Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
ношению к преобразованию координат, соответствующему переходу
F
от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Как уже отмечалось, законы Ньютона выполняются только в
инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинер-
циальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще
говоря уже не справедливы. Однако законы динамики можно применить и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг
на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода – так называемые
силы инерции.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет
справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на
ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил,
действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инер-
ции
F при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами
.ин
обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу
ускорение 'a, каким оно обладает в неинерциальных системах отсче-
та, т. е.
FFam +=
.'ин
Так как
(a - тела в инерциальной системе отсчета), то
amF =
Famam +=
.'ин
Сила F - это «настоящая» сила в том смысле, что она является
результатом взаимодействия тел. Она зависит только от разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных
точек. В классической кинематике все эти разности не меняются при
переходе от одной системы отсчета к другой, произвольно поступательно движущейся системе. Поэтому сила F не меняется. Она инвариантна относительно такого перехода.
Совсем иной характер имеет составляющая
. Это состав-
F
.ин
ляющая возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного
движения системы отсчета. При переходе к другой ускоренной системе отсчета меняются и силы инерции. Они не инвариантны относительно такого перехода. Этим силы инерции отличаются от «настоящих» сил, возникающих при взаимодействии тел. Второе отличие со-
31
,
стоит в том, что силы инерции не подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила
инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной
к другому телу. Движение тел под действием сил инерции аналогично
движению во внешних силовых полях. Силы инерции всегда являются
внешними по отношению к любой движущейся системе материальных
тел.
Реальны или фиктивны силы инерции? Ответ на этот вопрос
зависит от смысла, который вкладывается в слова «реальный» и «фиктивный». Если придерживаться ньютоновской механики, согласно которой все силы должны быть результатом взаимодействия тел, то на
силы инерции надо смотреть как на фиктивные силы, исчезающие в
инерциальных системах отсчета. Однако такая точка зрения не обязательна. Все взаимодействия осуществляются посредством силовых
полей и передаются с конечными скоростями. И на силы инерции
можно смотреть как на действия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей. Правда, эти поля определенным образом преобразуются при переходе от рассматриваемой системы отсчета к другой системе, движущейся относительно неё ускоренно. Но это не является основанием считать эти силы фиктивными.
Ведь электрические и магнитные силы также преобразуются при переходе к другой системе отсчета (даже от инерциальной к инерциальной). И тем не менее никто не сомневается в реальном существовании
электромагнитных полей.
Существует много явлений, которые могут быть интерпретированы как проявление сил инерции. Когда поезд набирает скорость,
пассажир испытывает действие силы, направленной против движения
поезда. Если пассажир сидит по ходу поезда, то эта сила прижимает
его к спинке сидения. Это и есть сила инерции. При торможении поезда сила инерции меняет свое направление и стремится отделить тело
пассажира от стенки сидения. Если в ускоренно движущемся вагоне
висит маятник, то сила инерции стремится отклонить его в сторону,
противоположную ускорению. В состоянии равновесия сила инерции
уравновешивается силами тяжести и натяжением нити подвеса. Особо
заметны силы инерции при внезапном быстром торможении поезда.
Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на лётчика или
космонавта при больших ускорениях самолёта или при запуске и торможении космического корабля.
32
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы
TPF+=
отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае
нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:
1) силы инерции при ускоренном поступательном
движении системы отсчета;
2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся
во вращающейся системе отсчета;
3) силы инерции действующие на тело, движущееся
во вращающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.
1. Силы инерции
при ускоренном поступа-
T
a
0
α
m
F
u
F
α
P
тельном движении системы
отсчета. Пусть на тележке к
штативу на нити подвешен
шарик массой m. Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удержи-
вающая шарик, занимает
вертикальное положение и силы тяжестиP уравновешивается силой
реакции нити T.
