Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТПЕТРАВЕЛИКОГО

Е. А. Попов

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

Практикум

Санкт-Петербург

2018

ВВЕДЕНИЕ

Современная теория связи, а также многие радиотехнические направления в значительной степени опираются на вероятностные концепции. Это означает, что вероятностные не только характеристики, описывающие работу телекоммуникационных систем (вероятность безотказной работы, вероятность ошибочного приема, вероятность неудачного хэндовера и т. п.), но и критерии, на основании которых синтезируются оптимальные устройства обработки информации. Поэтому в соответствующих образовательных программах традиционно повышенное внимание уделяется изучению теории вероятностей и ее приложений. Фактически, наряду с базовым курсом, где изучаются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, предлагается ряд практически ориентированных дисциплин, в которых производится «перевод» тео- ретико-вероятностных понятий на язык приложений и выявляются аспекты, необходимые для решения прикладных задач.

Необходимо понимать, что в настоящее время имитационное моделирование (как часть фундаментального подхода к построению математических моделей), пожалуй, наиболее эффективное средство изучения физических, технических и социально-эконо- мических процессов, проверки работоспособности достаточно сложных устройств и систем, а также построения «тренажерных» механизмов с их возможным включением в реальный контур функционирования. При этом, в связи с бурным развитием средств вычислительной техники, непрерывно возрастают технические возможности моделирования: то, что еще десятилетие назад казалось нереализуемым или неоправданно затратным, сейчас является

4

обычной практикой и, возможно, даже предметом учебного занятия. Поэтому решение теоретических заданий, связанных с вычислением вероятностей тех или иных событий, будет гораздо более эффективным, если наряду с «красивым» математическим решением дополнительно провестиимитационноемоделирование каждого из заданий. Это, как минимум, позволит сравнить два результата.

Практикум содержит задания по следующим темам (разделам):

–случайные величины;

–функциональные преобразования одномерных случайных величин;

–характеристическая функция одномерной случайной величины;

–многомерные и условные случайные величины;

–функциональные преобразования многомерных случайных величин.

В каждой главе задачи представлены традиционным способом: от простых к сложным с постепенным увеличением уровня трудности. В начале каждого раздела дается необходимый минимум базовых теоретических понятий.

Ввиду рассмотрения большого числа вероятностных распределений и их свойств практикум в большой степени является справочником.

Данный практикум, конечно, неуникален; существует достаточно большое число «толстых» задачников, посвященных различным разделам теории вероятностей. В частности, можно отметить такие книги, как «Задачник по теории вероятностей и математической статистике» Г. В. Емельянова и В. П. Скитовича, «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций» под редакцией А. А. Свешникова, «Сборник задач по теории вероятностей» Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова и А. М. Зубкова.

Практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» и «Радиотехника», а также для всех, кто совершенствует свои знания в области вероятностных явлений.

5

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина — числовая функция, заданная на множестве событий. Различают два основных типа случайных величин: дискретная, принимающая конечное (счетное) множество значений, и непрерывная, значения которой принадлежат непрерывному множеству. Также существуют случайные величины смешанного типа.

Основной вероятностной характеристикой случайной величины ξ является ее (интегральная) функция распределения Fξ(x), устанавливающая вероятность того, что ξ примет значение меньшее числа x:

Основные свойства функции распределения:

–F(−∞) = 0;

–F(+∞) =1;

–F(x) — неубывающая функция, т. е. F(x2 ) ≥ F(x1 )при x2 > x1;

–P(x1 ≤ ξ ≤ x2 )= Fξ (x2 )− Fξ (x1 ).

Для описания непрерывной случайной величины часто используют плотность вероятности — производную от функции распределения

удовлетворяющую условию нормировки:

∞

∫ wξ (x)dx =1.

−∞

Для дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x1, …, xm с соответствующими вероятностями p1, …, pm, плотность, строго говоря, не существует, однако ее можно записать, используя дельта-функцию

6

k =1

m

с условием нормировки ∑ pk =1.

k =1

Для практических целей зачастую важен не сам закон распределения случайной величины, а ее числовые характеристики —вероят-

ностныемоменты. Различают начальные и центральныемоменты.

Для непрерывной случайной величины начальный момент k-го порядка

−∞

для дискретной случайной величины

n=1

Наиболее важным начальным моментом является начальный момент первого порядка — математическое ожидание (среднее по ансамблю) случайной величины, характеризующее расположение центра графика распределения:

n=1

Для непрерывной случайной величины центральный момент k-го порядка

для дискретной случайной величины

n=1

7

Наиболее важным центральным моментом является центральный момент второго порядка — дисперсия случайной величины:

– для непрерывной случайной величины

n=1

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно среднего значения (математического ожидания).

Наряду с дисперсией на практике часто используют величину

называемую среднеквадратическим (стандартным) отклонением.

Медиана распределения – значение xmed случайной величины ξ, для которой

Математическое ожидание может не существовать, в то время как медиана всегда существует, причем может быть неоднозначно определенной. Если существует интервал значений непрерывной

случайной величины, на котором Fξ (xmed ) =12, то медианой распределения может быть объявлена любая точка из этого интерва-

ла. Для дискретного распределения может оказаться, что в наборе возможных значений xmed не существует. В этом случае можно выбрать квазимедиану как ближайшее (справа или слева) к xmed возможное значение.

Квантиль r-го порядка xquan,r есть корень уравнения

Очевидно, медиана является квантилью порядка 1/2.

8

Мода xm — точка локального максимума закона распределения случайной величины. При определении моды дискретного распределения составляется ранжированный ряд, в котором значения случайной величины располагаются в порядке возрастания. Значение xμ является модой, когда для соответствующих вероятностей выполняются условия

Принесовпадениимодыимедианыраспределениеимеетасимметричный вид. Для количественной оценки асимметричности и заостренности распределения рассматривают коэффициентасим-

метрии

Нулевое значение kas свидетельствует о том, что распределение симметрично; в противном случае наблюдается асимметрия. Значение коэффициента эксцесса связано с гауссовским распределением, для которого kех = 0. Если kех > 0 (kех < 0), то плотность распределения в окрестности моды имеет более острую (плоскую) вершину, чем плотность гауссовского распределения с таким же средним и дисперсией.

1.1. Пусть случайная величина ξ выражается в вольтах. Какова размерность параметров случайной величины ξ: а) плотности вероятности; б) функции распределения; в) математического ожидания; г) дисперсии;

д) среднеквадратического отклонения; е) k-го момента?

9

1.2.К случайной величине ξ добавили детерминированную (неслучайную) величину A.

Как изменились:

а) плотность вероятности; б) функция распределения; в) математическое ожидание; г) дисперсия;

д) среднеквадратичное отклонение?

1.3.Случайную величину ξ умножили на детерминированную константу C.

Как изменились:

а) плотность вероятности; б) функция распределения; в) математическое ожидание; г) дисперсия;

д) среднеквадратичное отклонение?

1.4.Показать, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

1.5.Показать, что D[ξ] = E[ξ2] – (E[ξ])2.

1.6.Показать, что µ3[ξ]= m3[ξ]−3m1[ξ]m2[ξ]+ 2m13[ξ].

1.7.У случайной величины ξ средний квадрат совпадает с квад­ ратом среднего.

Что можно сказать об этой случайной величине?

1.8.Может ли случайная величина иметь второй начальный момент, равный 10, если ее математическое ожидание 3,5?

1.1.Дискретные случайные величины

1.9.Случайная величина ξ, подчиняющаяся распределению Бернулли Be(p), принимает два значения: x = 1 с вероятностью p

иx = 0 с вероятностью 1 – p.

Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

10