Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Конспекты лекций
.pdf
Таким образом, интенсивность волны пропорциональна плот-
dW
dW
Ф W
S S t
∆ ∆ ∆
S
∆
S
∆
t
∆
W
∆
S
∆
v t
∆
S
∆
t
∆
W
∆
Sv t
∆ ∆
W Sv t
ω
∆ = ∆ ∆
I v
ω
ности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.
Среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна
переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной
через некоторую поверхность в единицу времени, называется пото-
ком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность
переносится за время dt энергия
, то поток энергии Ф равен
Фdt=
Поток энергии – скалярная величина, размерность которой
равна размерности энергии, деленной на размерность времени, то есть
совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим поток
энергии измеряется в ваттах, эргах в секунду и т.п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной
интенсивности. Таким образом, плотность потока энергии можно рассчитать и следующим образом:
.
∆ ∆
I
= =
где
странения волны.
Через площадку
, заключенная в объеме цилиндра с основанием
(v - фазовая скорость волны). Предположим, размеры цилиндра
достаточно малы (за счет малости
ность энергии во всех т очках цилиндра можно было считать одинаковой, то
объём цилиндра, равный
Тогда плотность потока энергии равна
- площадка, перпендикулярная к направлению распро-
будет перенесена за время
и
можно найти как произведение плотности энергии ω на
:
Ф
∆ ∆ ∆ ∆
W Sv t
= = = =
S S t S t
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
,
энергия
и высотой
) для того, чтобы плот-
.
ω
.
111
Если ввести вектор
v
r
I v
ω
r r
сти волны, а направление совпадает с направлением распространения
волны (и переноса энергии), можно записать
Заметим, что когда говорят об интенсивности волны в данной
точке, имеют в виду среднее по времени значение плотности потока
энергии, переносимой волной.
Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то есть ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип
суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной
среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто
другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений,
которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Его иллюстрацией может служить распространение
водяных волн, вызванных двумя брошенными на поверхность воды
камнями.
В местах встречи волн колебания среды, вызванные каждой из
волн, складываются друг с другом (можно сказать: волны складываются). Результат сложения (результирующая волна) зависит от соотношения фаз, периодов и амплитуд встречающихся волн. Большой
практический интерес представляет случай сложения двух (или нескольких) волн, имеющих постоянную разность фаз и одинаковые
частоты. Такие волны и создающие их источники колебаний называются когерентными. Сложение когерентных волн называется интер-
ференцией, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга.
Интерференция волн. Стоячие волны
Рассмотрим интерференцию двух волн одинаковой амплитуды, исходящих из когерентных источников S’ и S’’ и встречающихся в
точке.
, модуль которого равен фазовой скоро-
=
.
Принцип суперпозиции
112
( , ) cos ( / )
x t A t x v
ξ ϖ
= −
cos( 2 / )
ξ ϖ π λ
cos( 2 / )
ξ ϖ π λ
2 ( ) /
π λ
2 ( ) / 2
х х n
π λ π
2 ( ) / (2 1)
π λ π
2 / 2
(2 1) / 2
1 2
х х
−
Согласно уравнению волны
, смещения, вызванные в точке
первой и второй волнами, равны соответственно:
A t x
= −
1 1
Тогда результат сложения определится разностью фаз
и
.
A t x
= −
2 2
Θ = −
усилят друг друга и результирующая амплитуда будет равна 2А. Если
же
имно погасятся и результирующая амплитуда в этом случае равна нулю.
венно так:
волн составляет четное число полуволн (целое число волн); если раз-
113
х х
1 2
то в точке наблюдается максимум: колебания максимально
где n=0, 1, 2, 3, …, то в точке будет минимум: колебания вза-
Условия максимума и минимума можно записать соответст-
где
Следовательно, в точке будет максимум, если разность хода
. Если
− =
1 2
х х n
− = +
1 2
х х n n
− = =
1 2
х х n
− = +
1 2
- разность хода волн, или разность хода лучей.
