Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

е) wξ (x) = xn , x [−a;0], n четное, η= sin 2πξa ; ж) wξ (x) = xn , x [−a;0], n четное, η= cos 2πξa ; з) wξ (x) = xn , x [−a;a], n четное, η= ctg 2πξa .

Чему равно значение a при заданном значении n? Найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины η. Чему равна медиана распределения m? Определить интервал [m – c; m + c], нахождение случайной величины η в пределах которого составляет 1/4, 2/4, 3/4.

3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ОДНОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Характеристическая функция непрерывной случайной величины ξ

−∞

Характеристическая функция дискретной случайной величины ξ

k =1

Здесь v — произвольный вещественный параметр. Характеристическую функцию случайной величины ξ можно

трактовать как частный случай функционального преобразования

η= E[exp( jvξ)].

Для случайной величины ξ существует k-й начальный момент mk[ξ], который может быть вычислен через соответствующую производную характеристической функции:

31

Таким образом, коэффициенты разложения характеристической функции в степенной ряд определяются моментами распределения:

При решении многих теоретико-вероятностных задач эффективным оказывается подход, связанный с рассмотрением не самой характеристической функции, а ее логарифма. При разложении ln φξ(v) в степенной ряд

3.1. Доказать следующие свойства характеристической функции: а) ограниченность: ϕξ (v) ≤ ϕξ (0) =1;

б) непрерывность;

в) сопряженная симметричность: ϕξ (−v) = ϕ*ξ (v).

3.2. Пусть случайная величина ξ имеет характеристическую

функцию φξ(v).

Какой характеристической функцией будет обладать случайная величина η = aξ + b?

3.3.Может ли характеристическая функция случайной величины иметь прямоугольную форму? Может ли она быть чисто мнимой функцией?

3.4.Может ли характеристическая функция случайной величины быть суммой характеристических функций двух других случайных величин?

32

3.5.Дискретная случайная величина ξ принимает два значения: нуль и единицу с соответствующими вероятностями p и 1 – p.

Найти характеристическую функцию ξ.

3.6.Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины ξ, равномерно распределенной на интервале:

а) [a; b]; б) [–a; a].

3.7.Случайная величина ξ описывается дискретным распреде-

лением P(ξ = k )= 2−k , k = 1, 2, … .

Найти характеристическую функцию.

3.8.Дискретная случайная величина ξ подчиняется биномиальному распределению Bi(n, p).

Найти характеристическую функцию и по ней определить математическое ожидание и дисперсию.

3.9.Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины ξ, имеющей пуассоновское распределение

P(ξ = k) = λk exp(−λ) , λ > 0, k = 0, 1, … . k!

С помощью характеристической функции вычислить математическое ожидание и дисперсию. Используя характеристическую функцию, доказать, что сумма независимых пуассоновских случайных величин подчиняется пуассоновскому распределению.

3.10.Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины ξ, имеющей гауссовское распределение:

а) N(0, 1); б) N(a, σ2).

По найденной характеристической функции определить цент­ ральные моменты k-го (k = 1, 2, …) порядка.

3.11.Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, подчиняющейся распределению Лапласа:

а) wξ (x) = 12 exp(−| x |);

б) wξ (x) = λ2 exp(−λ| x −β|).

33

3.12. Непрерывная случайная величина ξ имеет характеристическую функцию

ϕξ (v) = 1+1v2 .

Найти:

а) начальный момент mk[ξ] k-го (k = 1, 2, …) порядка; б) плотность вероятности wξ(x).

3.13. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, подчиняющейся распределению Коши:

Используя характеристическую функцию, доказать, что сумма независимых случайных величин, распределенных по Коши, подчиняется распределению Коши.

3.14.Найти характеристическую функцию и для односторон-

него экспоненциального распределения wξ(x) = λ exp(–λx), x ≥ 0, вычислить по ней начальный моментk-го (k = 1, 2, …) порядка.

3.15.Даны характеристические функции:

а) ϕξ (v) = 11++ vjv2 ; б) ϕξ (v) = 11−+ vjv2 .

Определить соответствующие плотности вероятности.

3.16. Случайная величина ξ подчиняется распределению арксинуса:

Найти характеристическую функцию.

34

3.17. Случайная величина ξ подчиняется гамма-распределению

Γ(α, β):

wξ (x) = βα+1Γ1(α+1) xα exp(−x /β), x > 0, α > –1, β > 0.

Найти вид характеристической функции и построить график ее модуля. Найти сумму первых десяти начальных моментов для вариантов:

а) α = 0, β = 1; б) α = 0, β = 0,5; в) α = 0,5, β = 1.

3.18. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, подчиняющейся рэлеевскому распределению R(σ):

3.19. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, подчиняющейся распределению Максвелла:

3.20. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, являющейся квадратом гауссовской случайной величиныN(0, σ2).

Чему равны начальные моменты ξ?

