Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория связи задачи и задания. Учебное пособие
.pdf
Представление сигнала в базисе функций Уолша
j
X
j
x
Функции Уолша обычно определяются на интервале [0;1] нормированного времени
Wal n p Wal n Wal n
рекуррентными формулами
np
2, ,2(1) ,21;
1, [0; 1] ;
⎧
Wal
(0, )
⎪
⎨
1, [0; 1] .
⎪
⎩
Для представления сигналов, заданных на интервале [0; ]T реаль-
ного времени ,t необходима замена
Разложение сигнала с
/.tT
конечной энергией, заданного на интервале [0; ],T имеет вид
Коэффициент
xt CWal k
() ,
∑
k
0
k
C разложения в ряд определяется как скалярное
k
t
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
T
произведение сигнала на k-ю функцию Уолша, нормированное к длине
интервала:
11
⎛⎞
(), , () , ,
C x t Wal k x t Wal k dt
k
⎜⎟
TTTT
⎝⎠
Спектральный анализ сигналов
tt
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
T
∫
0
0, .k
Спектральная плотность сигнала ()xt определяется выражением
() () ,
fxtedt
∫
2
ft
(1)
известным как (прямое) преобразование Фурье, а формула интегрального представления сигнала
() ( )
tXfedf
∫
2
ft
называется обратным преобразованием Фурье [1].
61
Для краткости будем использовать обозначение () ( )
x
x
j
f
x
x
tXf для
функций, связанных парой преобразований Фурье. Для большинства
реальных сигналов непосредственное применение преобразования
Фурье требует трудоёмкого интегрирования. Для упрощения вычислений целесообразно использовать свойства преобразований Фурье:
линейность
() ( );
∑∑
kk
теорему сдвига
() () ;
xt t X f e
теорему изменения масштаба
теорему дифференцирования
tXf
kk k k
0
xm t X
() ;
()
dx t
1
⎛⎞
⎜⎟
mm
⎝⎠
2().
jfXf
2
ft
0
dt
Повторение финитного (импульсного) сигнала ()
t с периодом T
дает периодический сигнал
txtnT
() ( )
∑
n
,
который может быть представлен рядом Фурье со спектральными коэффициентами
2
T
/2
1
Cxtedt
k
T
() .
∫
T
/2
jkt
T
(2)
Сравнивая выражения (1) и (2) и учитывая, что интеграл от финитной функции равен интегралу по интервалу, содержащему носитель
функции, можно записать равенство
1
k
⎛⎞
CX
k
TT
62
.
⎜⎟
⎝⎠
Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала име-
x
x
B
x
B
x
f
x
E
ет (с точностью до коэффициента) форму огибающей спектральных
коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением данного сигнала с периодом, большим его длительности.
Корреляционный анализ детерминированных сигналов
Автокорреляционная функция (АКФ) ( )
количественную меру сходства сигнала ()
B представляет собой
t и его задержанной копии
()xt в зависимости от величины сдвига :
() ()( ) .
x
xtxt dt
∫
(3)
Свойства АКФ:
()
B достигает при 0 максимума, равного энергии сигнала:
1)
x
(0) max ( ) ;
2)
()
B обладает свойством сопряжённой (эрмитовой) симметрии:
() () ( ) ( ) ()
Bxtxtdtxxd
x
∫∫
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
**
() ( ) ( ).
xx d B
∫
BE
**
xx
*
x
В частности, для вещественного сигнала АКФ – чётная функция.
Эффективная ширина спектра
При определении эффективной ширины спектра обычно используют
энергетический критерий. При таком подходе в качестве эффективной
ширины спектра
лах которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала
рассматривается ширина полосы частот, в преде-
эф
:
63
x
X
f
эф
∫∫
f
эф
22
() () ,
fdfk XfdfkE
где величину k выбирают равной 0,9 или 0,95.
Практическая часть
Исходные данные для РГЗ
Сигнал ()st определяется восьмизначным равномерным кодом согласно варианту и подварианту (табл. 1), где символ «0» соответствует
нулевой посылке (паузе), а символ «1» – прямоугольному видеоимпульсу напряжения с пиковым значением 10 В и длительностью 0,1 мкс.