λ λ
λ
,
,
,
ность хода составляет нечетное число полуволн, то в точке будет ми-
cos( 2 / )
ξ ϖ π λ
cos( 2 / )
ξ ϖ π λ
2 cos(2 / ) cos
A x t
ξ ξ ξ π λ ϖ
2 cos(2 / )
π λ
cos(2 / ) 0
π λ
=
2 / (2 1) / 2
π π π
= +
(2 1) / 4
λ
= +
нимум.
Так как волны распространяются от источников S’ и S’’ по
всем направлениям, то в пространстве окажется множество точек,
удовлетворяющих как условию минимума, так и условию максимума.
Поэтому интерференционная картина представит собой чередование
областей усиления колебаний (максимумов) и областей, где колебания
отсутствуют (минимумов).
Другим важным случаем интерференции волн является сложение двух когерентных волн, движущихся навстречу друг другу вдоль
одной прямой. Если уравнение первой волны записать в виде
A t x
= −
1
то уравнение второй волны имеет вид
A t x
= +
2
(знак плюс указывает на движение этой волны в отрицательном на-
правлении вдоль оси). Тогда уравнение результирующей волны представится в виде
,
= + =
1 2
Данное уравнение показывает, что в точках среды совершают-
ся колебания с частотой ω и амплитудой
щей от координаты х этих точек.
Причем во всех точках, для которых х удовлетворяет условию
Амплитуда колебаний равна нулю,
Отсюда следует, что
То есть в точках с координатой х = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, …. Колебания всегда отсутствуют. Эти точки называются узлами волны. Точки
расположенные в середине между узлами, колеблются с наибольшей
амплитудой, равной 2А. Эти точки называются пучностями волны.
Результат наложения двух встречных волн с одинаковыми амплитудами и периодами называется стоячей волной (узлы, а следователь-
114
A x
x
х n
x n
.
, завися-
, или
,
,
но, и пучности все время находятся на одном месте). Расстояние между соседними узлами или пучностями равно половине длины волн,
образующих стоячую волну. Пучности и узлы сдвинуты относительно
друг друга на четверть длины волны. Точки, расположенные справа и
слева от каждого узла, колеблются в противоположных фазах. Все
точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются
синфазно, то есть в одинаковой фазе.
Будучи неподвижной, стоячая волна не переносит энергии
(происходит как бы компенсация переносов энергии двух бегущих в
противоположных направлениях волн). Узловые точки не совершают
движений, поэтому через узлы не происходит переноса энергии; энергия вдоль стоячей волны не распространяется и только точки, находящиеся между соседними узлами, обмениваются энергией. В моменты перехода всеми точками положения равновесия энергия стоячей
волны является кинетической, а в моменты максимального отклонения – потенциальной. Дважды за период происходит превращение
энергии стоячей волны из кинетической в потенциальную и обратно.
Стоячие волны обычно возникают в ограниченной среде при
интерференции бегущей волны и ее отражения от границы среды. Таковы например, волны натянутой струны, воздушного столба в трубе
ограниченной длины, водяные пары вблизи вертикальных преград
(плотин). Если отражение происходит от среды более плотной, чем та,
в которой распространяется волна, то в месте отражения волна изменяет фазу на противоположную и на границе отражения образуется
узел. Поскольку такое изменение фазы равносильно перемещению
волнового распределения на полволны, принято говорить, что при отражении происходит потеря половины волны. При отражении волны
от менее плотной среды фаза не изменяется, потери волны не происходит, а в месте отражения волны образуется пучность.
Фронт волны. Принцип Гюйгенса-Френеля
До сих пор мы рассматривали движение
R
S
волн, происходящее только в некотором определенном направлении (вдоль одной линии). Это имеет место, например, в стержнях, воздушных столбах,
волноводах и т. п. Вообще же от источника колебаний, находящегося в сплошной среде, волны рас-
пространяются во всех направлениях. Поверхность, до которой одно-
115
временно доходят волны от данного источника колебаний, называется
R vt
=
y v t
∆ = ∆
2
фронтом волны. Форма волнового фронта зависит от формы источника колебаний и свойств среды. При точечном источнике колебаний S
волновой фронт в однородной среде имеет форму сферы; лучи, являющиеся радиусами R этой сферы, перпендикулярны волновому
фронту. Очевидно, что
,
где v – скорость волны; t – время ее распространения.
