Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

Построить графики плотности вероятности и функции распределения для n = 1, 5, 10. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равен начальный момент r-го (r = 1, 2, …) порядка?

1.60.Показать, что при n = 1 распределение Стьюдента S(n) совпадает с распределением Коши.

1.61.Случайная величина ξ подчиняется распределению Фишера F(m1, m2) с (m1, m2) степенями свободы:

Построить графики плотности вероятности и функции распределения для (m1, m2) = (1, 1), (4, 2), (20, 20). Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициент асимметрии. Чему равна мода распределения?

1.62.Показать, что распределение Фишера F(m1, m2) при больших значениях m1 и m2 стремится к единичной константе, т. е. распределение близко к дельта-функции δ(x – 1).

1.63.Случайная величина ξ подчиняется распределению Вей-

булла W(α, β):

wξ (x) = α(βx)α−1 exp(−βxα ), x > 0, α > 0, β > 0.

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для α = 0,7 и β = 2,0. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равен начальный момент r-го

(r = 1, 2, …) порядка?

1.64. Показать, что функция вида

21

обладает свойством плотности распределения. Определить значения a и b исходя из заданного математического ожидания m

инайти дисперсию.

1.65.Случайная величина ξ подчиняется одностороннему сте-

пенному распределению wξ (x) = αx−α−1 , x > 0, α > 0.

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для α = 0,7 и α = 1,5. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асим­ метрии и эксцесса.

1.66. Случайная величина ξ подчиняется распределению Паре-

то Par(α, x0):

которое есть усеченное на интервале (x0; ∞) одностороннее степенное распределение.

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для α = 0,7 и α = 1,5. Найти математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Чему равен начальный момент r-го

(r = 1, 2, …) порядка?

1.67. Случайная величина ξ подчиняется логнормальному распределению logN(a, σ2):

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для a = 1,0, σ = 0,1, σ = 0,5 и σ = 1,0. Чему равно математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса? Найти медиану и моду распределения.

22

1.68. Случайная величина ξ подчиняется распределению Накагами (m-распределению) Nak(m, σ):

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для σ = 1,0, m = 0,5, m = 1,0 и m = 2,0. Найти математические ожидание и дисперсию. Чему равны мода и медиана?

1.69.Найти начальный момент k-го порядка для распределения Накагами Nak(m, σ).

1.70.Показать, что распределение Накагами Nak(m, σ) пере­

ходит:

а) в одностороннее гауссовское распределение при m = 1/2; б) распределение Рэлея при m = 1.

1.71.Случайная величина ξ подчиняется распределению Макс­

велла:

Чему равна функция распределения? Построить графики плотности вероятности и функции распределения для σ = 0,1, σ = 0,5

иσ = 2,0.

1.72.На окружности единичного радиуса с центром в начале координат случайным образом выбирается точка, в которой проводится касательная к окружности.

Найти распределение длины a касательной до ее пересечения с осью абсцисс. Как изменится результат, если центр окружности окажется в точке (x0; y0)?

1.73.На оси ординат между точками (0; 0) и (0; R) случайным образом выбрана точка (т. е. ордината точки равномерно распределена на интервале [0; R]). Через эту точку проведена хорда окруж-

ности x2 + y2 = R2 , перпендикулярная оси ординат. Найти распределение длины хорды.

23

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Если случайная величина ξ, описываемая плотностью распределения wξ(x), подвергается монотонному детерминированному преобразованию η = f(ξ), то плотность распределения wη(y) случайной величины η определяется соотношением

где x = g(y) — функция, обратная преобразованию y = f(x).

Если преобразование y = f(x) немонотонное, то весь диапазон значений случайной величины ξ разбивается на интервалы монотонности преобразования y = f(x), на каждом интервале ищется обратная функция xk = gk(y), затем результирующее распределение вычисляется по формуле

где Q — число интервалов монотонности.

В тех случаях, когда требуется знание лишь моментов преобразованной случайной величины η, их можно найти без предварительного вычисления закона распределения wη(y), используя выражения

2.1. Для определения площади квадрата измеряют две его стороны с помощью одного инструмента и результаты измерения перемножают.

24

Скакойотносительнойсреднеквадратическойошибкой =σ/m необходимо измерять стороны квадрата, чтобы среднеквадратическая ошибка определения площади была не более 1 %?

2.2. Случайная величина ξ, подчиняющаяся биномиальному распределению Bi(n, p), подвергается преобразованию η= exp(aξ).

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины η.

2.3. Случайная величина ξ, подчиняющаяся пуассоновскому распределению Π(λ)

P(ξ = k) = λk exp(−λ), λ > 0 , k = 0, 1, …, k!

подвергается преобразованию η= cos(bξ).

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины η.

2.4.Случайная величина ξ с плотностью распределения wξ(x) подвергается линейному преобразованию η = aξ + b.

Найти плотность вероятности wη(y). Конкретизировать результат для вариантов, когда ξ подчиняется стандартному распреде­ лению:

а) равномерному U(0, 1); б) гауссовскому N(0, 1).

2.5.Случайная величина ξ, плотность распределения которой

есть wξ(x), подвергается преобразованию:

а) η = |ξ|; б) η = ξ2;

в) η = ξn, n натуральное.

Найти плотность вероятности и функцию распределения величины η. Конкретизировать результат для варианта, когда ξ распределена равномерно на интервале [–c; c], c > 0.

2.6.Диаметр круга измерен приближенно.

Считая, что диаметр равномерно распределен в интервале [a; b], найти распределение площади круга.

25

2.7. Случайная величина ξ, распределенная по экспоненциальному закону wξ (x) = αexp(−αx), x ≥ 0 , подвергается линейному

преобразованию­ η = aξ + b.