Таблица 1
Вариант
1 00000101 10001110 00011101 10011101 00010110
2 00000110 00001001 00011110 01000010 10011110
3 10001101 00001010 00001101 10011010 00010101
4 01111010 10001010 00001110 10011001 01110101
5 10010001 10001001 00010001 01001001 00010010
6 01111101 00101001 10010110 00101010 11011101
7 10010010 10000110 10010101 10111010 01110010
8 00100101 00100110 00100010 01000110 10111101
9 10000101 11101001 00100001 01001010 01110001
0 01111110 10111001 11110101 01000101 11100101
Вариант
1 00011010 00011001 00110110 01111001 00110101
2 01000001 10100001 00111110 01100010 01011001
3 01101110 10100101 10100110 01110110 01010110
4 11000010 00101110 00110001 11001001 00110010
5 01101101 01010001 01010010 01100101 01010101
6 10101010 00101101 00111101 10110101 01011110
7 01101010 10100010 11010110 01100001 10110110
8 10111110 01001110 00111010 10110010 01011101
9 10101001 01001101 10101110 01100110 11010001
0 11101101 10101101 00111001 01101001 01011010
1 2 3 4 5
6 7 8 9 0
Подвариант
Подвариант
64
Параметры фильтра с прямоугольной амплитудно-частотной ха-
f
s
рактеристикой (АЧХ) и линейной фазочастотной-характеристикой
(ФЧХ) – частота среза
фильтра и крутизна S его ФЧХ – приведены
ср
в табл. 2.
Таблица 2
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
f
, МГц
ср
Подвариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
S, рад/МГц 0,9 –0,8 0,7 –0,6 0,5 –0,55 0,65 –0,75 0,85 –0,95
20 22 19 24 23 25 26 27 28 30
Параметры RC-фильтра нижних частот – сопротивление R и ёмкость C – указаны в табл. 3.
Таблица 3
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
R, кОм
0,20 0,22 0,24 0,27 0,30 0,33 0,36 0,39 0,43 0,47
Подвариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
C, пФ 910 820 750 680 620 560 510 470 430 390
Задание
Для заданного варианта сигнала выполнить следующее:
записать математическую модель сигнала в виде линейной ком-
бинации сдвинутых функций Хэвисайда, построить временной график;
найти спектр сигнала относительно базиса Уолша (первые восемь
коэффициентов), построить спектральную диаграмму;
вывести выражение спектральной плотности прямоугольного ви-
деоимпульса длительностью 1 с и амплитудой 1 В относительно ядра
Фурье;
пользуясь свойствами преобразования Фурье, найти спектраль-
ную плотность заданного варианта сигнала ()
t относительно ядра
Фурье, построить графики её модуля и аргумента;
найти спектр периодической последовательности, полученной
повторением заданного сигнала с периодом, равным его длительности,
65
относительно комплексного базиса Фурье; построить амплитудную
s
s
и фазовую спектральные диаграммы;
найти автокорреляционную функцию сигнала (),
t построить её
график;
определить эффективную ширину спектра как полосу частот, со-
держащую 95 % энергии сигнала;
найти сигнал, который получается из заданного при воздействии
фильтра с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ (параметры фильтра
заданы в табл. 3); построить временной график полученного сигнала
(для выполнения этого пункта рекомендуется использовать математические пакеты MathCad, MATLAB, Maple и т. п.);
найти сигнал, который получается при воздействии RC‐фильтра
нижних частот (параметры фильтра заданы в табл. 3) на сигнал ();
построить временной график полученного сигнала.
t
2. Линейные инвариантные к сдвигу цепи
Теоретическая часть
Фильтрация сигналов
Фильтрация сигналов представляет собой избирательное воздействие на различные спектральные (частотные) составляющие колебания, поступающего на вход фильтра. В большинстве случаев под этим
понимается частичное или полное подавление нежелательных составляющих в спектре колебания. В идеальном случае, если в полосе частот, занимаемой сигналом, АЧХ фильтра постоянна и равна единице и
ФЧХ строго линейна, то сигнал, прошедший через фильтр, не меняет
формы, а лишь сдвигается по временной оси.
Воздействие фильтра с прямоугольной АЧХ и частотой среза
меньшей, чем полоса, занимаемая сигналом, приводит к усечению
спектра сигнала и искажению его формы. Воздействие фильтра с линейной ФЧХ проявляется в приобретении различными гармониками
сигнала одинакового временного запаздывания.
Частотный метод анализа ЛИС-цепей
В частотной области ЛИС-цепь описывается комплексной частотной характеристикой (КЧХ), которая определяется как отношение
66
комплексной амплитуды
j
f
j
выходе цепи к комплексной амплитуде
U
гармонического сигнала частоты f на
out
U
гармонического входного
in
сигнала (той же частоты):
U
()
Hf
out
.
U
in
КЧХ, как любую комплексную функцию, можно выразить в показательной форме через модуль и аргумент:
()
() () ,
Hf Hf e
f
где
()Hf – амплитудно-частотная характеристика, показывающая
зависимость от частоты коэффициента усиления/ослабления цепи по
напряжению, а ()
– фазочастотная характеристика, определяющая
зависимость от частоты величины фазового сдвига, который приобретает гармоническое колебание при прохождении через цепь.
Спектральная плотность сигнала ()
Yf на выходе линейной стаци-
онарной цепи может быть найдена как произведение спектральной
плотности входного сигнала и комплексной частотной характеристики
этой цепи:
() () ()
Yf HfXf .