3.21. Случайная величина ξ имеет плотность распределения wξ (x) = 21π sin(x2 /(x2)/22) .

Найтихарактеристическуюфункциюφξ(v)иизобразитьграфик ее модуля. Чему равны математическое ожидание и дисперсия?

3.22. Случайная величина ξ имеет характеристическую функцию

ϕξ (v) = cos(πv2/ 2) .

1−t

35

Найти плотность вероятности, функцию распределения, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

3.23. Получить соотношения, выражающие кумулянты первых пяти порядков через моменты:

а) κ1 = m1;

б) κ2 = m2 − m12;

в) κ3 = m3 −3m1m2 + 2m13;

г)κ4 = m4 − 4m1m3 −3m22 +12m12m1 −6m14;

д) κ5 = m5 −5m4m1 −10m2m3 + 20m12m3 +30m1m22 −60m13m2 + 24m15.

3.24. Получить соотношения, выражающие моменты первых пяти порядков через кумулянты:

а) m1 = κ1;

б) m2 = κ2 + κ12;

в) m3 = κ3 +3κ1κ2 + κ13;

г) m4 = κ4 +3κ22 + 4κ1κ3 + 6κ12κ2 + κ14;

д) m5 = κ1 +5κ1κ4 +10κ2κ3 +10κ12κ3 +10κ13κ2 +15κ1κ22 + κ15.

4. МНОГОМЕРНЫЕ И УСЛОВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Для описания многомерных случайных величин используют многомерные законы распределения.

Функция распределения Fξη(2)(x,y) двумерной случайной величины (ξ, η) представляет собой совместную вероятность:

Двумерная плотность распределения wξη(2)(x,y) непрерывной случайной величины определяется как смешанная производная от двумерной функции распределения:

36

Вероятность нахождения двумерной непрерывной случайной величины (двумерного вектора) (ξ, η) внутри области S равна интегралу по этой области от двумерной плотности:

В частности, если S — прямоугольная область [a; b] × [c; d], то

Дискретная двумернаяслучайная величина, принимающаязначения xi,yj (i = 1, …, mx, j = 1, …, my), характеризуется совместными вероятностями

которые можно записать в виде двумерной плотности, используя дельта-функции:

i=1 j=1

Дляn-элементногонабора(вектора)случайныхвеличинξ1,…,ξn вводится совместная n-мерная функция распределения

определяющая совместные вероятности

для дискретного случая и n-мерную плотность

для непрерывного случая.

37

Основными характеристиками n-элементного набора случайных величин ξ1, …, ξn являются математические ожидания

и ковариации — смешанный центральный момент второго порядка:

Covjk ≡ µ11[ξj ,ξk ]=

Часто вместо ковариации используют корреляцию — смешанный начальный момент второго порядка

принимающую значения в интервале [–1; 1]. Ковариации связаны с корреляциями соотношением

38

Для дискретных многомерных случайных величин числовые характеристики вычисляются по формулам, аналогичным (4.10)– (4.16). В них интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям случайных величин.

Случайные величины ξ1, …, ξn независимы, если многомерное распределение факторизуется:

в противном случае случайные величины образуют зависимый набор.

Еслислучайныевеличиныξиηописываютсясовместнойплотностью распределения wξη(2)(x,y), то по ней могут быть найдены

одномерные распределения wξ(x) и wη(y), затем определены одномерные условные распределения

−∞

являющиеся аналогом формулы полной вероятности.

Формулы, подобные (4.18)–(4.19), применяют и при условном распределении более высоких порядков.

39

4.1. Доказать свойства двумерной функции распределения:

а) Fξη(2)(x,∞) = Fξ (x), Fξη(2)(∞,y) = Fη(y); б) Fξη(2)(x,−∞) = Fξη(2)(−∞,y) = 0;

в) Fξη(2)(∞,∞) =1.

4.2.Двумерная случайнаявеличина(ξ,η)описываетсясовместной плотностью wξη(2)(x,y).

Выразить через совместную плотность вероятности событий:

а) ξ > η; б) ξ > |η|; в) |ξ| > η; г) ξ – η > 1.

4.3. Доказать, что для набора независимых случайных величин

4.4. Случайная величина ξ, описываемая плотностью распределения wξ(x), связана со случайной величиной η зависимостью

η= ξ2 .

Найти совместную функцию распределения Fξη(2)(x,y).

4.5. Пусть (ξ, η) — непрерывная двумерная случайная величи-

на, т. е. P(ξ = x, η = y) = 0.

Верно ли, что функция распределения Fξη(2)(x,y) также непрерывная?

4.6.Какой вид распределения симметричной случайной величины ξ обеспечивает некоррелированность ξ и любой четной детерминированной функции f(ξ)?

4.7.Трехмерная случайная величина (ξ, η, ζ) описывается со-

вместной плотностью распределения wξηζ(3) (x,y,z).

40