vmvmFt −=
0
где
произведение массы тела на его скорость называется импульсом (количеством движения) тела, а произведение движущей
силы на время ее действия – импульсом силы.
Импульс постоянной силы, действующей на тело, равен
изменению импульса тела - закон изменения импульса.
Если на тело действует не одна, а несколько сил, то под F
следует понимать их результирующую.
Так как сила, действующая в течение малого промежутка времени ∆t, практически является постоянной, то закону изменения импульса можно дать еще такую формулировку.
Импульс силы, действующей на тело в течение малого
промежутка времени, равен изменению импульса тела за этот
промежуток времени.
Этот закон позволяет определить конечную скорость движения тела по его начальной скорости и импульсу движущей силы.
41
Чтобы применять закон изменения импульса к случаям дейст-
1nn n n
F t mv mv
F t mv mv
F t mv mv
F t mv mv
−
……………………
uur r uur
uuur r ur
uuur r uur
uuur r uuur
вия переменной силы, надо обобщить понятие импульса силы на любой промежуток времени. С этой целью разобьем промежуток време-
ни t на n столь малых промежутков (∆t1, ∆t2, ∆t3, …, ∆tn), что силу, действующую в течение каждого из них, можно считать постоянной и
соответственно равной
321
. Тогда для каждого из этих
FFFF ,...,,,
n
промежутков времени
⋅∆ = −
1 1 0
⋅∆ = −
2 2 1
⋅∆ = −
3 3 2
1
2
3
⋅∆ = −
Поскольку скорость в начале каждого последующего промежутка
времени равна скорости в конце предыдущего времени. Складывая
равенства, получим
Сумма, стоящая в левой части равенства, называется полным
импульсом переменной силы. Следовательно,
полный импульс переменной силы, действующей на тело,
равен изменению импульса тела.
∑
i
=
n
n
1
ni
vmvmtF
−=∆⋅
0
42
Центр масс системы материальных точек и закон его дви-
m
mvmm
dt
dt
dt
жения
В механике Галилея – Ньютона из-за независимости массы от
скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее
центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой
характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус – вектор
равен
n
rm
∑
ii
i
==1
r
C
,
где mi и ri - соответственно масса и радиус-вектор i–й матери-
n
альной точки; n - число материальных точек в системе;
=
∑
i
-
mт
i
=
1
масса системы. Скорость центра масс
dt
n
rd
i
∑∑
ii
i
==
11
===
.
n
m
rd
v
C
C
i
i
Учитывая, что
, а
vmp =
iii
есть импульс p системы,
p
∑
i
=ni
1
можно написать
vmp = ,
C
то есть импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Подставив выражение
pd
21
FFF
+++= ...
n
, получим
vd
C
m +++= ...
21
в уравнение
vmp =
C
,
FFF
n
то есть центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила,
равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Полученное выражение представляет собой закон движения
центра масс.
43
В соответствии с
⋅⋅⋅⋅
〈〈
〈〈〈〈
〈〈
−
(
)
()(
)
[
]
вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется пря-
молинейно и равномерно, либо остается неподвижным.
Уравнение движения тела переменной массы. Реактивное
Движение тел с переменной массы – это медленное (
8
) движение тел, масса изменяется за счет потери или при-
смv /103
обретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц
уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса
ракеты или реактивного самолета уменьшается вследствие истечения
газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета
с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на
него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и
сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет
внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является
замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во
времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету
действуют внешние силы. Такими силами могут быть сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.
Итак, пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость
vmp =
из закона сохранения импульса
C
движение
v , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет
равной
системы за отрезок времени dt
где и - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
(учли, что
остальными).
44
, а скорость станет равной
dmm
vdmd
- малый высшего порядка малости по сравнению с
dmuvmdpd +=
. Изменение импульса
vdv +
vmuvdmvdvdmmpd −+++−=
Если на систему действуют внешние силы, то
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
m
=
этому
dmuvmddtF +=
,
или
vd
m −=
dm
Реактивная сила
направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v , то тормозится.
Таким образом, мы получили уравнение движения тела пе-
ременной массы или уравнение движения точки с переменной массой
которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных
аппаратов высказывалась в 1881 г. Н.И. Кибальчичем (1854-1881). К.
Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной
космонавтики.
Применим уравнение
uFp=
vd
m −=
. Если u противоположен v по
dm
.
uF
,
FFam +=
p
dm
к движению ракеты, на
uF
dtFpd =
, по-
которую не действуют никакие внешние силы. Полагая 0=F и счи-
тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
dv
m −= ,
откуда
dm
uv ln
∫
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты рав-
на нулю, а ее стартовая масса m0, то
dm
u
+−=−= Cmu
.
ln muС
. Следовательно,
0
45
)/ln(
=
α
=
=
F
mmuv
.
0
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она
получена для нерелятивистских движений, то есть для тех случаев,
когда обе скорости малы по сравнению со скоростью света в вакууме.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости. Она показывает,
что 1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть
стартовая масса ракеты m0; 2) чем больше скорость истечения и газов,
тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе
ракеты.
Энергия. Работа
Энергия – универсальная мера различных форм движения и
взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не
изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других –
переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во
всех случаях энергия, отданная в той или иной форме одним телом
другому телу, равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами,
действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно
характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол α с направлением
перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (
перемещение точки приложения силы:
s
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и
по направлению, поэтому формулой
F
v
s
2
α
46
dr
1
α
cosFssFA
==
s
нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение
предполагается бесконечно
rd
), умноженной на
α
cosFFs=
.
