Общая теория связи. Случайные величины и их распределения сборник задач и упражнений. Практикум

Найти распределение случайной величины

5.23.Пустьξ—стандартнаягауссовскаяслучайнаявеличина,n

—произвольное натуральное число, а случайная величина η подчиняется хи-квадрат распределению χ2(n) с n степенями свободы.

Найти распределение случайной величины

ζ= ξnη .

5.24.Пусть ξ1 и ξ2 — независимые случайные величины, подчиняющиеся хи-квадрат распределению с m1 и m2 степенями свободы соответственно.

Найти распределение случайной величины

ζ = ξ1 m1 .

ξ2 m2

5.25.Найти закон распределения случайной величины η, яв-

ляющейся суммой двух независимых случайных величин ξ1 и ξ2, распределенных по биномиальному закону с параметрами (n1, p)

и(n2, p) соответственно.

5.26.Найти закон распределения случайной величины:

а) η = ξ1 + ξ2; б) η = ξ1 – ξ2,

где независимые случайные величины ξ1 и ξ2 подчиняются пуассоновскому распределению с параметрами λ1 и λ2 соответственно.

5.27. Пусть ξ1, …, ξn — совокупность из n независимых случайных величин, подчиняющихся логнормальному распределению logN(a,σ2k ), k = 1, …, n.

Найти распределение случайной величины η, являющейся произведением ξ1, …, ξn.

61

5.28. Пусть ξ1 и ξ2 — независимые, равномерно распределенные на интервале [0; 1] случайные величины.

Найти распределение случайной величины:

а) η= cos(2πξ1 )−2lnξ2 ; б) η= sin(2πξ1 )−2lnξ2 .

5.29.Найти распределение случайной величины η = ξ1 + ξ2, где ξ1 и ξ2 — компоненты двумерной случайной величины ξ = (ξ1, ξ2), равномерно распределенной:

а) в прямоугольнике [a; b] × [c; d], стороны которого параллельны координатным осям;

б) круге радиуса a с центром в начале координат;

в) квадрате со сторонами c, расположенными под углом 45° по отношению к координатным осям (см. рис. 4.1, a).

5.30.Двумерная случайная величина (ξ1, ξ2) описывается совместной плотностью wξ(2)1ξ2 (x1,x2 ) = exp(−x1 − x2 ), x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Найти совместную плотность двумерной случайной величины

(η1, η2), где η1 = ξ1 + ξ2; η2 = ξ2 /ξ1.

5.31. Найти математическое ожидание случайной величины:

а) ζ = ξ exp(η); б) ζ = ξ2 exp(η); в) ζ = f(ξ) exp(η),

где ξ и η — гауссовские случайные величины с совместной плотностью вероятности

5.32. Зависимы ли случайные величины ζ1 = ξ + η; ζ2 = ξ – η, где ξ и η — совместные гауссовские величины с одинаковыми дисперсиями?

5.33. Случайные величины ξ1 и ξ 2 имеют совместную плотность распределения wξ(2)1ξ2 (x1,x2 ).

62

Найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины η, если:

а) η = min{ξ1, ξ2}; б) η = max{ξ1, ξ2}.

5.34. Случайные величины ξ1 и ξ 2 подчиняются совместному гауссовскому распределению с нулевыми средними, дисперсиями

σ12 и σ22 соответственно и коэффициентом корреляции r.

Найти математическое ожидание модуля произведения ξ1

и ξ25..35. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя

∆= ξ11 ξ11 ξ11 ξ11 ,

элементы которого ξij – независимые случайные величины с нулевым средним и дисперсией D[ξij] = σ2.

5.36. Найти совместную плотность вероятности случайных величин ζ1 и ζ2, являющихся решениями системы:

а) 6ζ1 + ζ2 = ξ;ζ1 + ζ2 = η;

б) a11ζ1 + a12ζ2 = ξ;a21ζ1 + a22ζ2 = η,

где ξ и η — независимые гауссовские величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями σ2.

5.37.Решить предыдущую задачу при условии, что ξ и η зависимы с коэффициентом корреляции r.

5.38.Найти распределение суммы независимых случайных величин ξ1 и ξ2, если

63

5.39.Найтисовместнуюплотностьслучайныхвеличинξ1 = sinφ; ξ2 = cosφ, если для случайной величины φ известна плотность веро­ ­ ятности wφ( f ) на интервале [–π; π].

5.40.Случайные величины ξ1 и ξ2, подчиняющиеся совместному распределению wξ(2)1ξ2 (x1,x2 ), подвергаются преобразованию

η1 = ξ12 + ξ22 ; η2 = ξ1 / ξ2 .

Найти совместное распределение wη(2)1η2 (y1,y2 ).

5.41. Случайные величины ξ1 и ξ2, подчиняющиеся совместному распределению wξ(2)1ξ2 (x1,x2 ), подвергаются преобразованию

ρ = ξ12 + ξ22 ; tgϕ= ξ2 / ξ1.

