Общая теория связи. Случайные процессы непрерывного времени сборник задач и упражнений. Практикум

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТПЕТРАВЕЛИКОГО

Е. А. Попов

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ:

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

Практикум

Санкт-Петербург

2018

ВВЕДЕНИЕ

Современная теория связи, а также многие радиотехнические направления в значительной степени опираются на вероятностные концепции. Это означает, что вероятностные не только характеристики, описывающие работу телекоммуникационных систем (вероятность безотказной работы, вероятность ошибочного прие­ ма, вероятность неудачного хэндовера и т. п.), но и критерии, на основании которых синтезируются оптимальные устройства обработки информации. Поэтому в соответствующих образовательных программах традиционно повышенное внимание уделяется изучению теории вероятностей и ее приложений. Фактически, наряду с базовым курсом, где изучаются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, предлагается ряд практически ориентированных дисциплин, в которых производится «перевод» теоретико-вероятностных понятий на язык приложений и выявляются аспекты, необходимые для решения прикладных задач.

Необходимо понимать, что в настоящее время имитационное моделирование (как часть фундаментального подхода к построению математических моделей), пожалуй, наиболее эффективное средство изучения физических, технических и социально-эконо- мических процессов, проверки работоспособности достаточно сложных устройств и систем, а также построения «тренажерных» механизмов с их возможным включением в реальный контур функционирования. При этом, в связи с бурным развитием средств вычислительной техники, непрерывно возрастают технические возможности моделирования: то, что еще десятилетие

4

назад казалось нереализуемым или неоправданно затратным, сейчас является обычной практикой и, возможно, даже предметом учебного занятия. Поэтому решение теоретических заданий, связанных с вычислением вероятностей тех или иных событий, будет гораздо более эффективным, если наряду с «красивым» математическим решением дополнительно провести имитационное моделирование каждого из заданий. Это, как минимум, позволит сравнить два результата.

Практикум содержит задания по следующим темам (разделам):

–классификация и характеристики случайных процессов;

–корреляционная функция и энергетический спектр;

–производная и интеграл от случайного процесса;

–линейные преобразования случайных процессов;

–эргодические процессы.

В каждой главе задачи представлены традиционным способом: от простых к сложным с постепенным увеличением уровня трудности. В начале каждого раздела дается необходимый минимум базовых теоретических понятий.

Ввиду рассмотрения большого числа вероятностных распределений и их свойств практикум в большой степени является справочником.

Данный практикум, конечно, неуникален; существует достаточно большое число «толстых» задачников, посвященных различным разделам теории вероятностей. В частности, можно отметить такие книги, как «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций» под редакцией А. А. Свешникова, «Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 1. Случайные величины и процессы» под редакцией В. В. Сизых, из которых заимствованы некоторые оригинальные задачи.

Практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» и «Радиотехника», а также для всех, кто совершенствует свои знания в области вероятностных явлений.

5

1. КЛАССИФИКАЦИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайный процесс ξ(t) – случайная величина, зависящая, как минимум, от одного вещественного параметра, который трактуется как физическое время. Из этого определения следует способ задания случайного процесса через многомерное распределение.

Пустьt1,…,tn –наборвременныхотсчетов(сечений),аξ1 = ξ(t1), …, ξn = ξ(tn) – значения процесса в этих отсчетах. Тогда n-мерная функция распределения

задает случайный процесс ξ(t), если выполняются условия симметричности ( wx(n)(x;t) не должна изменяться при любой парной

перестановке аргументов x1, …, xn и t1, …, tn) и согласованности: при m < n

∞∞

∫ ∫ wx(n)(x1, ,xm ,xm+1, , xn ;t1, ,tm ,tm+1, ,tn )dxm+1 dxn =

Аналогично вместо плотности вероятности случайный процесс можно задать при помощи многомерной характеристической функции ϕx (v1, ,vn ;t1, ,tn ),связаннойс wx(n)(x1, , xn ;t1, ,tn )

парой многомерных преобразований Фурье:

ϕx (v1, ,vn ;t1, ,tn )=

∞∞

=∫ ∫ wx(n)(x1, , xn ;t1, ,tn )exp( jv1x1 + + jvn xn )dx1 dxn ;(1.3)

−∞ −∞

6

Многомерные распределения являются наиболее полными характеристиками случайных процессов. Однако зачастую для решенияпрактическихзадачдостаточнорассмотретьболеепростые характеристики, в частности, моментные функции.

Начальная моментная функция k-го порядка, где k = k1 +…+ kn, представляет собой математическое ожидание произведения отсчетных значений процесса, взятых в соответствующих степенях:

В частности, одномерная начальная функция первого порядка – это математическое ожидание процесса:

Центральная моментная функция k-го порядка, где k = k 1 + …

... + kn, представляет собой математическое ожидание произведения центрированных отсчетных значений процесса, взятых в соответствующих степенях:

µk1 kn (t1, ,tn ) ≡ E (x1 − m1 (t1 ))k1 (xn − m1 (tn ))kn =

=∞∫ ∞∫ (x1 −m1(t1))k1 (xn −m1(tn ))kn wx(n)(x1, , xn ;t1, ,tn )dx1 dxn. (1.6)

−∞ −∞

Вчастности, одномерная центральная моментная функция вто-

рого порядка – это дисперсия процесса:

7

Широкий и наиболее интересный класс составляют (строго) стационарные процессы, для которых любые многомерные распределения не зависят от произвольного временного сдвига τ:

wx(n)(x1, , xn ;t1 + t, ,tn + t) = wx(n)(x1, , xn ;t1, ,tn ). (1.8)

На практике условие (слабой) стационарности предъявляют только для n ≤ 2, поэтому если особо не оговорено, то понятие стационарности трактуется как слабая стационарность.