Наряду с комплексной частотной характеристикой для описания
ЛИС-цепей используется импульсная характеристика (),
ht которая
представляет собой отклик цепи на «бесконечно короткий импульс»
(-функцию). Импульсная характеристика и КЧХ связаны парой преобразований Фурье:
() ( ) ;
ht H f e df
∫
() () .
Hf hte dt
∫
2
jft
2
ft
Некоторые сигналы и их Фурье-образы представлены в справочных
материалах.
67
Еще одной характеристикой ЛИС-цепи во временной области явля-
g
g
X
p
ется переходная характеристика (),
клик цепи на воздействие в форме функции включения Хэвисайда ().
t которая представляет собой от-
t
Связь между импульсной и переходной характеристиками цепи
t
thtdt
() ()
∫
обусловлена аналогичной взаимосвязью -функции и функции Хэвисайда.
Операторный метод анализа ЛИС-цепей
Изображение по Лапласу сигнала ()
Yp на выходе линейной стаци-
онарной цепи может быть найдено как произведение изображения
()
p входного сигнала и передаточной функции ()Hpцепи:
Yp HpXp,
() () ()
где комплексное переменное 2.
jf
Передаточная функция (ПФ) связана с импульсной характеристикой парой преобразований Лапласа:
cj
ht H pe dp
Hp hte dt
∫
2
j
cj
() () .
∫
0
1
() ( ) ;
pt
pt
Передаточные функции ЛИС-цепей с сосредоточенными параметрами имеют дробно-рациональный вид:
m
...
bp bp bp b
()
Hp
m
n
...
ap ap ap a
n
2
210
2
210
. (4)
Этот факт можно использовать для нахождения импульсной характеристики без трудоёмкого интегрирования. Примем, что коэффициент
68
1
p
p
p
p
p
p
p
x
a (если это не так, то можно поделить все коэффициенты в выра-
n
жении ПФ на ),
().
mn Допустим также, что все корни знаменателя
a и степень числителя меньше степени знаменателя
n
,
, …,
1
2
простые (однократные). Тогда
n
CC
, , ...,
CC C – коэффициенты, которые можно найти, приравняв
где
12
( ) ... ,
Hp
n
12
ppp pp
12
правые части выражений (4) и (5). Каждому слагаемому /( )
C
n
(5)
n
Cpp
kk
в изображении соответствует оригинал экспоненциального вида
t
k
Ce поэтому импульсная характеристика (ИХ) будет следующей:
,
k
pt p t
( ) ...
ht Ce C e C e
12
12
t
n
.
n
Если степени полиномов в числителе и знаменателе ПФ равны
mn то разложение имеет вид
(),
CC
() ... ,
Hp C
0
12
ppp pp
12
C
n
n
а импульсная характеристика содержит слагаемое в виде -функции:
pt p t
( ) ( ) ... .
ht C t Ce Ce C e
01 2
Временной метод анализа ЛИС-цепи
Если известны входной сигнал ()
ht то выходной сигнал можно найти согласно выражению
цепи (),
() ()() ()(),yt x ht d xt h d
∫∫
12
t и импульсная характеристика
pt
n
n
известному под названием свёртки или интеграла Дюамеля. Справедливо выражение на основе переходной характеристики, которое также
называют интегралом Дюамеля:
() ()() ()(),yt x gt d x t g d
∫∫
69
где штрих означает производную по времени. При применении интеграла Дюамеля следует учитывать, что импульсная или переходная
характеристики обычно (но не всегда) равны нулю при отрицательных
временах (условие каузальности). Сигнал тоже может быть равен нулю
вне некоторого ограниченного интервала. С учётом этих обстоятельств
нужно выбирать соответствующие пределы интегрирования. В частности
, если цепь каузальна, то
t
() ()() ()().
yt x ht d xt h d
∫∫
0
При выполнении некоторых вариантов задания оказывается, что
переходная характеристика (каузальной) цепи претерпевает скачок при
0;
t в этом случае импульсная характеристика содержит -функцию
с весом
равным высоте этого скачка, (0).ag Так бывает, когда
,a
числитель и знаменатель передаточной функции имеют одинаковую
степень. В таком случае можно представить переходную характеристику суммой функции Хэвисайда с весом
ной функции:
() () ().gt a t g t Тогда импульсная характеристика
н
a и некоторой непрерыв-
имеет вид
() (),
где
нн
() ( ) () ( ) () ( ) ( .yt xt a h d a xt xt h d
() () (),ht a t h t
ht g t
и отклик цепи равен
∫∫
00
нн
н
Практическая часть
Исходные данные для РГЗ
ЛИС‐цепь определяется схемой согласно варианту (табл. 4), её параметры
R (кОм), C (пФ) и L (мГн) – согласно подварианту (табл. 5).
Предполагается, что выход цепи подключён к устройству с бесконечным входным сопротивлением.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]