Найти:

а) обратное преобразование ξ1 = g1(ρ,ϕ), ξ2 = g2 (ρ,ϕ) и его якобиан;

б) совместное распределение wρϕ(2)(r, f ) и одномерные распре-

деления wρ(r) и wϕ( f ).

5.42. В условиях предыдущей задачи найти одномерное распределение:

а) wρ(r) модуля вектора ρ; б) wφ( f ) фазы вектора φ,

где координаты вектора ξ1 и ξ 2 — независимые гауссовские величины с математическими ожиданиями a1 и a2 соответственно и одинаковой дисперсией σ2. Рассмотреть частный случай, когда

a1 = a2 = 0.

5.43. Одномерное распределение фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами N(a1, σ2) и N(a2, σ2) описывается выра­ жением (см. предыдущую задачу)

64

∞

с помощью функций Бесселя exp(bcosz)= I0 (b)+ 2∑Ik (b)coskz,

k =1

представить wφ( f ) в виде тригонометрического ряда. Записать: а) в виде тригонометрического ряда центральные моменты рас-

пределения wφ( f );

б) выражение для дисперсии и его асимптотику для случаев aσ 1 и aσ 1.

5.44. Пусть ξ и η — коррелированные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями σ2, описываемые совместной плотностью вероятности

где R — коэффициент корреляции, являются координатами двумерного вектора.

65

Найти распределение модуля вектора. Убедиться, что при R = 0 распределение переходит в рэлеевское.

5.45. Обобщение предыдущей задачи. Пусть ξ и η – коррелированные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями σ12 и σ22 соответственно, описываемые совместной плотностью вероятности

где R – коэффициент корреляции, являются координатами двумерного вектора.

Найти распределение модуля вектора.

5.46. Случайные величины ξ и η подчиняются совместному гауссовскому распределению

Найти двумерную характеристическую функцию.

5.47. Обобщение предыдущей задачи. Вычислить многомерную характеристическую функцию для многомерного гауссовского вектора ξ = (ξ 1, …, ξn), задаваемого (в матричном виде) плотностью

где a = (a1, …, an ) – вектор математических ожиданий; K – ковариационная матрица, элементами которой являются ковариации компонент вектора ξ

Cov[ξi ,ξk ]= E[(ξi − ai )(ξk − ak )], i, k =1, , n .

66

5.48. Пусть ξ = (ξ1, …, ξn) – невырожденная совокупность гауссовских величин N(a, K), det K ≠ 0 .

Показать, что случайная величина η = (ξ – a)K–1(ξ – a) подчиняется χ2(n)-распределению.

5.49. Пусть ξk, k = 1, …, n, — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [0; 1]. Рассматривается

случайная величина η= ∑ξk .

k =1

Показать, что плотность вероятности η

5.50. Неравенство Чернова. Пусть ξk, k = 1, …, n, — независимые, одинаково распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями.

Доказать, что для любого значения ε > 0 справедливо неравенство

=εE[exp(λ0ξk)]). 0ξk – λ0ε)] (λ0 – корень уравнения E[ξkexp(λ0ξk)] =

5.51.Случайные величины ξ1, ξ2, …, ξn независимы и равномерно распределены на интервале [0; 1]. Пусть η — случайная

величина, равная такому значению k, при котором сумма Sk = = ξ1 + ξ2 + ... + ξk превысит единицу.

Найти математическое ожидание η.

5.52. Случайные величины ξ1, …, ξN независимы и распределены равномерно на единичном интервале. Пусть η1 = max{ξ1, …, ξN};

η2 = min{ξ1, …, ξN}; ζ = η1 – η2.

Найти плотность вероятности, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайных величин η1, η2 и ζ.

67

5.53. Найти распределение случайной величины ξ = β0/2 + β1/2, где β0 — непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0; 1]; β1 — независимая от ξ дискретная случайная величина, равновероятно принимающая значения нуль и единицу. Обобщить результат для произвольного целого N, когда

ξ =β0 2N −1 + N∑−1βk 2k , где β1, …, βN – 1 — совокупность независи-

k =1

мых дискретных случайных величин, равновероятно принимающих значения нуль и единица.

5.54. Найти условные математические ожидания, дисперсии и ковариацию для двумерной гауссовской условной плотности wξ1ξ2 (x1, x2 ξ3 = x3).

5.55.Пусть η и ξ — произвольные коррелированные случайные величины с коэффициентом корреляции |r| ≠ 1.

Показать, что одну из величин, например η, можно представить

ввиде суммы двух некоррелированных слагаемых, одно из которых не коррелировано с ξ, а другое пропорционально ξ.

5.56.Доказать, что если (ξ, η) — случайная точка с функцией

распределения Fξη(x, y) в области D, то математическое ожидание квадрата расстояния между двумя ее положениями в области D не превосходит удвоенного математического ожидания квадрата расстояния от точки (ξ, η) до начала координат, которому оно равно,

когда E[ξ] = E[η] = 0.

68