пользоваться
cosFssFA
малым, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее
=
const
=
α
π
приложения – прямолинейным, а величину dA назвать элементарной
работой в отличие от работы на конечном перемещении.
Элементарной работой силы F на перемещении rd называется скалярная величина
cos
s
,
dsFdsFrdFdA
===
α
где α – угол между векторами F иrd;
- элементарный путь;
rdds =
Fs – проекция вектора F на вектор rd.
В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории от точки 1 до точки 2, проходит путь конечной
длины, который можно мысленно разбить этот путь на бесконечно
малые элементы, на каждом из них сила F может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле
==
s
cos
α
или
α
cosFssFA
. Сложив все эти эле-
dsFdsFrdFdA
===
s
ментарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех
элементарных перемещений, а число их – к бесконечности, работу
силы можно привести к интегралу
2
cos dsFFdsA
∫ ∫
1
2
==
α
.
s
1
Для вычисления этого инте-
грала надо знать зависимость силы
Fs от s пути вдоль траектории 1-2.
Пусть эта зависимость представлена
графически , тогда искомая работа А
определяется на графике площадью
заштрихованной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила
constF
и
2
1
, то получим
2
∫∫
1
,
ααα
coscoscos
FsdsFFdsA ===
где s – пройденный телом путь.
Из формулы
== следует, что при
s
до 90°) работа положительна, и в этом случае составляющая
α
cosFssFA
(от 0
α
〈
2
сов-
F
s
47
падает по направлению с вектором скорости движения v . Если
2
π
2
π
=
α
=
====
t
∆
dt
α
〉
(от 90 до 180), то работа силы отрицательна. При
правлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
При
на
вершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил (то есть равна
работе результирующей этих сил). Отметим, что работа, определяемая
произведением векторов силы и перемещения на косинус угла между
ними, является скалярной величиной.
совершаемая силой в один ньютон на перемещении в один метр при
условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения (1 Дж = 1Н·м). В системе СГС единицей работы является эрг. Эрг
– работа силы в одну дину на перемещении в один сантиметр при том
же условии, то есть в предположении, что направления силы и перемещения совпадают
совершает он данную работу. С этой целью вводится понятие мощно-
сти. Мощность измеряется отношением работы к промежутку вре-
мени, за который она совершена:
(направления силы и перемещения совпадают) работа рав-
0
.
FsA
Если тело перемещается под действием нескольких сил, то со-
Единица работы в СИ – джоуль (Дж): 1 Джоуль – эта работа,
.
эргДж7101
Для оценки эффективности механизма важно знать, как быстро
A
N
.
=
∆
α
=
(сила на-
За промежуток времени ∆t сила F совершает работу rdF , и
мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
N ==
то есть равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N – величина
скалярная.
Единицей мощности в системе СИ служит ватт (Вт), в СГС –
эрг на секунду (эрг/с) или джоуль на секунду (Дж/с).
1
Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа
1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с = 107 эрг/с).
Энергия является важнейшей физической величиной, характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она
rdF
,
vF
48
измеряется максимальной работой, которую при определенных (заданных) условиях может совершить эта система. Например, катящийся
шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его, то есть совершает работу. Следовательно, катящийся шар обладает энергией. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела. Следовательно, растянутая пружина обладает
энергией. Система, состоящая из земного шара и расположенного на
некоторой высоте над ним тела, обладает энергией, так как при устранении связи, удерживающей тело на высоте, оно начинает двигаться
(падать) и может совершать работу. Отметим, что катящийся шар, деформированная пружина и поднятое над Землей тело обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент работу или
нет:
энергия характеризует состояние системы, способность
(возможность) системы к совершению работы при переходе
из одного состояния в другое.
Обычно за другое (конечное) состояние системы принимают
такое состояние ее, называемое нормальным, в котором она уже не
может совершать работу при данных условиях за счет энергии данного
вида. Так, например, для растянутой пружины нормальным состоянием является такое, при котором полностью ликвидирована ее деформация, для приподнятого над Землей тела – такое, при котором оно
пришло в соприкосновение с земной поверхностью, и т. п.
Из этих примеров видно, что энергия связана либо с движением системы или ее частей – в этом случае она называется кинетиче-
ской, либо взаимным расположением взаимодействующих частей системы – в этом случае она называется потенциальной. Потенциальная
энергия тесно связана с существованием полей (гравитационных,
электрических, магнитных и т.д.).
Изменение энергии выражается работой, которую может
совершить система, переходя из одного состояния в другое.
Иными словами,
работа А, совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих
состояниях:
WWA −=
n
0
49
где
=
dt
dt
dt
ниях. В соответствии с этим определением получим конкретные выражения энергии для некоторых простейших (механических) систем.
Кинетическая энергия механической системы – это энергия
механического движения этой системы.
Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на ве-
личину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на
пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v ,
идет на увеличение кинетической энергии тела dW, то есть
Используя второй закон Ньютона
ремещение rd , получаем
W
и
- энергии системы в исходном и конечном состоя-
W
0
n
Кинетическая энергия тела
dWdA
.
vd
mF =
и умножая на пе-
vd
mrdF == .
Так как
v =
rd
, то
v
∫
0
Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v,
обладает кинетической энергией
mvW =
Из этой формулы видно, что кинетическая энергия зависит
только от массы и скорости тела, то есть кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
2
При выводе формулы
жение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе
нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость
mvW =
dArd
dWmvdvvdvmdA ===
, откуда
2
2
mvmvdvW
==
2
2
2
.
.
предполагалось, что дви-
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]