Волны образующие сферический фронт называются сфериче-
скими. Сферический волновой фронт является (в изотропной среде)
вместе с тем фазовой, или волновой, поверхностью, то есть поверхностью, все точки которой колеблются в одинаковой фазе.
Если фронт волны представляет собой плоскость, то плоскость
называется плоской. В этом случае лучи параллельны между собой.
Небольшой участок сферического волнового
фронта находящегося на достаточном удалении от
источника колебаний, можно практически считать
плоским (пренебрегая кривизной фронта).
В неоднородной среде, где скорость волны
неодинакова в различных направлениях, волновой фронт может иметь
весьма сложную форму.
1
∆∆∆∆
через промежуток времени ∆t. Согласно Гюйгенсу каждая точка
среды, до которой дошла волна становится источником вторичных волн (первое положение принципа Гюйгенса).
Это значит, что от нее как из центра, начинает распространяться новая сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны,
вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом
где v – скорость волны.
нии волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, за-
y
данному для начального момента времени. Это
можно сделать с помощью метода, называемого
принципом Гюйгенса, сущность которого состоит в
следующем.
однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1. Требуется найти его положение
Часто при решении задач о распростране-
Пусть волновой фронт, перемещающийся в
,
116
Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях,
n
кроме направлений исходного фронта (Второе положение принци-
па Гюйгенса).
Иными словами, колебания сохраняются только на внешней
огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим ис-
комое положение 2 волнового фронта.
Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом
случае значения v, следовательно, и ∆у
неодинаковы в различных направлениях.
Рассмотрим в качестве примера
a
a
использования принципа Гюйгенса случай падения плоской волны на преграду
с отверстием, размеры которого больше
длины волны . Когда волновой фронт дойдет до преграды аа, каждая
точка отверстия станет источником вторичных волн. Построив эти
волны и проведя их огибающую, получим фронт волны, прошедший
через отверстие. Он будет плоским только в своей средней части; у
границ отверстия происходит загибание волнового фронта (а следовательно, и лучей) за преграду. Это явление называется дифракцией
волн.
F
αααα
∆∆∆∆
S
i
S
i
r
i
ции волн, даваемое принципом
Гюйгенса, является неполным, так
как он ничего не говорит об амплитудах волн, распространяющихся в
P
различных направлениях, и, следо-
Однако объяснение дифрак-
вательно, оставляет открытым вопрос о распределении интенсивности вдоль волнового фронта. Отме-
ченный недостаток принципа Гюйгенса устранил в 1815 г. французский физик Огюстен Жан Френель,
дополнив этот принцип положением об интерференции вторичных
волн. Согласно Френелю волну, приходящую в любую точку Р от
первичного источника S, можно рассматривать как результат
интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от
множества элементарных вторичный источников ∆Si, некоторого
волнового фронта F (принцип Френеля).
117
Тогда интенсивность волны в точке P определится путем суммирования всех вторичных волн ( с учетом размера ∆Si вторичных источников, их расстояния ri до Р и угла αi между направлениями ri и
нормали n к ∆Si).
Принцип Гюйгенса с дополнением Френеля получил название
принципа Гюйгенса-Френеля и оказался весьма плодотворным для решения многих вопросов о распространении волн.
Звук
Если упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют
частоту в пределах от 16 до 20 000 Гц, то, достигнув человеческого
уха, они вызывают ощущение звука. В соответствии с этим упругие
волны в любой среде, имеющие частоту, заключенную в указанных
пределах, называют звуковыми волнами или просто звуком. Упругие волны с частотами меньше 16 Гц, называют инфразвуком; волны
с частотами превышающими 20 000 Гц, называют ультразвуком. Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не воспринимает.
Воспринимаемые звуки люди различают по высоте, тембру и
громкости. Каждой из этих субъективных оценок соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны.
Всякий реальный звук представляет собой не простое гармоническое колебание, а является наложением гармонических колебаний
с определенным набором частот. Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром. Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором интервале, то спектр называется сплошным. Если звук состоит из колебаний
дискретных частот, то спектр называется линейчатым. Сплошным
акустическим спектром обладают шумы. Колебания с линейчатым
спектром вызывают ощущение звука с более или менее определенной
высотой. Такой звук называется тональным.