1.1.Что собой представляет условие согласованности для n-мерной характеристической функции?

1.2.Пусть x(t) и η(t) – стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве.

Являетсялистационарнымсуммарныйпроцессζ(t) =x(t) + η(t)? Изменится ли ситуация, если x(t) и η(t) независимы?

1.3.Представить вероятностную схему, порождающую случай-

ный процесс ξ(t), имеющий реализацию x(t) = r(ω)sin[2πt + ϕ(ω)], где ω – элементарные события.

1.4.Классифицировать по признаку стационарности случайный процесс вида η(t) = x(t) + β, где x(t) – стационарный процесс;

β– случайная величина.

1.5.Процесс ξ(t) задается посредством соотношения:

а) x(t) =αexp(−t) , t ≥ 0, где α подчиняется гауссовскому рас-

пределению N(a, σ2);

б) x(t) = exp(−βt), t ≥ 0, где β подчиняется экспоненциальному

распределению Exp(λ);

в) x(t) = γt + δ , где γ и δ независимы; γ распределена равномер-

но на интервале [A; B]; δ подчиняется гауссовскому распределе-

нию N(a, σ2);

г) x(t) =αcosωt +βsinωt, где ω – детерминированная констан-

та; α и β – некоррелированные случайные величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией σ2.

8

Найтиматематическоеожидание,дисперсию,корреляционную функцию, коэффициент корреляции. Изобразить семейство реализаций процесса.

1.6.Найтизаконраспределенияпроцессаξ(t) = αt + b,гдеαподчиняется гауссовскому распределению N(a, σ2).

1.7.Найти одномерную плотность распределения процесса x(t) = αt + β, где α и β – независимые случайные величины с плотностями распределения wα(a) и wβ(b) соответственно.

1.8.Процесс h(t) является суммой детерминированного сигна-

ла s(t) = S0exp(–t), t ≥ 0 и случайного процесса ξ(t) со следующими характеристиками: E[ξ(t)] = a; D[ξ(t)] = σ2.

Выполнить классификацию η(t ) по признаку стационар­ ности­ .

1.9.Процесс x(t) имеет реализации вида ξ(t) = A0cos(ω0t + ϕ), где ϕ – случайная начальная фаза, не зависящая от времени и име-

ющая плотность вероятности w(ϕ); А0 и ω0 – детерминированные константы.

Найтиматематическоеожиданиеидисперсию.Выяснитьусловия, при которых ξ(t) строго стационарен.

Пусть начальная фаза равновероятно принимает значения kπ/2, k = 1, …, 4.

Является ли ξ(t) стационарным?

1.10.Процесс x(t) задан в виде ξ(t) = a + βt, где a – детерминированнаяконстанта;β –гауссовскаяслучайнаявеличинасматема-

тическим ожиданием mβ и дисперсией Dβ.

Найти плотность вероятности wx(x) случайного процесса ξ(t), его математическое ожидание и дисперсию.

1.11.Рассматривается случайное гармоническое колебание

вида x(t) =αcos(ω0t + ϕ), где ω0 – детерминированный параметр (круговая частота); α, φ – независимые случайные величины, причем α имеет ненулевое среднее.

Прикакомраспределенииφпроцессξ(t )будетслабостацио­ нарным? Чему равны его математическое ожидание и дис - персия?

9

1.12. Случайный процесс h(t) образован умножением центрированного гауссовского процесса x(t) с дисперсией σ2 на детерминированную константу A.

Найти плотности вероятности wη(y) и wxh(2)(x,y).

1.13.Процесс h(t) представляет собой сумму стационарного гауссовского случайного процесса x(t) и детерминированного сигнала s(t) = (–1)[t], где [x] – целая часть x.

Стационарен ли η(t)? Записать выражение для плотности вероятности η(t). Как изменится результат, если s(t) = (–1)[tα], где

α–случайнаявеличина,равномернораспределеннаянаинтервале

[0; 1]?

1.14.Пусть z(t) = x(t) + η(t); μ(t) = x(t)η(t), где x(t) – стационарный процесс с нулевым средним.

Стационарны ли ζ(t) и μ(t), если:

а) η(t) – стационарный случайный процесс с нулевым средним, некоррелированный с x(t);

б) η(t) – детерминированное гармоническое колебание с часто-

той ω0?

1.15.Пустьf(t)–произвольнаяпериодическаяфункциясперио­ дом T. Случайный процесс ξ(t) определяется как совокупность ре-

ализаций{f (t + t)}, где τ – равномерно распределенная на интер-

вале [0; T] случайная величина.

Является ли процесс ξ(t) стационарным?

1.16. Стационарный процесс ξ(t) = αcos[w0t + ϕ(t)], где w0 – детерминированная константа; α > 0 – случайная величина; φ(t) – ста­ ционарный процесс, равномерно распределенный на интервале [–π; π], имеет нулевое математическое ожидание.

Полагая известной плотность распределения wα(a) случайной величины α, выразить через нее одномерную плотность распределения wξ(x) процесса ξ(t). Полагая известной одномерную плотность распределения wξ(x) процесса ξ(t), выразить через нее плотность распределения wα(a) случайной величины­ α.

10