Если тележку привести в поступательное движение с ускоре-
нием
ла α, пока результирующая сила
рика, равное
в сторону ускорения тележки
шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением
равна
, то нить начнет отклоняться от вертикали назад до такого уг-
a
0
не обеспечит ускорение ша-
. Таким образом, результирующая сила F направлена
a
0
и для установившегося движения
a
0
, откуда
ammgtgF ==
α
0
,
gatg /
=
α
0
a
0
то есть угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше
ускорение тележки.
Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно дви-
жущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой
F
u
)
,
33
которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик
const
ϖ
=
TPF+=
P
никакие другие силы не действуют. Таким образом,
.
amFu−=
0
Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается при повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием
силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону и
пассажир удаляется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны
при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках,
которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.
T
α
2. Силы инерции, действующие
на тело, покоящееся во вращающейся
системе отсчета. Пусть диск равномерно
F
ц
F
R
вращается с угловой скоростью ϖ (
) вокруг вертикальной оси, про-
ходящей через его центр. На диске, на
разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с
диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.
В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до
оси вращения). Следовательно, на него действует сила, равная
2
RmF
ϖ
= и направленная перпендикулярно оси вращения диска.
Она является равнодействующей силы тяжести P и силы натяжения
нити T:
==
. Когда движение шарика установится, то
2
RmmgtgF
ϖα
, откуда
2
,
gRtg /
ϖα
=
то есть углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем
больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска и чем
больше угловая скорость вращения ω.
Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся
диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешива-
34
ется равной и противоположно направленной ей силой
ϖ
ϖ
⊥==
F , которая
ц
является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие
другие силы не действуют. Сила
F , называемая центробежной си-
ц
лой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и
равна
2
RmF
ϖ
−=
ц
.
Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при
выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции
используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т.д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов
и т.д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
Из формулы вытекает, что центробежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ϖ
системы отсчета и радиуса R, но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная
сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от
того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих
пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.
3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во
вращающейся системе отсчета.
В
постоянной скоростью v’ вдоль радиуса
О
w
А
равномерно вращающегося диска (
Пусть шарик массой m движется с
). Если диск не
',,' vconstconstv
вращается, то шарик направленный вдоль
радиуса движется по радиальной прямой и
попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его
скорость v’ относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная
скорости v’.
35
Для того чтобы заставить шарик
[
]
[
]
w
F
w
F
сительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется рав-
номерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F
катиться по вращающемуся диску вдоль
k
радиуса, используем жестко укрепленный
вдоль радиуса диска стержень, на кото-
v'
ром шарик движется без трения равномерно и прямолинейно со скоростью v’.
При отклонении шарика стержень дейст-
вует на него с некоторой силой F. Отно-
уравновешивается приложенной к шарику силой инерции
пендикулярной скорости v’. Эта сила называется кориолисовой си-
лой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса
.
ϖ
'2 vmFk=
Гюстав Гаспар Кориолис (1792-1843) – французский ученый в
области механики.
Вектор
w
v'
F
k
w
F
k
v'
0
если тело движется в северном полушарии на север, то действующая
на него сила Кориолиса, как это следует из выражения
будет направлена вправо по отношению к направлению движения, то
есть тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг,
то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, то есть тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изна-
векторам скорости 'v тела и угловой
скорости вращения ϖ системы отсчета
в соответствии с правилом правого
винта.
Сила Кориолиса действует
только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета,
например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд
наблюдаемых на Земле явлений. Так,
перпендикулярен
F
k
F , пер-
k
ϖ
'2 vmFk=
,
36
шиваются быстрее, чем левые и т. д. Аналогично можно сказать, что в
ϖ
ur
ц k
ma F F F
= + +
r ur uur uur
южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.
Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли
тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно
составлять 1 см при падении с высоты 100 м). Опыты по отклонению
к востоку свободно падающих тел в принципе могли бы служить экспериментальным доказательством неинерциальности земной системы
отсчета. Однако постановка таких опытов затруднительна, а их точность невелика. Для этой цели более подходящим является маятник
Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно
длинной нити и совершающий малые колебания около положения
равновесия. Реальный опыт впервые был произведен Фуко в Парижской обсерватории в 1850 году и повторен в 1851 году в Пантеоне.