Высота тонального звука определяется основной (наименьшей) частотой. Относительная интенсивность обертонов определяет
окраску, или тембр, звука. Различный спектральный состав звуков,
возбуждаемых различными музыкальными инструментами, позволяет
отличить на слух, например, флейту от скрипки или рояля. Под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности
потока энергии, которую несет с собой звуковая волна. Для того, чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой
118
минимальной интенсивностью, которая называется порогом слыши-
0
I
0
lg
I
0
I
0
=
мости. Порог слышимости несколько различен для разных лиц и
сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1000 до 4000 Гц. В этой области частот порог
слышимости составляет в среднем около 10
-12
Вт/м2. При других час-
тотах порог слышимости лежит выше.
При интенсивностях порядка 1-10 Вт/м2 волна перестает восприниматься как звук, в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом
болевого ощущения. Порог болевого ощущения, так же как и порог
слышимости, зависит от частоты.
Субъективно оцениваемая громкость звука возрастает гораздо
медленнее, чем интенсивность звуковых волн. При возрастании интенсивности в геометрической прогрессии громкость возрастает приблизительно в арифметической прогрессии, то есть линейно. Уровень
громкости L определяется как логарифм отношения интенсивности
данного звука I к интенсивности
Исходная интенсивность
, принятой за исходную
LI=
.
принимается равной 10
-12
Вт/м2,
так что порог слышимости при частоте порядка 103Гц лежит на нулевом уровне (
L
) вызывая диапазоне. Единица уровня громкости
называется белом (Б) (в честь Александра Грейама Белла – одного из
изобретателей телефона). Обычно пользуются в 10 раз меньшими
единицами - децибелами (дБ).
Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в
человеческом ухе звуковое ощущение, соответствует значениям уровня громкости от 0 до 130 дБ.
Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала.
Если, например, предположить, что стакан с водой полностью поглощает всю падающую на него энергию звуковой волны с уровнем
громкости 70 дБ (в этом случае количество поглощаемой в одну секунду энергии будет примерно составлять 2·10-7 Вт), то для того, чтобы нагреть воду от комнатной температуры до кипения, потребуется
время порядка десяти тысяч лет. Ультразвуковые волны могут быть
получены в виде направленных пучков, подобных пучкам света. На-
119
правленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение для
целей локации (обнаружения предметов и определения расстояния до
них) в воде. Впервые идея ультразвуковой локации была высказана П.
Ланжевеном и разработана им во время первой мировой войны для
обнаружения подводных лодок. В настоящее время ультразвуковые
локаторы используются для обнаружения айсбергов, косяков рыб, для
измерения глубины и снятия рельефа морского дна.
Метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полете в темноте. Летучая мышь периодически испускает импульсы ультразвуковой частоты и по воспринимаемым с помощью органа слуха отраженным сигналам с большой
точностью судит о расстояниях до окружающих её предметов.
Эффект Доплера для звуковых волн
Пусть в газе или жидкости на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником. Если источник и приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет
равна частоте n0 колебаний источника. Если же источник или приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота n, воспринимаемая приемником, может оказаться отличной от n0. Это явление
называется эффектом Доплера. (Кристиан Доплер (1803-1853) – австрийский физик и астроном.)
Предположим, что источник и приемник движутся вдоль соединяющей прямой. Скорость источника v
будем считать положи-
ист.
тельной, если источник движется по направлению к приемнику, и отрицательной, если источник движется в направлении от приемника.
Аналогично скорость приемника v
будем считать положительной,
пр.
если приемник движется по направлению к источнику, и отрицательной, если приемник движется в направлении от источника.
Если источник неподвижен и колеблется с частотой n0, то к
моменту, когда источник будет завершать n0-е колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь
v (v-
скорость распространения волны относительно среды). Следовательно, порождаемые источником за секунду n0 «гребней» и «впадин»
волны уложатся на длине v. Если же источник движется относительно
среды со скоростью v
, то в момент, когда источник будет завершать
ист.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]