Найти распределение случайной величины η и его моменты. 2.8. Случайная точка (ξ, η) распределена равномерно:

а) внутри единичного круга с центром в начале координат; б) круга радиуса R с центром в точке (x0, y0).

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ζ = ξη.

2.9. Найти плотность вероятности случайной величины η = cosφ, если случайная величина φ имеет равномерное распреде-

ление wϕ( f ) = 2/ π, | f | ≤ π / 4.

2.10.Одностороннее гауссовское распределение. Случайная величина ξ, имеющая гауссовское распределение N(0, σ2), подвергается преобразованию η = |ξ|.

Найти распределение случайной величины η после преобразования.

2.11.Случайная величина ξ равномерно распределена на интервале [a; b].

Найти распределение случайной величины η = ξ2. Чему равны математическое ожидание и дисперсия η?

2.12.Одностороннее линейное преобразование. Случайная ве-

личина ξ, плотность распределения которой есть wξ(x), подвергается преобразованию

Найти распределение случайной величины η после преобразования. Конкретизировать результат для вариантов, когда ξ подчиняется распределению:

а) равномерному U(–1, 1);

б) гауссовскому N(0, 1).

26

2.13. Обобщение предыдущей задачи. Случайная величина ξ, плотность распределения которой есть wξ(x), подвергается преобразованию

Найти распределение случайной величины η после преобразования.

2.14. Одностороннее квадратичное преобразование. Случайная величина ξ, плотность распределения которой есть wξ(x), подвергается преобразованию

Найти распределение случайной величины η после преобразования. Конкретизировать результат для вариантов, когда ξ подчиняется распределению:

а) равномерному U(–1, 1);

б) гауссовскому N(0, 1).

2.15. Логнормальное распределение. Случайная величина ξ, подчиняющаяся гауссовскому распределению N(a, σ2), подверга-

ется преобразованию η= exp(ξ).

Чему равна плотность вероятности η? Найти для η математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

2.16. Случайная величина ξ, распределенная по закону

Найти распределение η. Каковы ее математическое ожидание и дисперсия?

27

2.17. Случайная величина ξ, подчиняющаяся рэлеевскому распределению

wξ (x) = σx2 exp − 2xσ22 , x > 0,

подвергается преобразованию η = b / ξ, b > 0. Найти распределение η.

мерно распределенная на интервале [0; 1], подвергается преобразованию η= a tg(π(ξ−1/ 2))+b .

Найти распределение η.

2.20. Случайная величина ξ, распределенная по закону Коши

подвергается преобразованию:

а) η = 1/ξ; б) η = 1 – ξ2.

Найти распределение случайной величины η.

2.21.Пусть ξ — гауссовская случайная величина с математическим ожиданием a и дисперсией σ2, η = th(qξ), где q = a / σ.

Чему равно отношение E[η] к E[η2]?

2.22.Показать, что для гауссовской величины ξ с математическим ожиданием a, дисперсией σ2 и для любой детерминированной функции f(x), возрастающей при |x| → ∞ медленнее, чем exp(x2/2σ2),

справедливо соотношение E[ξf (ξ)]= E[ξ]E[f (ξ)]+ σ2E[f ′(ξ)].

28

2.23. Гауссовская случайная величина ξ с математическим ожиданием a и дисперсией σ2 подвергается преобразованию

Найти плотность вероятности и функцию распределения η.

2.24.На окружности радиуса R с центром в начале координат случайным образом выбрана точка, т. е. для нее полярный угол равномерно распределен на интервале [0; 2π].

Найти распределение абсциссы и ординаты точки. Какова вероятность того, что проекция этой точки на диаметр находится на расстоянии, не превосходящем R/2?

2.25.Из точки (0; a) проведена прямая линия под углом α к оси ординат.

Найти распределение абсциссы и ординаты точки пересечения прямой с осью абсцисс, если угол α равномерно распределен на интервале:

а) [0; π / 2]; б) [0; 2π]; в) [–π; π].

2.26.Независимые случайные величины ξ и η описываются

плотностями распределения wξ(x) и wη(y) соответственно. Найти математическое ожидание и дисперсию:

а) минимальной; б) максимальной из этих двух величин.

2.27.Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и подчиняются гауссовскому распределению N(a, σ2).

Найти математическое ожидание случайной величины:

а) ζ = max{ξ1, ξ2}; б) ζ = min{ξ1, ξ2}.

29

2.28. Найти плотность вероятности случайной величины:

а) η = min{ξ, ξ2}; б) η = max{ξ, ξ2},

если известна плотность вероятности wξ(x) случайной величины ξ.

2.29. Найти плотность вероятности случайной величины ζ = ξ / η, если ξ и η независимы и подчиняются рэлеевскому распределению R(σ).

2.30. Пусть ξ — гауссовская случайная величина с математическим ожиданием a = 0 и дисперсией D = 9.

Найти плотность вероятности случайной величины

η= signξ = +1, ξ ≥ 0;−1,ξ < 0.

Как изменится результат, если a = 3?

2.31. При рассмотрении температуры закон ошибок выражен по шкале Фаренгейта:

1,2π exp −1,2(t − 23)2 .

Выразить этот закон по шкале Цельсия.

2.32.Задан закон распределения случайной величины ξ и закон

еепреобразования η = f (ξ):

а) wξ (x) = xn , x [0;a], n натуральное, η= cos 2πξa ; б) wξ (x) = xn , x [−a;a], n четное, η= cos 2πξa ;

в) wξ (x) = xn , x [0;2a], n натуральное, η= cos 2πξa ; г) wξ (x) = xn , x [−a /2;a /2], n четное, η= cos 2πξa ; д) wξ (x) = xn , x [0;a], n натуральное, η= sin 2πξa ;

30