Маятник имел длину 67 м и состоял из металлического шара массой
28 кг. Маятник отклонили из положения равновесия, а затем предоставили его самому себе. Если бы Земля была инерциальной системой
отсчета, то на маятник действовали бы только «настоящие» силы: сила тяжести и сила натяжения нити (силами трения и сопротивления
воздуха пренебрегаем). Обе эти силы лежат в вертикальной плоскости. Поэтому если маятнику не был сообщен толчок в боковом направлении, то он все время колебался бы в одной и той же вертикальной плоскости, неподвижной относительно Земли. Опыты показали,
что это не так: плоскость качаний маятника в земной системе отсчета
медленно поворачивалась вокруг вертикали рассматриваемого места и
притом в том же направлении, в каком совершают суточное вращение
Солнце и звёзды на небесной сфере. Это доказывает, что земная система отсчета не является инерциальной.
Чтобы объяснить вращение плоскости качаний маятника,
предположим, что Земля равномерно вращается относительно неиз-
вестной нам инерциальной системы отсчета с угловой скоростью
В земной системе отсчета к «настоящим» силам, действующим на маятник, добавятся еще силы инерции: центробежная и кориолисова.
Движение маятника будет описываться уравнением:
Кориолисова сила перпендикулярна плоскости качаний маятника.
Именно она и вызывает вращение этой плоскости.
.
.
37
Раскрывая содержание
[
]
чим основной закон динамики для неинерциальных систем отсче-
та:
где силы инерции задаются формулами
.
ϖ
'2 vmFk=
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так
как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует
противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не
выполняются.
Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе
отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет
замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета таких сил
не существует.
Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил
инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.
При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном
лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем
в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный
внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в
основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил
инерции (принцип эквивалентности Эйнштейна): ускоренное дви-
в формуле
F
.ин
, полу-
FFam +=
.'ин
,
FFFFam +++=
kцu
,
amFu−=
ц
0
2
,
RmF
ϖ
−=
38
жение системы отсчета эквивалентно (по своему действию на тела)
1 1 1 1
2 2 2 2
n n n n
m v F F
m v F F
m v F F
dt
= +
……………………
= +
uur
ur uur
uur uur
uur uur
возникновению соответствующих сил тяготения. Данный принцип
положен в основу общей теории относительности.
Законы сохранения в механике
Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы
взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные
точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то согласно третьему закону
Ньютона, силы, действующие между этими телами будут равны и
противоположно направлены, то есть геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
Закон сохранения импульса
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса
и скорость которых соответственно равны m1, m2, …, mn и
Пусть
1
на каждое из этих тел, а
''2'
- равнодействующие внутренних сил, действующих
,...,
FFF
n
- равнодействующие внешних сил.
FFF ,...,,
n
21
.
vvv ,...,,
n
21
Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической
системы:
d
( )
dt
d
( )
dt
'
= +
uur
'
,
39
d
( )
uur
'
Складывая почленно эти уравнения, получаем
n n
d
F F F F F F
= + + + + + + +
ur uur uur
uur uur uur
(
)
dt
dt
m v m v m v
+ + + =
( )
1 1 2 2
dt
uur uur uur
' ' '
1 2 1 2
...
n n
... ...
.
Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то
d
+++=+++ ......
212211
FFFvmvmvm
, или
nnn
где
pd
21
n
=
∑
=
i
- импульс системы. Таким образом, производ-
vmp
ii
1
,
FFF
+++= ...
n
ная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую
систему)
dt
∑
=ni
dt
d
vm
ii
, то есть
01==
pd
∑
i
n
.
constvmp
==
ii
=1
Последнее выражение и является законом сохранения импульса:. импульс замкнутой системы сохраняется, то есть не из-
меняется с течением времени.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем
микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот
закон носит универсальный характер, то есть закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы, не знающий никаких ис-
ключений.
Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические
свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы
отсчета.
Отметим, что импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]